Номер 6.5, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.5. Начертите на координатной плоскости прямоугольник, заданный системой неравенств, и найдите его площадь:

1) $\begin{cases} -2 \le y \le 3, \\ -1 \le x \le 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} -3 \le y \le 4, \\ -2 \le x \le 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} -2 \le y \le 0, \\ 1 \le x \le 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2.1 \le y \le 3, \\ 1.2 \le x \le 3.5. \end{cases}$

Задача состоит в том, чтобы для каждой системы неравенств начертить на координатной плоскости соответствующий ей прямоугольник и найти его площадь.

1) Дана система неравенств: $\begin{cases} -2 \le y \le 3, \\ -1 \le x \le 3; \end{cases}$

Эта система задает на координатной плоскости прямоугольник. Неравенство $-1 \le x \le 3$ означает, что все точки фигуры лежат в полосе между вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 3$. Неравенство $-2 \le y \le 3$ означает, что все точки фигуры лежат в полосе между горизонтальными прямыми $y = -2$ и $y = 3$.

Пересечение этих двух полос и образует искомый прямоугольник. Его вершины находятся в точках пересечения этих прямых и имеют координаты: $(-1, -2)$, $(3, -2)$, $(3, 3)$ и $(-1, 3)$.

Найдем длины сторон прямоугольника. Стороны прямоугольника параллельны осям координат.

Длина стороны, параллельной оси X, равна разности максимальной и минимальной абсцисс: $a = 3 - (-1) = 4$.

Длина стороны, параллельной оси Y, равна разности максимальной и минимальной ординат: $b = 3 - (-2) = 5$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

$S = 4 \cdot 5 = 20$ квадратных единиц.

Изображение прямоугольника на координатной плоскости:

Ответ: Площадь прямоугольника равна 20.

2) Дана система неравенств: $\begin{cases} -3 \le y \le 4, \\ -2 \le x \le 5; \end{cases}$

Неравенство $-2 \le x \le 5$ задает полосу, ограниченную вертикальными прямыми $x = -2$ и $x = 5$. Неравенство $-3 \le y \le 4$ задает полосу, ограниченную горизонтальными прямыми $y = -3$ и $y = 4$.

Прямоугольник, определяемый системой, имеет вершины в точках: $(-2, -3)$, $(5, -3)$, $(5, 4)$ и $(-2, 4)$.

Длина стороны, параллельной оси X: $a = 5 - (-2) = 7$.

Длина стороны, параллельной оси Y: $b = 4 - (-3) = 7$.

Площадь прямоугольника (в данном случае квадрата): $S = a \cdot b = 7 \cdot 7 = 49$ квадратных единиц.

Изображение прямоугольника на координатной плоскости:

Ответ: Площадь прямоугольника равна 49.

3) Дана система неравенств: $\begin{cases} -2 \le y \le 0, \\ 1 \le x \le 3; \end{cases}$

Прямоугольник ограничен вертикальными прямыми $x = 1$ и $x = 3$, и горизонтальными прямыми $y = -2$ и $y = 0$ (ось абсцисс).

Вершины прямоугольника имеют координаты: $(1, -2)$, $(3, -2)$, $(3, 0)$ и $(1, 0)$.

Длина стороны, параллельной оси X: $a = 3 - 1 = 2$.

Длина стороны, параллельной оси Y: $b = 0 - (-2) = 2$.

Площадь прямоугольника (квадрата): $S = a \cdot b = 2 \cdot 2 = 4$ квадратные единицы.

Изображение прямоугольника на координатной плоскости:

Ответ: Площадь прямоугольника равна 4.

4) Дана система неравенств: $\begin{cases} 2.1 \le y \le 3, \\ 1.2 \le x \le 3.5; \end{cases}$

Прямоугольник ограничен вертикальными прямыми $x = 1.2$ и $x = 3.5$, и горизонтальными прямыми $y = 2.1$ и $y = 3$.

Вершины прямоугольника имеют координаты: $(1.2, 2.1)$, $(3.5, 2.1)$, $(3.5, 3)$ и $(1.2, 3)$.

Длина стороны, параллельной оси X: $a = 3.5 - 1.2 = 2.3$.

Длина стороны, параллельной оси Y: $b = 3 - 2.1 = 0.9$.

Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b = 2.3 \cdot 0.9 = 2.07$ квадратных единиц.

Изображение прямоугольника на координатной плоскости:

Ответ: Площадь прямоугольника равна 2,07.