Страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

6.8. Является ли решением системы неравенств$\begin{cases} x^2 + y^2 \ge 9, \\ y \ge x^2 - 3 \end{cases}$пара значений переменных x и y:

1) (1; 2);

2) (2; 9);

3) (-3; 0);

4) (-2; -2)?

Чтобы определить, является ли пара значений $(x; y)$ решением системы неравенств, необходимо подставить эти значения в каждое неравенство. Пара является решением только в том случае, если оба неравенства обращаются в верные числовые неравенства.

Исходная система неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \ge 9, \\ y \ge x^2 - 3 \end{cases} $$

1) (1; 2)

Подставим $x = 1$ и $y = 2$ в систему.
Проверим первое неравенство: $x^2 + y^2 \ge 9$.
$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Получаем $5 \ge 9$, что является ложным утверждением.
Так как первое неравенство не выполняется, данная пара значений не является решением системы.
Ответ: не является.

2) (2; 9)

Подставим $x = 2$ и $y = 9$ в систему.
Проверим первое неравенство: $x^2 + y^2 \ge 9$.
$2^2 + 9^2 = 4 + 81 = 85$.
Получаем $85 \ge 9$, что является верным утверждением.
Проверим второе неравенство: $y \ge x^2 - 3$.
$9 \ge 2^2 - 3 \Rightarrow 9 \ge 4 - 3 \Rightarrow 9 \ge 1$.
Это также является верным утверждением.
Так как оба неравенства выполняются, данная пара значений является решением системы.
Ответ: является.

3) (-3; 0)

Подставим $x = -3$ и $y = 0$ в систему.
Проверим первое неравенство: $x^2 + y^2 \ge 9$.
$(-3)^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9$.
Получаем $9 \ge 9$, что является верным утверждением.
Проверим второе неравенство: $y \ge x^2 - 3$.
$0 \ge (-3)^2 - 3 \Rightarrow 0 \ge 9 - 3 \Rightarrow 0 \ge 6$.
Это является ложным утверждением.
Так как второе неравенство не выполняется, данная пара значений не является решением системы.
Ответ: не является.

4) (-2; -2)

Подставим $x = -2$ и $y = -2$ в систему.
Проверим первое неравенство: $x^2 + y^2 \ge 9$.
$(-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$.
Получаем $8 \ge 9$, что является ложным утверждением.
Так как первое неравенство не выполняется, данная пара значений не является решением системы.
Ответ: не является.

6.9. На координатной плоскости покажите штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1)

$ \begin{cases} y - 1 < 0, \\ x^2 + y^2 < 4; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} y \ge 0, \\ x^2 + y^2 < 5; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} x - 1 < 0, \\ x^2 + y^2 \le 9; \end{cases} $

4)

$ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ x^2 + y^2 < 16; \end{cases} $

5)

$ \begin{cases} y + x < 0, \\ x^2 + y^2 \le 1; \end{cases} $

6)

$ \begin{cases} y - x \ge 0, \\ x^2 + y^2 \le 4; \end{cases} $

7)

$ \begin{cases} y + 2x \ge 0, \\ x^2 + y^2 \ge 9; \end{cases} $

8)

$ \begin{cases} y - 0.5x \le 0, \\ x^2 + y^2 \ge 16. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - 1 < 0, \\ x^2 + y^2 < 4. \end{cases} $

Первое неравенство $y - 1 < 0$ эквивалентно $y < 1$. Это множество точек, лежащих ниже горизонтальной прямой $y = 1$. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 < 4$ задает множество точек внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Так как неравенство строгое, сама окружность не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть открытого круга радиуса 2, которая находится ниже прямой $y=1$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, лежащая одновременно внутри окружности $x^2 + y^2 = 4$ и под прямой $y=1$. Границы (окружность и прямая) не включены в множество.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 0, \\ x^2 + y^2 < 5. \end{cases} $

Первое неравенство $y \ge 0$ задает верхнюю полуплоскость, включая ось Ox. Граница $y = 0$ (ось абсцисс) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 < 5$ задает множество точек внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{5} \approx 2.24$. Так как неравенство строгое, сама окружность не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: верхняя половина открытого круга (полукруг), лежащая не ниже оси Ox, при этом отрезок оси Ox от $-\sqrt{5}$ до $\sqrt{5}$ включен в решение.

