Номер 6.1, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.1. Изобразите штриховкой на координатной плоскости множество точек, заданных системой неравенств:

1)

$\begin{cases} y - x < 0, \\ 2x + y \le 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - 2x < 0, \\ 3x + y \le 3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 2y - x > 0, \\ 2x - y \le 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} y - 3x + 1 \ge 0, \\ x + 2y \le 6. \end{cases}$

$(2x + y + 4 > 0.$

1)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} y - x < 0 \\ 2x + y \le 0 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$ через $x$:
1. $y - x < 0 \implies y < x$.
Это неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=x$. Граница $y=x$ является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Так как неравенство строгое, граница изображается пунктирной линией.

2. $2x + y \le 0 \implies y \le -2x$.
Это неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=-2x$. Прямая $y=-2x$ проходит через начало координат и точку $(1, -2)$. Так как неравенство нестрогое, граница изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, которая находится одновременно ниже прямой $y=x$ и ниже прямой $y=-2x$.

Изобразим это на координатной плоскости:

Ответ: Решением системы является угловая область с вершиной в точке $(0,0)$, ограниченная сверху пунктирной линией $y=x$ (не включая точки на ней) и сплошной линией $y=-2x$ (включая точки на ней), как показано штриховкой на рисунке.

2)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} y - 2x < 0 \\ 3x + y \le 3 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$ через $x$:
1. $y - 2x < 0 \implies y < 2x$.
Это полуплоскость ниже прямой $y=2x$. Прямая проходит через начало координат и точку $(1, 2)$. Неравенство строгое, поэтому граница изображается пунктирной линией.

2. $3x + y \le 3 \implies y \le -3x + 3$.
Это полуплоскость ниже прямой $y=-3x+3$. Прямая пересекает оси в точках $(1, 0)$ и $(0, 3)$. Неравенство нестрогое, поэтому граница изображается сплошной линией.

Найдем точку пересечения граничных прямых:
$2x = -3x + 3 \implies 5x = 3 \implies x = 3/5 = 0.6$.
$y = 2x = 2(0.6) = 1.2$.
Точка пересечения: $(0.6, 1.2)$.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей, то есть область, расположенная одновременно ниже обеих прямых.

Изобразим это на координатной плоскости:

Ответ: Решением является угловая область с вершиной в точке $(0.6, 1.2)$, расположенная ниже пунктирной линии $y=2x$ и сплошной линии $y=-3x+3$, как показано штриховкой.

3)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} 2y - x > 0 \\ 2x - y \le 0 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$ через $x$:
1. $2y - x > 0 \implies 2y > x \implies y > \frac{1}{2}x$.
Это полуплоскость выше прямой $y = \frac{1}{2}x$. Прямая проходит через начало координат и точку $(2, 1)$. Неравенство строгое, граница пунктирная.

2. $2x - y \le 0 \implies 2x \le y \implies y \ge 2x$.
Это полуплоскость выше прямой $y=2x$. Прямая проходит через начало координат и точку $(1, 2)$. Неравенство нестрогое, граница сплошная.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, расположенная одновременно выше прямой $y = \frac{1}{2}x$ и выше прямой $y=2x$. Обе прямые проходят через начало координат.

Изобразим это на координатной плоскости:

Ответ: Решением является угловая область с вершиной в точке $(0,0)$, ограниченная снизу пунктирной линией $y=\frac{1}{2}x$ и сплошной линией $y=2x$. Заштрихованная область находится между этими двумя прямыми в первом и втором квадрантах.

4)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} y - 3x + 1 > 0 \\ x + 2y \le 6 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$ через $x$:
1. $y - 3x + 1 > 0 \implies y > 3x - 1$.
Это полуплоскость выше прямой $y=3x-1$. Прямая проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 2)$. Неравенство строгое, граница пунктирная.

2. $x + 2y \le 6 \implies 2y \le -x + 6 \implies y \le -\frac{1}{2}x + 3$.
Это полуплоскость ниже прямой $y = -\frac{1}{2}x + 3$. Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(6, 0)$. Неравенство нестрогое, граница сплошная.

Найдем точку пересечения граничных прямых:
$3x - 1 = -\frac{1}{2}x + 3 \implies 6x - 2 = -x + 6 \implies 7x = 8 \implies x = 8/7$.
$y = 3(8/7) - 1 = 24/7 - 7/7 = 17/7$.
Точка пересечения: $(8/7, 17/7) \approx (1.14, 2.43)$.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей, то есть область, расположенная выше прямой $y=3x-1$ и ниже прямой $y = -\frac{1}{2}x + 3$.

Изобразим это на координатной плоскости:

Ответ: Решением является угловая область с вершиной в точке $(8/7, 17/7)$, ограниченная сверху сплошной линией $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и снизу пунктирной линией $y=3x-1$. Заштрихованная область на рисунке показывает это множество точек.