Номер 6.22, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.22. Значение разности квадратов двух чисел равно 100. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получим число 30. Найдите эти числа.

Пусть первое число — это $x$, а второе — $y$.

Исходя из условия задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: "Значение разности квадратов двух чисел равно 100". Математически это записывается так:

$x^2 - y^2 = 100$

Второе условие: "Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получим число 30". Это можно записать в виде уравнения:

$3x - 2y = 30$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 100 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$

Решим эту систему. Для начала выразим $y$ из второго уравнения:

$2y = 3x - 30$

$y = \frac{3x - 30}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{3x - 30}{2}\right)^2 = 100$

Упростим это уравнение. Раскроем квадрат в числителе и возведем в квадрат знаменатель:

$x^2 - \frac{9x^2 - 180x + 900}{4} = 100$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 4:

$4x^2 - (9x^2 - 180x + 900) = 400$

$4x^2 - 9x^2 + 180x - 900 = 400$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$-5x^2 + 180x - 900 - 400 = 0$

$-5x^2 + 180x - 1300 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на -5:

$x^2 - 36x + 260 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260 = 1296 - 1040 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-(-36) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-(-36) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя ранее выведенную формулу $y = \frac{3x - 30}{2}$.

1. Если $x_1 = 26$, то:

$y_1 = \frac{3 \cdot 26 - 30}{2} = \frac{78 - 30}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Таким образом, первая пара чисел — это 26 и 24.

2. Если $x_2 = 10$, то:

$y_2 = \frac{3 \cdot 10 - 30}{2} = \frac{30 - 30}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, вторая пара чисел — это 10 и 0.

Проверим оба решения:

Для пары (26, 24):

$26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100$ (верно)

$3 \cdot 26 - 2 \cdot 24 = 78 - 48 = 30$ (верно)

Для пары (10, 0):

$10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$ (верно)

$3 \cdot 10 - 2 \cdot 0 = 30 - 0 = 30$ (верно)

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 26 и 24, или 10 и 0.