Ответ: Искомое множество точек — это полукруг, расположенный в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), ограниченный сверху дугой окружности $x^2+y^2=5$. Дуга окружности не включается, а диаметр, лежащий на оси Ox, включается.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x - 1 < 0, \\ x^2 + y^2 \le 9. \end{cases} $

Первое неравенство $x - 1 < 0$ эквивалентно $x < 1$. Это множество точек, лежащих левее вертикальной прямой $x = 1$. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Граница (окружность) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 3, которая находится левее прямой $x=1$.

Ответ: Искомое множество точек — это сегмент круга $x^2 + y^2 \le 9$, отсекаемый прямой $x=1$ слева. Окружность включена в решение, а вертикальная прямая $x=1$ — нет.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ x^2 + y^2 < 16. \end{cases} $

Первое неравенство $x + 1 > 0$ эквивалентно $x > -1$. Это множество точек, лежащих правее вертикальной прямой $x = -1$. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 < 16$ задает множество точек внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Так как неравенство строгое, сама окружность не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть открытого круга радиуса 4, которая находится правее прямой $x=-1$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, лежащая одновременно внутри окружности $x^2 + y^2 = 16$ и справа от прямой $x=-1$. Обе границы (окружность и прямая) не включены в множество.

5)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y + x < 0, \\ x^2 + y^2 \le 1. \end{cases} $

Первое неравенство $y + x < 0$ эквивалентно $y < -x$. Это множество точек, лежащих ниже прямой $y = -x$. Прямая проходит через начало координат под углом $135^\circ$ к положительному направлению оси Ox. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 1$ задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$. Граница (окружность) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: полукруг, отсекаемый от круга $x^2 + y^2 \le 1$ прямой $y = -x$ и лежащий под ней.

Ответ: Искомое множество точек — это полукруг, ограниченный дугой окружности $x^2+y^2=1$ и диаметром, лежащим на прямой $y=-x$. Дуга окружности включена, а диаметр — нет.

6)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - x \ge 0, \\ x^2 + y^2 \le 4. \end{cases} $

Первое неравенство $y - x \ge 0$ эквивалентно $y \ge x$. Это множество точек, лежащих на прямой $y=x$ или выше нее. Прямая проходит через начало координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению оси Ox. Так как неравенство нестрогое, сама прямая включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Граница (окружность) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: полукруг, отсекаемый от круга $x^2 + y^2 \le 4$ прямой $y = x$ и лежащий не ниже нее.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутый полукруг, ограниченный дугой окружности $x^2+y^2=4$ и диаметром, лежащим на прямой $y=x$. Все границы включены в решение.

7)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y + 2x \ge 0, \\ x^2 + y^2 > 9. \end{cases} $

Первое неравенство $y + 2x \ge 0$ эквивалентно $y \ge -2x$. Это множество точек, лежащих на прямой $y=-2x$ или выше нее. Так как неравенство нестрогое, сама прямая включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 > 9$ задает множество точек вне окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Так как неравенство строгое, сама окружность не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть плоскости, которая находится одновременно вне круга радиуса 3 и не ниже прямой $y=-2x$.

Ответ: Искомое множество точек — это часть плоскости, расположенная вне окружности $x^2 + y^2 = 9$ и не ниже прямой $y=-2x$. Окружность не включена в решение, а прямая — включена.

8)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - 0.5x \le 0, \\ x^2 + y^2 \ge 16. \end{cases} $

Первое неравенство $y - 0.5x \le 0$ эквивалентно $y \le 0.5x$. Это множество точек, лежащих на прямой $y=0.5x$ или ниже нее. Так как неравенство нестрогое, сама прямая включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \ge 16$ задает множество точек на окружности или вне ее с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Так как неравенство нестрогое, сама окружность включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть плоскости, которая находится одновременно на или вне круга радиуса 4 и не выше прямой $y=0.5x$.

