Номер 6.15, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 6. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными. Глава I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Часть 1 - номер 6.15, страница 65.

Условие рус.

6.15. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное системой неравенств:

1) $\begin{cases} |x| < 2, \\ x^2 + y^2 &\le 9; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} |x| > 1, \\ x^2 + y^2 &\le 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} |x| < 3, \\ x^2 + y^2 &\ge 4; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} |x| < 4, \\ x^2 + y^2 &\ge 1; \end{cases}$

5) $\begin{cases} |y| < 2, \\ x^2 + y^2 &> 8; \end{cases}$ 6) $\begin{cases} |y| < 1.5, \\ x^2 + y^2 &< 9; \end{cases}$

7) $\begin{cases} |y| < 4.5, \\ x^2 + y^2 &\ge 2.89; \end{cases}$ 8) $\begin{cases} |y| > 2, \\ x^2 + y^2 &< 16. \end{cases}$

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1)

Первое неравенство в системе, $|x| < 2$, эквивалентно двойному неравенству $-2 < x < 2$. Это множество точек на координатной плоскости, расположенных в вертикальной полосе между прямыми $x=-2$ и $x=2$. Границы полосы (сами прямые) не включаются в множество, поэтому на графике они будут изображены пунктирными линиями.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{9}=3$. Это множество включает в себя все точки внутри окружности и на самой окружности. Граница круга будет сплошной линией.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 3, которая находится внутри вертикальной полосы от -2 до 2.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

2)

Неравенство $|x| > 1$ эквивалентно совокупности неравенств $x < -1$ или $x > 1$. Это множество точек, лежащих левее прямой $x=-1$ и правее прямой $x=1$. Границы (прямые) не включаются.
Неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом $R=\sqrt{4}=2$. Граница круга включается.
Решением системы является пересечение этих множеств: две части круга радиуса 2, которые находятся в областях $x<-1$ и $x>1$.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

3)

Неравенство $|x| < 3$ задает открытую вертикальную полосу $-3 < x < 3$. Границы $x=-3$ и $x=3$ не включаются.
Неравенство $x^2 + y^2 \ge 4$ задает множество точек, лежащих вне или на границе окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{4}=2$. Граница (окружность) включается.
Решением системы является часть вертикальной полосы, из которой удален открытый круг радиуса 2. Граница этого круга является частью решения.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

4)

Задача аналогична предыдущей. Неравенство $|x| < 4$ задает открытую вертикальную полосу $-4 < x < 4$.
Неравенство $x^2 + y^2 \ge 1$ задает область вне или на границе окружности с радиусом $R=\sqrt{1}=1$.
Решением является вертикальная полоса от -4 до 4, из которой удален открытый круг радиуса 1 с центром в начале координат. Граница круга (окружность) является частью решения.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

5)

Неравенство $|y| < 2$ задает открытую горизонтальную полосу $-2 < y < 2$. Границы $y=-2$ и $y=2$ не включаются.
Неравенство $x^2 + y^2 > 8$ задает область строго вне окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.83$. Граница окружности не включается.
Решением системы является часть горизонтальной полосы, из которой удален замкнутый круг радиуса $\sqrt{8}$. Все границы (и прямолинейные, и криволинейные) являются пунктирными.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

6)

Неравенство $|y| < 1.5$ задает открытую горизонтальную полосу $-1.5 < y < 1.5$. Границы не включаются.
Неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=3$. Граница включается.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга, заключенная в горизонтальной полосе. Криволинейные границы будут сплошными, а прямолинейные — пунктирными.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

7)

Неравенство $|y| < 4.5$ задает открытую горизонтальную полосу $-4.5 < y < 4.5$.
Неравенство $x^2 + y^2 \ge 2.89$ задает область вне или на границе окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{2.89}=1.7$.
Решением является горизонтальная полоса от -4.5 до 4.5, из которой удален открытый круг радиуса 1.7. Граница круга (окружность) является частью решения и изображается сплошной линией, а границы полосы — пунктирными.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

8)

Неравенство $|y| > 2$ эквивалентно совокупности $y > 2$ или $y < -2$. Это область, лежащая выше прямой $y=2$ и ниже прямой $y=-2$.
Неравенство $x^2 + y^2 < 16$ задает открытый круг с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{16}=4$.
Решением является пересечение этих множеств: две части (сегмента) открытого круга, отрезанные прямыми $y=2$ и $y=-2$. Все границы итогового множества не включаются и изображаются пунктирными линиями.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.