Номер 6.12, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.12. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых являются решениями системы неравенств:

1) $\begin{cases} y^2 + x^2 \ge 1, \\ x^2 + y^2 \le 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y - 0,5x^2 \le 1, \\ x^2 + y^2 \le 9; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - 2x^2 + x \le 1, \\ x^2 + y^2 \ge 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y^2 + x^2 \ge 5, \\ x^2 + y^2 \le 16. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y^2 + x^2 \ge 1, \\x^2 + y^2 \le 4;\end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \ge 1$, описывает множество точек, находящихся на и вне окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R_1=1$.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 4$, описывает множество точек, находящихся на и внутри окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R_2=\sqrt{4}=2$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями, включая их границы.

Ответ: Изображенное множество точек представляет собой кольцо, ограниченное окружностями $x^2 + y^2 = 1$ и $x^2 + y^2 = 4$, включая сами окружности.

2)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - 0.5x^2 \le 1, \\x^2 + y^2 \le 9;\end{cases}$

Первое неравенство можно переписать в виде $y \le 0.5x^2 + 1$. Оно описывает множество точек, лежащих на и ниже параболы $y = 0.5x^2 + 1$. Вершина этой параболы находится в точке (0, 1), ветви направлены вверх.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, описывает множество точек, находящихся на и внутри окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=\sqrt{9}=3$.

Решением системы является пересечение этих двух областей — часть круга, которая лежит ниже параболы.

Ответ: Изображенное множество точек представляет собой область внутри окружности $x^2 + y^2 = 9$, ограниченную сверху параболой $y = 0.5x^2 + 1$. Границы области включены.

3)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - 2x^2 + x \le 1, \\x^2 + y^2 \ge 1;\end{cases}$

Первое неравенство можно переписать как $y \le 2x^2 - x + 1$. Оно описывает множество точек, лежащих на и ниже параболы $y = 2x^2 - x + 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(1/4, 7/8)$, ветви направлены вверх.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \ge 1$, описывает множество точек, находящихся на и вне единичной окружности с центром в начале координат.

Решением системы является множество точек, которые одновременно находятся ниже параболы и вне единичной окружности.

Ответ: Изображенное множество точек представляет собой область, лежащую вне окружности $x^2 + y^2 = 1$ и одновременно под параболой $y = 2x^2 - x + 1$. Границы области включены.

4)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y^2 + x^2 \ge 5, \\x^2 + y^2 \le 16.\end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \ge 5$, описывает множество точек, находящихся на и вне окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R_1=\sqrt{5} \approx 2.24$.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 16$, описывает множество точек, находящихся на и внутри окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R_2=\sqrt{16}=4$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями, включая их границы.

Ответ: Изображенное множество точек представляет собой кольцо, ограниченное окружностями $x^2 + y^2 = 5$ и $x^2 + y^2 = 16$, включая сами окружности.