Номер 5.15, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.15. Благодаря применению в фермерском хозяйстве новых технологий урожайность бобовых возросла на $4 \text{ ц/га}$. В результате было собрано $150 \text{ ц}$, что на $3 \text{ ц}$ больше, чем в прошлом году, хотя под бобовые отвели на $1 \text{ га}$ меньше. Какова была урожайность бобовых в прошлом и текущем году и какая площадь была отведена под бобовые в прошлом и текущем году?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $y_1$ (в ц/га) и $A_1$ (в га) — это урожайность и площадь, отведенная под бобовые в прошлом году, соответственно.
Исходя из условий задачи:
Урожайность в текущем году: $y_2 = y_1 + 4$ ц/га.
Площадь в текущем году: $A_2 = A_1 - 1$ га.

Общий сбор урожая (валовый сбор) в текущем году составил $H_2 = 150$ ц. В условии сказано, что это на 3 ц больше, чем в прошлом году. Следовательно, валовый сбор в прошлом году был:
$H_1 = 150 - 3 = 147$ ц.

Валовый сбор вычисляется по формуле: Урожайность $\times$ Площадь. Составим систему уравнений для прошлого и текущего года:
1) Для прошлого года: $y_1 \cdot A_1 = 147$
2) Для текущего года: $y_2 \cdot A_2 = 150$
Подставим выражения для $y_2$ и $A_2$ во второе уравнение:
$(y_1 + 4) \cdot (A_1 - 1) = 150$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} y_1 \cdot A_1 = 147 \\ (y_1 + 4)(A_1 - 1) = 150 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $A_1$: $A_1 = \frac{147}{y_1}$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(y_1 + 4) \cdot (\frac{147}{y_1} - 1) = 150$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y_1 \cdot \frac{147}{y_1} - y_1 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{147}{y_1} - 4 \cdot 1 = 150$
$147 - y_1 + \frac{588}{y_1} - 4 = 150$
$143 - y_1 + \frac{588}{y_1} = 150$
Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на $y_1$ (урожайность $y_1$ не может быть равна нулю):
$143y_1 - y_1^2 + 588 = 150y_1$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y_1^2 + 150y_1 - 143y_1 - 588 = 0$
$y_1^2 + 7y_1 - 588 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-588) = 49 + 2352 = 2401$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$.
Теперь найдем возможные значения $y_1$:
$y_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 49}{2} = \frac{42}{2} = 21$
$y_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 49}{2} = \frac{-56}{2} = -28$
Так как урожайность не может быть отрицательной величиной, корень $y_1 = -28$ не соответствует смыслу задачи. Таким образом, урожайность в прошлом году была 21 ц/га.

Какова была урожайность бобовых в прошлом и текущем году
Мы установили, что урожайность в прошлом году составляла $y_1 = 21$ ц/га.
Урожайность в текущем году, по условию, была на 4 ц/га выше:
$y_2 = y_1 + 4 = 21 + 4 = 25$ ц/га.
Ответ: урожайность в прошлом году составляла 21 ц/га, а в текущем году — 25 ц/га.

Какая площадь была отведена под бобовые в прошлом и текущем году
Зная урожайность и валовый сбор в прошлом году, найдем площадь:
$A_1 = \frac{H_1}{y_1} = \frac{147}{21} = 7$ га.
Площадь в текущем году, по условию, была на 1 га меньше:
$A_2 = A_1 - 1 = 7 - 1 = 6$ га.
Для проверки: сбор в текущем году $y_2 \cdot A_2 = 25 \cdot 6 = 150$ ц, что совпадает с данными задачи.
Ответ: площадь под бобовые в прошлом году составляла 7 га, а в текущем году — 6 га.