Номер 6.3, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.3. На координатной плоскости покажите штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1) $ \begin{cases} 3x - y - 1 < 0, \\ y < 3 - x^2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - y - 2 < 0, \\ y < 4,5 - x^2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - y + 4 > 0, \\ y \ge x^2 - 1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2x - y + 3 > 0, \\ y \le x^2 + 2. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - y - 1 < 0 \\ y < 3 - x^2 \end{cases} $.
Первое неравенство $3x - y - 1 < 0$ можно переписать в виде $y > 3x - 1$. Это множество точек, расположенных выше прямой $y = 3x - 1$. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и изображается пунктирной линией.
Второе неравенство $y < 3 - x^2$ задает множество точек, расположенных ниже параболы $y = 3 - x^2$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 3)$. Так как неравенство строгое, парабола также изображается пунктирной линией.
Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые находятся одновременно выше прямой и ниже параболы. Найдем точки пересечения границы областей, решив систему уравнений:
$y = 3x - 1$
$y = 3 - x^2$
$3x - 1 = 3 - x^2 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$. Соответствующие значения $y$: $y_1 = 2$ и $y_2 = -13$. Точки пересечения: $(1, 2)$ и $(-4, -13)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная снизу прямой $y = 3x - 1$ и сверху параболой $y = 3 - x^2$. Границы не включаются в область. На рисунке эта область заштрихована.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x - y - 2 < 0 \\ y < 4.5 - x^2 \end{cases} $.
Первое неравенство $x - y - 2 < 0$ эквивалентно $y > x - 2$. Это множество точек выше прямой $y = x - 2$. Прямая изображается пунктиром, так как неравенство строгое.
Второе неравенство $y < 4.5 - x^2$ задает множество точек ниже параболы $y = 4.5 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 4.5)$. Парабола также изображается пунктиром.
Решение системы — это пересечение указанных областей, то есть область между прямой и параболой. Найдем точки их пересечения:
$x - 2 = 4.5 - x^2 \Rightarrow x^2 + x - 6.5 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 13 = 0$.
Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-13)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{108}}{4} = \frac{-1 \pm 3\sqrt{3}}{2}$.
Приближенные значения точек пересечения: $(-3.1, -5.1)$ и $(2.1, 0.1)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная снизу прямой $y = x - 2$ и сверху параболой $y = 4.5 - x^2$. Границы не включаются в область. На рисунке эта область заштрихована.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x - y + 4 > 0 \\ y \ge x^2 - 1 \end{cases} $.
Первое неравенство $x - y + 4 > 0$ можно переписать как $y < x + 4$. Это множество точек ниже прямой $y = x + 4$. Прямая изображается пунктиром (строгое неравенство).
Второе неравенство $y \ge x^2 - 1$ задает множество точек на параболе $y = x^2 - 1$ и выше нее. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -1)$. Парабола изображается сплошной линией (нестрогое неравенство).
Решением является пересечение этих областей. Найдем точки пересечения границ:
$x + 4 = x^2 - 1 \Rightarrow x^2 - x - 5 = 0$.
Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Приближенные значения точек пересечения: $(-1.79, 2.21)$ и $(2.79, 6.79)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная снизу параболой $y = x^2 - 1$ и сверху прямой $y = x + 4$. Граница, проходящая по параболе, включается в область, а граница, проходящая по прямой, — нет. На рисунке эта область заштрихована.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - y + 3 > 0 \\ y \le x^2 + 2 \end{cases} $.
Первое неравенство $2x - y + 3 > 0$ переписывается как $y < 2x + 3$. Это множество точек ниже прямой $y = 2x + 3$. Прямая изображается пунктиром (строгое неравенство).
Второе неравенство $y \le x^2 + 2$ задает множество точек на параболе $y = x^2 + 2$ и ниже нее. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 2)$. Парабола изображается сплошной линией (нестрогое неравенство).
Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые находятся одновременно и ниже прямой, и ниже параболы. Такая область ограничена сверху "нижней" из двух границ. Найдем точки пересечения границ:
$2x + 3 = x^2 + 2 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0$.
Корни: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Приближенные значения точек пересечения: $(-0.41, 2.18)$ и $(2.41, 7.82)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, расположенная одновременно ниже прямой $y = 2x+3$ и ниже (включая границу) параболы $y = x^2+2$. Верхняя граница этой области состоит из частей прямой (пунктирные участки) и параболы (сплошной участок). На рисунке эта область заштрихована.