Номер 6.9, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.9. На координатной плоскости покажите штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1)

$ \begin{cases} y - 1 < 0, \\ x^2 + y^2 < 4; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} y \ge 0, \\ x^2 + y^2 < 5; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} x - 1 < 0, \\ x^2 + y^2 \le 9; \end{cases} $

4)

$ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ x^2 + y^2 < 16; \end{cases} $

5)

$ \begin{cases} y + x < 0, \\ x^2 + y^2 \le 1; \end{cases} $

6)

$ \begin{cases} y - x \ge 0, \\ x^2 + y^2 \le 4; \end{cases} $

7)

$ \begin{cases} y + 2x \ge 0, \\ x^2 + y^2 \ge 9; \end{cases} $

8)

$ \begin{cases} y - 0.5x \le 0, \\ x^2 + y^2 \ge 16. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - 1 < 0, \\ x^2 + y^2 < 4. \end{cases} $

Первое неравенство $y - 1 < 0$ эквивалентно $y < 1$. Это множество точек, лежащих ниже горизонтальной прямой $y = 1$. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 < 4$ задает множество точек внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Так как неравенство строгое, сама окружность не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть открытого круга радиуса 2, которая находится ниже прямой $y=1$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, лежащая одновременно внутри окружности $x^2 + y^2 = 4$ и под прямой $y=1$. Границы (окружность и прямая) не включены в множество.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 0, \\ x^2 + y^2 < 5. \end{cases} $

Первое неравенство $y \ge 0$ задает верхнюю полуплоскость, включая ось Ox. Граница $y = 0$ (ось абсцисс) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 < 5$ задает множество точек внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{5} \approx 2.24$. Так как неравенство строгое, сама окружность не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: верхняя половина открытого круга (полукруг), лежащая не ниже оси Ox, при этом отрезок оси Ox от $-\sqrt{5}$ до $\sqrt{5}$ включен в решение.

Ответ: Искомое множество точек — это полукруг, расположенный в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), ограниченный сверху дугой окружности $x^2+y^2=5$. Дуга окружности не включается, а диаметр, лежащий на оси Ox, включается.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x - 1 < 0, \\ x^2 + y^2 \le 9. \end{cases} $

Первое неравенство $x - 1 < 0$ эквивалентно $x < 1$. Это множество точек, лежащих левее вертикальной прямой $x = 1$. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Граница (окружность) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 3, которая находится левее прямой $x=1$.

Ответ: Искомое множество точек — это сегмент круга $x^2 + y^2 \le 9$, отсекаемый прямой $x=1$ слева. Окружность включена в решение, а вертикальная прямая $x=1$ — нет.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ x^2 + y^2 < 16. \end{cases} $

Первое неравенство $x + 1 > 0$ эквивалентно $x > -1$. Это множество точек, лежащих правее вертикальной прямой $x = -1$. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 < 16$ задает множество точек внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Так как неравенство строгое, сама окружность не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть открытого круга радиуса 4, которая находится правее прямой $x=-1$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, лежащая одновременно внутри окружности $x^2 + y^2 = 16$ и справа от прямой $x=-1$. Обе границы (окружность и прямая) не включены в множество.

5)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y + x < 0, \\ x^2 + y^2 \le 1. \end{cases} $

Первое неравенство $y + x < 0$ эквивалентно $y < -x$. Это множество точек, лежащих ниже прямой $y = -x$. Прямая проходит через начало координат под углом $135^\circ$ к положительному направлению оси Ox. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 1$ задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$. Граница (окружность) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: полукруг, отсекаемый от круга $x^2 + y^2 \le 1$ прямой $y = -x$ и лежащий под ней.

Ответ: Искомое множество точек — это полукруг, ограниченный дугой окружности $x^2+y^2=1$ и диаметром, лежащим на прямой $y=-x$. Дуга окружности включена, а диаметр — нет.

6)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - x \ge 0, \\ x^2 + y^2 \le 4. \end{cases} $

Первое неравенство $y - x \ge 0$ эквивалентно $y \ge x$. Это множество точек, лежащих на прямой $y=x$ или выше нее. Прямая проходит через начало координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению оси Ox. Так как неравенство нестрогое, сама прямая включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Граница (окружность) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: полукруг, отсекаемый от круга $x^2 + y^2 \le 4$ прямой $y = x$ и лежащий не ниже нее.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутый полукруг, ограниченный дугой окружности $x^2+y^2=4$ и диаметром, лежащим на прямой $y=x$. Все границы включены в решение.

7)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y + 2x \ge 0, \\ x^2 + y^2 > 9. \end{cases} $

Первое неравенство $y + 2x \ge 0$ эквивалентно $y \ge -2x$. Это множество точек, лежащих на прямой $y=-2x$ или выше нее. Так как неравенство нестрогое, сама прямая включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 > 9$ задает множество точек вне окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Так как неравенство строгое, сама окружность не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть плоскости, которая находится одновременно вне круга радиуса 3 и не ниже прямой $y=-2x$.

Ответ: Искомое множество точек — это часть плоскости, расположенная вне окружности $x^2 + y^2 = 9$ и не ниже прямой $y=-2x$. Окружность не включена в решение, а прямая — включена.

8)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - 0.5x \le 0, \\ x^2 + y^2 \ge 16. \end{cases} $

Первое неравенство $y - 0.5x \le 0$ эквивалентно $y \le 0.5x$. Это множество точек, лежащих на прямой $y=0.5x$ или ниже нее. Так как неравенство нестрогое, сама прямая включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \ge 16$ задает множество точек на окружности или вне ее с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Так как неравенство нестрогое, сама окружность включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть плоскости, которая находится одновременно на или вне круга радиуса 4 и не выше прямой $y=0.5x$.

Ответ: Искомое множество точек — это часть плоскости, расположенная на или вне окружности $x^2 + y^2 = 16$ и не выше прямой $y=0.5x$. Обе границы (окружность и прямая) включены в решение.