Номер 6.16, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 6. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными. Глава I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Часть 1 - номер 6.16, страница 65.

Условие рус.

6.16. Запишите систему неравенств, задающих на плоскости множество точек, показанных штриховкой на рисунке 17.

1)

$1 \le x^2 + y^2 \le 4$

2)

$x^2 + y^2 \le 16$

$x + y \le 4$

3)

$x^2 + y^2 \le 16$

$y \ge x^2$

Рис. 17

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1) Заштрихованная область представляет собой кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат $O(0,0)$.
Радиус внутренней окружности $r_1=2$. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 2^2 = 4$. Область находится вне этой окружности (включая границу), следовательно, $x^2 + y^2 \ge 4$.
Радиус внешней окружности $r_2=4$. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 4^2 = 16$. Область находится внутри этой окружности (включая границу), следовательно, $x^2 + y^2 \le 16$.
Таким образом, множество точек описывается системой из двух неравенств, которую можно записать в виде двойного неравенства.
Ответ: $4 \le x^2 + y^2 \le 16$.

2) Заштрихованная область ограничена окружностью и прямой.
Окружность имеет центр в начале координат $O(0,0)$ и радиус $r=4$. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 16$. Поскольку область находится внутри окружности (включая границу), то выполняется неравенство $x^2 + y^2 \le 16$.
Прямая проходит через точки $(4,0)$ и $(0,4)$. Уравнение прямой в отрезках: $\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$, или $x+y=4$. Область находится ниже этой прямой (включая границу), следовательно, $y \le 4-x$, или $x+y \le 4$.
Область задается системой из этих двух неравенств.
Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ x+y \le 4 \end{cases}$.

3) Заштрихованная область ограничена окружностью и параболой.
Окружность имеет центр в начале координат $O(0,0)$ и радиус $r=4$. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 16$. Область находится внутри окружности, включая границу, поэтому $x^2 + y^2 \le 16$.
Парабола имеет вершину в начале координат и ветви, направленные вверх. Стандартное уравнение такой параболы $y = ax^2$, где $a>0$. Судя по рисунку, она проходит через точки, близкие к $(\pm 1, 1)$ и $(\pm 2, 4)$. Наиболее вероятное уравнение - это $y=x^2$. Область находится над параболой (включая границу), следовательно, $y \ge x^2$.
Область задается системой из этих двух неравенств.
Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ y \ge x^2 \end{cases}$.