Номер 6.14, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.14. Задайте системой неравенств кольцо, если его ограничивают окружности, которые имеют центр в точке:

1) A(2; 5) и их радиусы равны 2 и 4;$
4 \le (x-2)^2 + (y-5)^2 \le 16$

2) A(-1; 2) и их радиусы равны 1 и 3;$
1 \le (x+1)^2 + (y-2)^2 \le 9$

3) A(-2; -1) и их радиусы равны $\sqrt{3}$ и $\sqrt{6}$;$
3 \le (x+2)^2 + (y+1)^2 \le 6$

4) A(1,5; -2) и их радиусы равны $\sqrt{5}$ и $2\sqrt{2}$.$
5 \le (x-1.5)^2 + (y+2)^2 \le 8$

Кольцо представляет собой область, заключенную между двумя концентрическими окружностями. Если центр этих окружностей находится в точке $A(x_0, y_0)$, а их радиусы равны $R_1$ и $R_2$ (при $R_1 < R_2$), то множество точек $(x, y)$, принадлежащих этому кольцу, задается двойным неравенством: $R_1^2 < (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < R_2^2$. Мы используем эту общую формулу для решения каждого из подпунктов.

1) В данном случае центр окружностей находится в точке $A(2; 5)$, поэтому $x_0 = 2$ и $y_0 = 5$. Радиусы равны $R_1 = 2$ и $R_2 = 4$. Найдем квадраты радиусов: $R_1^2 = 2^2 = 4$ и $R_2^2 = 4^2 = 16$. Подставив эти значения в общую формулу, получаем систему неравенств, задающую кольцо.
Ответ: $4 < (x - 2)^2 + (y - 5)^2 < 16$.

2) Центр окружностей находится в точке $A(-1; 2)$, следовательно $x_0 = -1$ и $y_0 = 2$. Радиусы равны $R_1 = 1$ и $R_2 = 3$. Квадраты радиусов: $R_1^2 = 1^2 = 1$ и $R_2^2 = 3^2 = 9$. Подставляем значения в формулу: $1 < (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 < 9$.
Ответ: $1 < (x + 1)^2 + (y - 2)^2 < 9$.

3) Центр окружностей находится в точке $A(-2; -1)$, откуда $x_0 = -2$ и $y_0 = -1$. Радиусы равны $R_1 = \sqrt{3}$ и $R_2 = \sqrt{6}$. Квадраты радиусов: $R_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$ и $R_2^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$. Подставляем значения в формулу: $3 < (x - (-2))^2 + (y - (-1))^2 < 6$.
Ответ: $3 < (x + 2)^2 + (y + 1)^2 < 6$.

4) Центр окружностей находится в точке $A(1,5; -2)$, значит $x_0 = 1,5$ и $y_0 = -2$. Радиусы равны $R_1 = \sqrt{5}$ и $R_2 = 2\sqrt{2}$. Квадраты радиусов: $R_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$ и $R_2^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Подставляем значения в формулу: $5 < (x - 1,5)^2 + (y - (-2))^2 < 8$.
Ответ: $5 < (x - 1,5)^2 + (y + 2)^2 < 8$.