Номер 6.19, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*6.19. При каких значениях параметров $a$ и $c$ системой неравенств $ \begin{cases} 2x - y \le 3c, \\ ax + y \le 3 \end{cases} $ задается на координатной плоскости полоса? Приведите пример.

Система неравенств задает на координатной плоскости полосу, если она описывает область, заключенную между двумя параллельными прямыми. Каждое неравенство в системе определяет полуплоскость, а их пересечение — искомую область.

Границами этих полуплоскостей являются прямые, заданные уравнениями:

$l_1: 2x - y = 3c$

$l_2: ax + y = 3$

Для того чтобы эти прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны. Выразим $y$ в каждом уравнении, чтобы найти угловые коэффициенты:

$l_1: y = 2x - 3c$. Угловой коэффициент $k_1 = 2$.

$l_2: y = -ax + 3$. Угловой коэффициент $k_2 = -a$.

Условие параллельности прямых $k_1 = k_2$ дает:

$2 = -a$

$a = -2$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, подставим его в исходную систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - y \le 3c, \\ -2x + y \le 3 \end{cases}$

Выразим $y$ из каждого неравенства, чтобы понять, какая область задается системой:

1. Из первого неравенства: $2x - y \le 3c \implies -y \le -2x + 3c \implies y \ge 2x - 3c$.

2. Из второго неравенства: $-2x + y \le 3 \implies y \le 2x + 3$.

Система неравенств принимает вид $\begin{cases} y \ge 2x - 3c \\ y \le 2x + 3 \end{cases}$, что можно записать как двойное неравенство:

$2x - 3c \le y \le 2x + 3$

Это неравенство описывает полосу между двумя параллельными прямыми $y = 2x - 3c$ (нижняя граница) и $y = 2x + 3$ (верхняя граница). Для того чтобы эта полоса существовала и не была вырожденной (т.е. имела ненулевую ширину), нижняя граница должна быть строго ниже верхней границы. Это означает, что для любого $x$ должно выполняться:

$2x - 3c < 2x + 3$

$-3c < 3$

Разделив обе части на $-3$, необходимо изменить знак неравенства на противоположный:

$c > -1$

Если $c = -1$, то обе прямые совпадают ($y = 2x + 3$), и решением является сама эта прямая (вырожденная полоса). Если $c < -1$, то система не имеет решений (пустое множество). Обычно под "полосой" понимают невырожденный случай, поэтому условием является $c > -1$.

Таким образом, система задает полосу при $a = -2$ и $c > -1$.

Приведите пример.

Выберем значения параметров, удовлетворяющие найденным условиям. Пусть $a = -2$ и $c = 1$ (так как $1 > -1$).

Подставим эти значения в исходную систему:

$\begin{cases} 2x - y \le 3(1) \\ -2x + y \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x - y \le 3 \\ -2x + y \le 3 \end{cases}$

Эта система задает на координатной плоскости полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = 2x - 3$ и $y = 2x + 3$.

Ответ: Система неравенств задает на координатной плоскости полосу при $a=-2$ и $c > -1$.