Номер 6.11, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.11. Изобразите множество точек плоскости, которое задается системой неравенств:

1)

$\begin{cases} x + y < 2, \\ x^2 + y^2 \le 9; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x + y < 1, \\ x^2 + y^2 \le 4; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 3x - y \ge 3, \\ x^2 + y^2 \le 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} -x + y < 2, \\ x^2 + y^2 \le 25. \end{cases}$

1)

Данная система неравенств: $ \begin{cases} x + y < 2 \\ x^2 + y^2 \le 9 \end{cases} $.

Первое неравенство $x + y < 2$ можно переписать в виде $y < -x + 2$. Оно задает открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -x + 2$. Граничная прямая не включается в решение, поэтому на графике она изображается пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Граничная окружность $x^2 + y^2 = 9$ включается в решение и изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга, которая находится ниже прямой. Найдем точки пересечения прямой $y = -x + 2$ и окружности $x^2 + y^2 = 9$. Подставив $y$ из уравнения прямой в уравнение окружности, получим $x^2 + (-x+2)^2 = 9$, что упрощается до $2x^2 - 4x - 5 = 0$. Корни этого уравнения: $x_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$. Соответствующие точки пересечения: $P_1(1-\frac{\sqrt{14}}{2}, 1+\frac{\sqrt{14}}{2}) \approx (-0.87, 2.87)$ и $P_2(1+\frac{\sqrt{14}}{2}, 1-\frac{\sqrt{14}}{2}) \approx (2.87, -0.87)$.

Изобразим множество точек на плоскости:

Ответ: Множество точек, являющееся решением системы, представляет собой сегмент круга с центром в $(0,0)$ и радиусом $3$, ограниченный сверху хордой, лежащей на прямой $y = -x + 2$. Граница круга включена в решение, а граница-прямая — нет.

2)

Данная система неравенств: $ \begin{cases} 2x + y < 1 \\ x^2 + y^2 \le 4 \end{cases} $.

Первое неравенство $2x + y < 1$ переписывается как $y < -2x + 1$. Оно задает открытую полуплоскость ниже прямой $y = -2x + 1$. Граничная прямая изображается пунктиром, так как не является частью решения.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает замкнутый круг с центром в $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Граничная окружность изображается сплошной линией, так как является частью решения.

Решением является пересечение круга и полуплоскости. Найдем точки пересечения прямой $y = -2x + 1$ и окружности $x^2 + y^2 = 4$: $x^2 + (-2x+1)^2 = 4$, что упрощается до $5x^2 - 4x - 3 = 0$. Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{19}}{5}$. Точки пересечения: $P_1(\frac{2-\sqrt{19}}{5}, \frac{1+2\sqrt{19}}{5}) \approx (-0.47, 1.94)$ и $P_2(\frac{2+\sqrt{19}}{5}, \frac{1-2\sqrt{19}}{5}) \approx (1.27, -1.54)$.

Изобразим множество точек на плоскости:

Ответ: Решением является сегмент круга радиуса 2 с центром в начале координат, ограниченный сверху хордой, лежащей на прямой $y = -2x + 1$. Граница круга является частью решения, а прямая — нет.

3)

Данная система неравенств: $ \begin{cases} 3x - y \ge 3 \\ x^2 + y^2 \le 1 \end{cases} $.

Первое неравенство $3x - y \ge 3$ можно переписать как $y \le 3x - 3$. Оно задает замкнутую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = 3x - 3$. Граничная прямая включается в решение и изображается сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 1$ задает замкнутый круг с центром в $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{1} = 1$. Граничная окружность также включается в решение и изображается сплошной линией.

Решением является пересечение круга и полуплоскости. Найдем точки пересечения прямой $y = 3x - 3$ и окружности $x^2 + y^2 = 1$: $x^2 + (3x-3)^2 = 1$, что упрощается до $10x^2 - 18x + 8 = 0$ или $5x^2 - 9x + 4 = 0$. Корни: $x_1=1, x_2=0.8$. Точки пересечения: $P_1(1, 0)$ и $P_2(0.8, -0.6)$.

Изобразим множество точек на плоскости:

Ответ: Решением является сегмент круга радиуса 1 с центром в начале координат, ограниченный сверху хордой, лежащей на прямой $y = 3x - 3$. Обе границы (часть окружности и хорда) являются частью решения.

4)

Данная система неравенств: $ \begin{cases} -x + y < 2 \\ x^2 + y^2 \le 25 \end{cases} $.

Первое неравенство $-x + y < 2$ переписывается как $y < x + 2$. Оно задает открытую полуплоскость ниже прямой $y = x + 2$. Граничная прямая изображается пунктиром, так как не является частью решения.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ задает замкнутый круг с центром в $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$. Граничная окружность изображается сплошной линией, так как является частью решения.

Решением является пересечение круга и полуплоскости. Найдем точки пересечения прямой $y = x + 2$ и окружности $x^2 + y^2 = 25$: $x^2 + (x+2)^2 = 25$, что упрощается до $2x^2 + 4x - 21 = 0$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{46}}{2}$. Точки пересечения: $P_1(\frac{-2-\sqrt{46}}{2}, \frac{2-\sqrt{46}}{2}) \approx (-4.39, -2.39)$ и $P_2(\frac{-2+\sqrt{46}}{2}, \frac{2+\sqrt{46}}{2}) \approx (2.39, 4.39)$.

Изобразим множество точек на плоскости:

Ответ: Решением является сегмент круга радиуса 5 с центром в начале координат, ограниченный сверху хордой, лежащей на прямой $y = x + 2$. Граница окружности является частью решения, а прямая — нет.