Ответ: Искомое множество точек — это часть плоскости, расположенная на или вне окружности $x^2 + y^2 = 16$ и не выше прямой $y=0.5x$. Обе границы (окружность и прямая) включены в решение.

6.10. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное системой неравенств:

1)

$\begin{cases} y - x^2 \ge 0, \\ x^2 + y^2 \le 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - 0,5x^2 \le 0, \\ x^2 + y^2 \le 9; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} y - x^2 \ge 1, \\ x^2 + y^2 \ge 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} y - x^2 \ge -2,5, \\ x^2 + y^2 > 16. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - x^2 \ge 0 \\x^2 + y^2 \le 4\end{cases}$

Первое неравенство, $y - x^2 \ge 0$, можно переписать как $y \ge x^2$. Это неравенство задает множество точек, расположенных на и выше параболы $y = x^2$. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(0, 0)$. Граница ($y = x^2$) включается в решение, так как неравенство нестрогое.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 4$, задает множество точек, расположенных на и внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Граница ($x^2 + y^2 = 4$) также включается в решение.

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть область, которая находится одновременно внутри круга и выше параболы.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная снизу параболой $y = x^2$ и сверху дугой окружности $x^2 + y^2 = 4$, включая границы.

2)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - 0,5x^2 \le 0 \\x^2 + y^2 \le 9\end{cases}$

Первое неравенство, $y - 0,5x^2 \le 0$, можно переписать как $y \le 0,5x^2$. Это неравенство задает множество точек, расположенных на и ниже параболы $y = 0,5x^2$. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(0, 0)$.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, задает множество точек, расположенных на и внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть часть круга, расположенная ниже параболы.

Ответ: Искомое множество точек — это область внутри круга $x^2 + y^2 \le 9$, из которой удалена область, лежащая выше параболы $y = 0,5x^2$. Границы области включены в решение.

3)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - x^2 \ge 1 \\x^2 + y^2 \ge 1\end{cases}$

Первое неравенство, $y - x^2 \ge 1$, можно переписать как $y \ge x^2 + 1$. Это неравенство задает множество точек, расположенных на и выше параболы $y = x^2 + 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 1)$.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \ge 1$, задает множество точек, расположенных на и вне единичной окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$.

Проанализируем взаимное расположение кривых. Вершина параболы $(0, 1)$ лежит на окружности, так как $0^2 + 1^2 = 1$. Все остальные точки параболы $y = x^2 + 1$ (при $x \ne 0$) лежат вне этой окружности, так как для них $x^2+y^2 = x^2 + (x^2+1)^2 = x^4+3x^2+1 > 1$.Это означает, что любая точка, удовлетворяющая первому неравенству ($y \ge x^2+1$), автоматически удовлетворяет и второму ($x^2+y^2 \ge 1$).Следовательно, решение системы совпадает с решением первого неравенства.

Ответ: Искомое множество точек — это область, расположенная на параболе $y = x^2 + 1$ и выше неё.

4)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - x^2 \ge -2,5 \\x^2 + y^2 > 16\end{cases}$

Первое неравенство, $y - x^2 \ge -2,5$, можно переписать как $y \ge x^2 - 2,5$. Это неравенство задает множество точек, расположенных на и выше параболы $y = x^2 - 2,5$. Вершина параболы находится в точке $(0, -2,5)$. Граница является сплошной линией.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 > 16$, задает множество точек, расположенных строго вне окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Граница ($x^2 + y^2 = 16$) не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — то есть точки, которые находятся одновременно вне окружности и выше параболы. Вершина параболы $(0, -2,5)$ лежит внутри круга, так как $0^2+(-2,5)^2=6,25 < 16$. Парабола пересекает окружность. Решением будет вся область вне круга, из которой исключены точки, лежащие ниже параболы.

Ответ: Искомое множество точек — это часть плоскости, находящаяся одновременно вне окружности $x^2 + y^2 = 16$ и выше параболы $y = x^2 - 2,5$. Граница-парабола включается в решение, а граница-окружность — нет.

