Номер 6.13, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.13. Постройте треугольник, заданный системой неравенств:

1)

$\begin{cases} 2y - 5 \le 3x, \\ 2x + y \le 6, \\ y + 3 \ge 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - 3 \le 4x, \\ 3x + y \le 7, \\ y + 2 \ge 0; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} y - 4 \le -3x, \\ 2x - y \le 6, \\ x \ge -4. \end{cases}$

1)

Чтобы построить треугольник, заданный системой неравенств, сначала рассмотрим граничные условия, заменив знаки неравенства на знаки равенства. Это даст нам уравнения прямых, которые являются сторонами треугольника.

Система неравенств:

$ \begin{cases} 2y - 5 \le 3x \\ 2x + y \le 6 \\ y + 3 \ge 0 \end{cases} $

1. Преобразуем каждое неравенство в уравнение прямой и выразим $y$ через $x$:

- $2y - 5 = 3x \implies 2y = 3x + 5 \implies y = 1.5x + 2.5$

- $2x + y = 6 \implies y = -2x + 6$

- $y + 3 = 0 \implies y = -3$

2. Теперь найдем вершины треугольника, которые являются точками пересечения этих прямых.

- Вершина A (пересечение прямых $y = 1.5x + 2.5$ и $y = -2x + 6$):

$1.5x + 2.5 = -2x + 6$

$3.5x = 3.5$

$x = 1$

Подставим $x=1$ в любое из уравнений: $y = -2(1) + 6 = 4$.

Координаты вершины A: $(1, 4)$.

- Вершина B (пересечение прямых $y = 1.5x + 2.5$ и $y = -3$):

$-3 = 1.5x + 2.5$

$1.5x = -5.5$

$x = -5.5 / 1.5 = -11/3$

Координаты вершины B: $(-11/3, -3)$.

- Вершина C (пересечение прямых $y = -2x + 6$ и $y = -3$):

$-3 = -2x + 6$

$2x = 9$

$x = 4.5 = 9/2$

Координаты вершины C: $(9/2, -3)$.

3. Область, удовлетворяющая системе неравенств ($y \le 1.5x + 2.5$, $y \le -2x + 6$, $y \ge -3$), представляет собой треугольник с вершинами A, B и C.

Графическое представление треугольника:

Ответ: Треугольник, заданный системой неравенств, имеет вершины в точках A(1, 4), B(-11/3, -3) и C(9/2, -3).

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y - 3 \le 4x \\ 3x + y \le 7 \\ y + 2 \ge 0 \end{cases} $

1. Запишем уравнения прямых, ограничивающих область:

- $y - 3 = 4x \implies y = 4x + 3$

- $3x + y = 7 \implies y = -3x + 7$

- $y + 2 = 0 \implies y = -2$

2. Найдем вершины треугольника как точки пересечения этих прямых.

- Вершина A (пересечение $y = 4x + 3$ и $y = -3x + 7$):

$4x + 3 = -3x + 7$

$7x = 4 \implies x = 4/7$

$y = 4(4/7) + 3 = 16/7 + 21/7 = 37/7$

Координаты вершины A: $(4/7, 37/7)$.

- Вершина B (пересечение $y = 4x + 3$ и $y = -2$):

$-2 = 4x + 3$

$4x = -5 \implies x = -5/4$

Координаты вершины B: $(-5/4, -2)$.

- Вершина C (пересечение $y = -3x + 7$ и $y = -2$):

$-2 = -3x + 7$

$3x = 9 \implies x = 3$

Координаты вершины C: $(3, -2)$.

3. Искомый треугольник ограничен прямыми и имеет вершины A, B, C. Область решений удовлетворяет условиям: $y \le 4x+3$, $y \le -3x+7$ и $y \ge -2$.

Графическое представление треугольника:

Ответ: Треугольник, заданный системой неравенств, имеет вершины в точках A(4/7, 37/7), B(-5/4, -2) и C(3, -2).

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y - 4 \le -3x \\ 2x - y \le 6 \\ x \ge -4 \end{cases} $

1. Запишем уравнения прямых, ограничивающих область:

- $y - 4 = -3x \implies y = -3x + 4$

- $2x - y = 6 \implies y = 2x - 6$

- $x = -4$ (это вертикальная прямая)

2. Найдем вершины треугольника как точки пересечения этих прямых.

- Вершина A (пересечение $y = -3x + 4$ и $y = 2x - 6$):

$-3x + 4 = 2x - 6$

$5x = 10 \implies x = 2$

$y = 2(2) - 6 = -2$

Координаты вершины A: $(2, -2)$.

- Вершина B (пересечение $y = -3x + 4$ и $x = -4$):

$x = -4$

$y = -3(-4) + 4 = 12 + 4 = 16$

Координаты вершины B: $(-4, 16)$.

- Вершина C (пересечение $y = 2x - 6$ и $x = -4$):

$x = -4$

$y = 2(-4) - 6 = -8 - 6 = -14$

Координаты вершины C: $(-4, -14)$.

3. Искомый треугольник ограничен прямыми и имеет вершины A, B, C. Область решений удовлетворяет условиям: $y \le -3x+4$, $y \ge 2x-6$ и $x \ge -4$.

Графическое представление треугольника:

Ответ: Треугольник, заданный системой неравенств, имеет вершины в точках A(2, -2), B(-4, 16) и C(-4, -14).