Номер 6.20, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.20. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданной системой неравенств:

1) $\begin{cases} |y| \geq |x| \\ x^2 + y^2 \leq 9 \end{cases};$2) $\begin{cases} |y| \leq |x| \\ x^2 + y^2 \leq 4 \end{cases};$3) $\begin{cases} y \geq 2 - |x| \\ x^2 + y^2 \leq 5 \end{cases};$4) $\begin{cases} y \geq 3 - |x| \\ x^2 + y^2 \leq 7 \end{cases}.$

1)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |y| \ge |x| \\ x^2 + y^2 \le 9 \end{cases} $$ Первое неравенство, $|y| \ge |x|$, задает множество точек, для которых модуль ординаты не меньше модуля абсциссы. Границами этой области являются биссектрисы координатных углов — прямые $y = x$ и $y = -x$. Неравенству удовлетворяют точки, расположенные в двух вертикальных секторах, образованных этими прямыми и содержащих ось $Oy$.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 3, находящаяся в указанных вертикальных секторах.

Ответ: Решением системы является множество точек, образующее два сектора круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 3. Секторы ограничены прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержат ось $Oy$. Границы включены в решение.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |y| \le |x| \\ x^2 + y^2 \le 4 \end{cases} $$ Первое неравенство, $|y| \le |x|$, задает множество точек, для которых модуль ординаты не превосходит модуля абсциссы. Границами этой области являются прямые $y = x$ и $y = -x$. Неравенству удовлетворяют точки, расположенные в двух горизонтальных секторах, образованных этими прямыми и содержащих ось $Ox$.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 4$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 2, находящаяся в указанных горизонтальных секторах.

Ответ: Решением системы является множество точек, образующее два сектора круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 2. Секторы ограничены прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержат ось $Ox$. Границы включены в решение.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 2 - |x| \\ x^2 + y^2 \le 5 \end{cases} $$ Первое неравенство, $y \ge 2 - |x|$, задает область над графиком функции $y = 2 - |x|$. График представляет собой "уголок", с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 2)$.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 5$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{5} \approx 2.24$.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга, расположенная выше графика $y = 2 - |x|$. Вершина уголка $(0, 2)$ находится внутри круга, так как $0^2 + 2^2 = 4 < 5$.

Ответ: Решением системы является сегмент круга $x^2 + y^2 \le 5$, отсекаемый сверху "уголком" $y = 2 - |x|$. Границы включены в решение.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 3 - |x| \\ x^2 + y^2 \le 7 \end{cases} $$ Первое неравенство, $y \ge 3 - |x|$, задает область над графиком функции $y = 3 - |x|$. График представляет собой "уголок", с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 3)$.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 7$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{7} \approx 2.65$.
Решением системы является пересечение этих двух множеств. Вершина уголка $(0, 3)$ находится вне круга, так как $0^2 + 3^2 = 9 > 7$. Таким образом, "уголок" отсекает верхнюю часть круга. Искомое множество — это часть круга, расположенная над графиком $y = 3 - |x|$.

Ответ: Решением системы является верхний сегмент круга $x^2 + y^2 \le 7$, отсекаемый "уголком" $y = 3 - |x|$. Границы включены в решение.