6.11. Изобразите множество точек плоскости, которое задается системой неравенств:

1)

$\begin{cases} x + y < 2, \\ x^2 + y^2 \le 9; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x + y < 1, \\ x^2 + y^2 \le 4; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 3x - y \ge 3, \\ x^2 + y^2 \le 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} -x + y < 2, \\ x^2 + y^2 \le 25. \end{cases}$

1)

Данная система неравенств: $ \begin{cases} x + y < 2 \\ x^2 + y^2 \le 9 \end{cases} $.

Первое неравенство $x + y < 2$ можно переписать в виде $y < -x + 2$. Оно задает открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -x + 2$. Граничная прямая не включается в решение, поэтому на графике она изображается пунктирной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Граничная окружность $x^2 + y^2 = 9$ включается в решение и изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга, которая находится ниже прямой. Найдем точки пересечения прямой $y = -x + 2$ и окружности $x^2 + y^2 = 9$. Подставив $y$ из уравнения прямой в уравнение окружности, получим $x^2 + (-x+2)^2 = 9$, что упрощается до $2x^2 - 4x - 5 = 0$. Корни этого уравнения: $x_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$. Соответствующие точки пересечения: $P_1(1-\frac{\sqrt{14}}{2}, 1+\frac{\sqrt{14}}{2}) \approx (-0.87, 2.87)$ и $P_2(1+\frac{\sqrt{14}}{2}, 1-\frac{\sqrt{14}}{2}) \approx (2.87, -0.87)$.

Изобразим множество точек на плоскости:

Ответ: Множество точек, являющееся решением системы, представляет собой сегмент круга с центром в $(0,0)$ и радиусом $3$, ограниченный сверху хордой, лежащей на прямой $y = -x + 2$. Граница круга включена в решение, а граница-прямая — нет.

2)

Данная система неравенств: $ \begin{cases} 2x + y < 1 \\ x^2 + y^2 \le 4 \end{cases} $.

Первое неравенство $2x + y < 1$ переписывается как $y < -2x + 1$. Оно задает открытую полуплоскость ниже прямой $y = -2x + 1$. Граничная прямая изображается пунктиром, так как не является частью решения.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает замкнутый круг с центром в $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Граничная окружность изображается сплошной линией, так как является частью решения.

Решением является пересечение круга и полуплоскости. Найдем точки пересечения прямой $y = -2x + 1$ и окружности $x^2 + y^2 = 4$: $x^2 + (-2x+1)^2 = 4$, что упрощается до $5x^2 - 4x - 3 = 0$. Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{19}}{5}$. Точки пересечения: $P_1(\frac{2-\sqrt{19}}{5}, \frac{1+2\sqrt{19}}{5}) \approx (-0.47, 1.94)$ и $P_2(\frac{2+\sqrt{19}}{5}, \frac{1-2\sqrt{19}}{5}) \approx (1.27, -1.54)$.

Изобразим множество точек на плоскости:

Ответ: Решением является сегмент круга радиуса 2 с центром в начале координат, ограниченный сверху хордой, лежащей на прямой $y = -2x + 1$. Граница круга является частью решения, а прямая — нет.

3)

Данная система неравенств: $ \begin{cases} 3x - y \ge 3 \\ x^2 + y^2 \le 1 \end{cases} $.

Первое неравенство $3x - y \ge 3$ можно переписать как $y \le 3x - 3$. Оно задает замкнутую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = 3x - 3$. Граничная прямая включается в решение и изображается сплошной линией.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 1$ задает замкнутый круг с центром в $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{1} = 1$. Граничная окружность также включается в решение и изображается сплошной линией.

Решением является пересечение круга и полуплоскости. Найдем точки пересечения прямой $y = 3x - 3$ и окружности $x^2 + y^2 = 1$: $x^2 + (3x-3)^2 = 1$, что упрощается до $10x^2 - 18x + 8 = 0$ или $5x^2 - 9x + 4 = 0$. Корни: $x_1=1, x_2=0.8$. Точки пересечения: $P_1(1, 0)$ и $P_2(0.8, -0.6)$.

Изобразим множество точек на плоскости:

Ответ: Решением является сегмент круга радиуса 1 с центром в начале координат, ограниченный сверху хордой, лежащей на прямой $y = 3x - 3$. Обе границы (часть окружности и хорда) являются частью решения.

