Номер 5.17, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.17. На координатной плоскости покажите штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

1) $|x - 1| \le 3$;

2) $|x - 2| \ge 2$;

3) $|y - 1| < 3;

4) $|y - 1| \ge 1;

5) $xy \ge 1;

6) $xy \le 2;

7) $xy - 2 \ge 0;$

8) $xy - 7y < 2.$

1) $|x-1| \le 3$

Это неравенство с модулем эквивалентно двойному неравенству: $$-3 \le x-1 \le 3$$ Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $$-3 + 1 \le x \le 3 + 1$$ $$-2 \le x \le 4$$ Множество точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой вертикальную полосу, заключенную между прямыми $x = -2$ и $x = 4$. Так как неравенство нестрогое, границы ($x=-2$ и $x=4$) включаются в множество и изображаются сплошными линиями.

Ответ: Множеством решений является вертикальная полоса, ограниченная прямыми $x=-2$ и $x=4$, включая сами прямые.

2) $|x-2| \ge 2$

Это неравенство с модулем распадается на два случая: $$x-2 \ge 2 \quad \text{или} \quad x-2 \le -2$$ Решаем каждое неравенство: $$x \ge 4 \quad \text{или} \quad x \le 0$$ Множество точек состоит из двух полуплоскостей: все точки, где $x \ge 4$, и все точки, где $x \le 0$. Границы ($x=4$ и $x=0$, то есть ось OY) включаются в множество, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Объединение двух полуплоскостей $x \le 0$ и $x \ge 4$, включая границы.

3) $|y-1| \le 3$

Аналогично первому пункту, преобразуем неравенство: $$-3 \le y-1 \le 3$$ Прибавим 1 ко всем частям: $$-3 + 1 \le y \le 3 + 1$$ $$-2 \le y \le 4$$ Решением является горизонтальная полоса между прямыми $y = -2$ и $y = 4$. Границы включаются, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=-2$ и $y=4$, включая границы.

4) $|y-1| \ge 1$

Это неравенство распадается на совокупность двух неравенств: $$y-1 \ge 1 \quad \text{или} \quad y-1 \le -1$$ Решая их, получаем: $$y \ge 2 \quad \text{или} \quad y \le 0$$ Множество решений — это объединение двух горизонтальных полуплоскостей: все точки выше или на прямой $y=2$ и все точки ниже или на прямой $y=0$ (ось OX).

Ответ: Объединение полуплоскостей $y \le 0$ и $y \ge 2$, включая их границы.

5) $xy \ge 1$

Границей области является гипербола $xy = 1$, или $y = 1/x$. Эта гипербола расположена в I и III координатных четвертях. Поскольку неравенство нестрогое, сама гипербола включается в решение. Для определения области решения выберем контрольные точки.

• В I четверти, точка (2, 2): $2 \cdot 2 = 4 \ge 1$. Верно. Значит, заштриховываем область "над" ветвью гиперболы в I четверти.
• В III четверти, точка (-2, -2): $(-2) \cdot (-2) = 4 \ge 1$. Верно. Заштриховываем область "под" ветвью гиперболы в III четверти.
• Точка (0, 0): не подходит, так как $0 \ge 1$ неверно. Область между ветвями не заштриховывается.

Ответ: Точки "над" правой ветвью и "под" левой ветвью гиперболы $y=1/x$, включая саму гиперболу.

6) $xy \le 2$

Границей является гипербола $xy = 2$, или $y = 2/x$. Граница включается в решение. Проверим точку (0, 0): $0 \cdot 0 = 0 \le 2$. Верно. Это означает, что область, содержащая начало координат (область между ветвями гиперболы), является решением.

Ответ: Множество точек, расположенных между ветвями гиперболы $y=2/x$, включая саму гиперболу.

7) $xy - 2 \ge 0$

Это неравенство идентично неравенству $xy \ge 2$. Границей является гипербола $xy = 2$, или $y=2/x$. Граница включается. Задача аналогична пункту 5, но с другой гиперболой. Области решения находятся "снаружи" от ветвей гиперболы, то есть не содержат начало координат.

Ответ: Точки "над" правой ветвью и "под" левой ветвью гиперболы $y=2/x$, включая саму гиперболу.

8) $xy - 7y < 2$

Вынесем $y$ за скобки: $$y(x - 7) < 2$$ Границей области является кривая $y(x-7) = 2$, то есть $y = \frac{2}{x-7}$. Это гипербола, смещенная на 7 единиц вправо по оси Ox. Вертикальная асимптота проходит через $x=7$. Поскольку неравенство строгое ($<$) граница не включается в решение и изображается пунктирной линией. Проверим точку (0, 0): $0 \cdot (0-7) = 0 < 2$. Верно. Значит, область, содержащая начало координат (область между ветвями гиперболы и асимптотой), является решением.

Ответ: Множество точек, расположенных между ветвями гиперболы $y=2/(x-7)$, не включая саму гиперболу.