Номер 6.6, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.6. Покажите, что является прямоугольником четырехугольник, заданный системой неравенств:

1) $\begin{cases} 0 \le x - y \le 3, \\ -1 \le x + y \le 3; \end{cases}$2) $\begin{cases} 0 \le x - y \le 5, \\ -2 \le x + y \le 5; \end{cases}$3) $\begin{cases} 0 \le 2x - y \le 4, \\ -1 \le 0,5x + y \le 2. \end{cases}$

Для того чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, достаточно показать, что он является параллелограммом с прямым углом. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Прямой угол означает, что смежные стороны перпендикулярны.

Две прямые $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$ параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$ коллинеарны (т.е. их координаты пропорциональны). Они перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

1)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} 0 \le x - y \le 3, \\ -1 \le x + y \le 3 \end{cases} $. Эта система задает область, ограниченную четырьмя прямыми, которые являются сторонами четырехугольника:

$L_1: x - y = 0$

$L_2: x - y = 3$

$L_3: x + y = -1$

$L_4: x + y = 3$

Найдем нормальные векторы для этих прямых:

Для $L_1: \vec{n_1} = (1, -1)$

Для $L_2: \vec{n_2} = (1, -1)$

Для $L_3: \vec{n_3} = (1, 1)$

Для $L_4: \vec{n_4} = (1, 1)$

Поскольку $\vec{n_1} = \vec{n_2}$, прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны. Поскольку $\vec{n_3} = \vec{n_4}$, прямые $L_3$ и $L_4$ параллельны. Таким образом, четырехугольник является параллелограммом.

Проверим перпендикулярность смежных сторон. Возьмем, к примеру, стороны, лежащие на прямых $L_1$ и $L_3$. Найдем скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_3}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, прямые $L_1$ и $L_3$ перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм имеет прямой угол, а значит, является прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник, заданный системой неравенств, является прямоугольником, так как он ограничен двумя парами параллельных прямых, причем прямые из разных пар перпендикулярны друг другу.

2)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} 0 \le x - y \le 5, \\ -2 \le x + y \le 5 \end{cases} $. Эта система задает четырехугольник, стороны которого лежат на прямых:

$L_1: x - y = 0$

$L_2: x - y = 5$

$L_3: x + y = -2$

$L_4: x + y = 5$

Нормальные векторы для этих прямых:

Для $L_1: \vec{n_1} = (1, -1)$

Для $L_2: \vec{n_2} = (1, -1)$

Для $L_3: \vec{n_3} = (1, 1)$

Для $L_4: \vec{n_4} = (1, 1)$

Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны, так как их нормальные векторы равны. Прямые $L_3$ и $L_4$ также параллельны по той же причине. Значит, фигура является параллелограммом.

Проверим перпендикулярность смежных сторон, например, лежащих на прямых $L_1$ и $L_3$. Скалярное произведение их нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, значит, прямые перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: Заданный четырехугольник является прямоугольником, так как его стороны попарно параллельны и смежные стороны перпендикулярны.

3)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} 0 \le 2x - y \le 4, \\ -1 \le 0.5x + y \le 2 \end{cases} $. Эта система определяет четырехугольник, ограниченный прямыми:

$L_1: 2x - y = 0$

$L_2: 2x - y = 4$

$L_3: 0.5x + y = -1$

$L_4: 0.5x + y = 2$

Найдем нормальные векторы для каждой прямой:

Для $L_1: \vec{n_1} = (2, -1)$

Для $L_2: \vec{n_2} = (2, -1)$

Для $L_3: \vec{n_3} = (0.5, 1)$

Для $L_4: \vec{n_4} = (0.5, 1)$

Так как $\vec{n_1} = \vec{n_2}$, прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны. Так как $\vec{n_3} = \vec{n_4}$, прямые $L_3$ и $L_4$ параллельны. Следовательно, четырехугольник является параллелограммом.

Проверим перпендикулярность смежных сторон, взяв прямые $L_1$ и $L_3$. Найдем скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1} = (2, -1)$ и $\vec{n_3} = (0.5, 1)$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = 2 \cdot 0.5 + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, прямые $L_1$ и $L_3$ перпендикулярны. Это означает, что у параллелограмма есть прямой угол, следовательно, это прямоугольник.

Ответ: Данный четырехугольник является прямоугольником, так как он образован двумя парами параллельных прямых, а прямые из разных пар взаимно перпендикулярны.