4)

Данная система неравенств: $ \begin{cases} -x + y < 2 \\ x^2 + y^2 \le 25 \end{cases} $.

Первое неравенство $-x + y < 2$ переписывается как $y < x + 2$. Оно задает открытую полуплоскость ниже прямой $y = x + 2$. Граничная прямая изображается пунктиром, так как не является частью решения.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ задает замкнутый круг с центром в $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$. Граничная окружность изображается сплошной линией, так как является частью решения.

Решением является пересечение круга и полуплоскости. Найдем точки пересечения прямой $y = x + 2$ и окружности $x^2 + y^2 = 25$: $x^2 + (x+2)^2 = 25$, что упрощается до $2x^2 + 4x - 21 = 0$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{46}}{2}$. Точки пересечения: $P_1(\frac{-2-\sqrt{46}}{2}, \frac{2-\sqrt{46}}{2}) \approx (-4.39, -2.39)$ и $P_2(\frac{-2+\sqrt{46}}{2}, \frac{2+\sqrt{46}}{2}) \approx (2.39, 4.39)$.

Изобразим множество точек на плоскости:

Ответ: Решением является сегмент круга радиуса 5 с центром в начале координат, ограниченный сверху хордой, лежащей на прямой $y = x + 2$. Граница окружности является частью решения, а прямая — нет.

6.12. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых являются решениями системы неравенств:

1) $\begin{cases} y^2 + x^2 \ge 1, \\ x^2 + y^2 \le 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y - 0,5x^2 \le 1, \\ x^2 + y^2 \le 9; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - 2x^2 + x \le 1, \\ x^2 + y^2 \ge 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y^2 + x^2 \ge 5, \\ x^2 + y^2 \le 16. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y^2 + x^2 \ge 1, \\x^2 + y^2 \le 4;\end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \ge 1$, описывает множество точек, находящихся на и вне окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R_1=1$.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 4$, описывает множество точек, находящихся на и внутри окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R_2=\sqrt{4}=2$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями, включая их границы.

Ответ: Изображенное множество точек представляет собой кольцо, ограниченное окружностями $x^2 + y^2 = 1$ и $x^2 + y^2 = 4$, включая сами окружности.

2)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - 0.5x^2 \le 1, \\x^2 + y^2 \le 9;\end{cases}$

Первое неравенство можно переписать в виде $y \le 0.5x^2 + 1$. Оно описывает множество точек, лежащих на и ниже параболы $y = 0.5x^2 + 1$. Вершина этой параболы находится в точке (0, 1), ветви направлены вверх.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, описывает множество точек, находящихся на и внутри окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=\sqrt{9}=3$.

Решением системы является пересечение этих двух областей — часть круга, которая лежит ниже параболы.

Ответ: Изображенное множество точек представляет собой область внутри окружности $x^2 + y^2 = 9$, ограниченную сверху параболой $y = 0.5x^2 + 1$. Границы области включены.

3)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - 2x^2 + x \le 1, \\x^2 + y^2 \ge 1;\end{cases}$

Первое неравенство можно переписать как $y \le 2x^2 - x + 1$. Оно описывает множество точек, лежащих на и ниже параболы $y = 2x^2 - x + 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(1/4, 7/8)$, ветви направлены вверх.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \ge 1$, описывает множество точек, находящихся на и вне единичной окружности с центром в начале координат.

Решением системы является множество точек, которые одновременно находятся ниже параболы и вне единичной окружности.

Ответ: Изображенное множество точек представляет собой область, лежащую вне окружности $x^2 + y^2 = 1$ и одновременно под параболой $y = 2x^2 - x + 1$. Границы области включены.

4)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y^2 + x^2 \ge 5, \\x^2 + y^2 \le 16.\end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \ge 5$, описывает множество точек, находящихся на и вне окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R_1=\sqrt{5} \approx 2.24$.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 16$, описывает множество точек, находящихся на и внутри окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R_2=\sqrt{16}=4$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями, включая их границы.

Ответ: Изображенное множество точек представляет собой кольцо, ограниченное окружностями $x^2 + y^2 = 5$ и $x^2 + y^2 = 16$, включая сами окружности.

