Номер 6.18, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.18. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданной системой неравенств:

1) $ \begin{cases} y \ge |x|, \\ x^2 + y \le 9; \end{cases} $2) $ \begin{cases} y \ge |x|, \\ x^2 + y \le 4; \end{cases} $3) $ \begin{cases} y \ge 2 - |x|, \\ x^2 + y \le 3; \end{cases} $4) $ \begin{cases} y \ge 3 - |x|, \\ x^2 - y \le 3. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge |x|, \\ x^2 + y \le 9; \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge |x|$, задает множество точек, расположенных на и выше графика функции $y = |x|$. График $y = |x|$ представляет собой две прямые $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, образующие "угол" с вершиной в начале координат.

Второе неравенство, $x^2 + y \le 9$, можно переписать в виде $y \le 9 - x^2$. Оно задает множество точек, расположенных на и ниже параболы $y = 9 - x^2$. Эта парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 9)$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — область, ограниченная снизу "углом" $y=|x|$ и сверху параболой $y=9-x^2$. Границы области, являющиеся решениями соответствующих уравнений, включаются в искомое множество.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих системе неравенств, заштриховано на рисунке. Это область, ограниченная снизу графиком $y=|x|$ (синяя линия) и сверху параболой $y=9-x^2$ (красная линия).

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge |x|, \\ x^2 + y \le 4; \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge |x|$, задает область на и выше графика функции $y = |x|$.

Второе неравенство, $x^2 + y \le 4$, можно представить как $y \le 4 - x^2$. Оно задает область на и ниже параболы $y = 4 - x^2$ с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями вниз.

Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть фигура, ограниченная снизу "углом" $y=|x|$ и сверху параболой $y=4-x^2$. Границы включены.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих системе, заштриховано на рисунке. Это область, ограниченная снизу графиком $y=|x|$ (синяя линия) и сверху параболой $y=4-x^2$ (красная линия).

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 2 - |x|, \\ x^2 + y \le 3; \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 2 - |x|$, задает множество точек на и выше графика функции $y = 2 - |x|$. График этой функции — "угол", перевернутый и сдвинутый вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$.

Второе неравенство, $x^2 + y \le 3$, или $y \le 3 - x^2$, задает множество точек на и ниже параболы $y = 3 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 3)$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — область, заключенная между "углом" $y = 2 - |x|$ и параболой $y = 3 - x^2$. Границы включены.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих системе, заштриховано на рисунке. Это область, ограниченная снизу графиком $y=2-|x|$ (синяя линия) и сверху параболой $y=3-x^2$ (красная линия).

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 3 - |x|, \\ x^2 - y \le 3. \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 3 - |x|$, задает множество точек на и выше графика функции $y = 3 - |x|$. Это "угол", перевернутый и смещенный вверх, с вершиной в точке $(0, 3)$.

Второе неравенство, $x^2 - y \le 3$, можно переписать как $y \ge x^2 - 3$. Оно задает множество точек на и выше параболы $y = x^2 - 3$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -3)$.

Решением системы является множество точек, которые находятся одновременно выше обоих графиков. Таким образом, искомое множество точек лежит выше границы, образованной "верхней огибающей" двух графиков: $y=3-|x|$ для $x \in [-2, 2]$ и $y=x^2-3$ для $x \notin [-2, 2]$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих системе, заштриховано на рисунке. Это область, расположенная над границей, которая состоит из части параболы $y=x^2-3$ (красная линия) при $|x| \ge 2$ и части "угла" $y=3-|x|$ (синяя линия) при $|x| < 2$.