1. Для каких углов $\alpha$ и $\beta$ можно использовать формулы тангенса и котангенса суммы и разности этих углов?

2. Что означают знаки $\pm$ и $\mp$ в формулах суммы и разности тангенсов двух углов? Как их используют при применении формулы с этими знаками?

1. Для каких углов α и β можно использовать формулы тангенса и котангенса суммы и разности этих углов?

Формулы для тригонометрических функций суммы и разности углов можно применять только в том случае, когда все выражения, входящие в них, имеют смысл (определены). Это означает, что не должно происходить деления на ноль, а значения самих функций должны существовать.

Для формулы тангенса суммы и разности: $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} $.

Данная формула применима при выполнении следующих условий:

1. Должен существовать $ \tan \alpha $. Тангенс угла определен, если косинус этого угла не равен нулю. Следовательно, $ \cos \alpha \neq 0 $, что означает $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

2. Должен существовать $ \tan \beta $. Аналогично, $ \cos \beta \neq 0 $, что означает $ \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

3. Должен существовать $ \tan(\alpha \pm \beta) $. Это означает, что $ \cos(\alpha \pm \beta) \neq 0 $, то есть $ \alpha \pm \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi m $, где $ m $ — любое целое число. Это условие также гарантирует, что знаменатель $ 1 \mp \tan \alpha \tan \beta $ в правой части формулы не обращается в ноль.

Для формулы котангенса суммы и разности: $ \cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha} $.

Данная формула применима при выполнении следующих условий:

1. Должен существовать $ \cot \alpha $. Котангенс угла определен, если синус этого угла не равен нулю. Следовательно, $ \sin \alpha \neq 0 $, что означает $ \alpha \neq \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

2. Должен существовать $ \cot \beta $. Аналогично, $ \sin \beta \neq 0 $, что означает $ \beta \neq \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

3. Должен существовать $ \cot(\alpha \pm \beta) $. Это означает, что $ \sin(\alpha \pm \beta) \neq 0 $, то есть $ \alpha \pm \beta \neq \pi m $, где $ m $ — любое целое число. Это условие также гарантирует, что знаменатель $ \cot \beta \pm \cot \alpha $ в правой части формулы не обращается в ноль.

Ответ: Формулы тангенса суммы и разности можно использовать для таких углов $ \alpha $ и $ \beta $, для которых существуют значения $ \tan \alpha $, $ \tan \beta $ и $ \tan(\alpha \pm \beta) $. Формулы котангенса суммы и разности можно использовать для таких углов $ \alpha $ и $ \beta $, для которых существуют значения $ \cot \alpha $, $ \cot \beta $ и $ \cot(\alpha \pm \beta) $.

2. Что означают знаки ± и ∓ в формулах суммы и разности тангенсов двух углов? Как их используют при применении формулы с этими знаками?

Знаки $ \pm $ (плюс-минус) и $ \mp $ (минус-плюс) используются для того, чтобы компактно записать две похожие математические формулы в одной строке. Знак $ \pm $ означает, что на его месте может быть либо «+», либо «−». Знак $ \mp $ используется в паре со знаком $ \pm $ и означает противоположный знак.

Правило их использования заключается в согласовании знаков: если в формуле мы выбираем верхний знак из пары ($ \pm $ или $ \mp $), то его нужно выбирать во всех местах, где эти знаки встречаются. Аналогично, если мы выбираем нижний знак, его нужно использовать везде.

Рассмотрим это на примере формулы тангенса суммы и разности:

$ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} $

Эта запись объединяет две формулы:

1. Формула тангенса суммы. Чтобы ее получить, мы берем везде верхние знаки:

$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} $

2. Формула тангенса разности. Чтобы ее получить, мы берем везде нижние знаки:

$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} $

Таким образом, использование знаков $ \pm $ и $ \mp $ является удобным способом сокращения записи.

Ответ: Знаки $ \pm $ и $ \mp $ служат для объединения двух формул в одну. При их использовании необходимо соблюдать правило: либо везде в выражении выбираются верхние знаки (чтобы получить одну формулу, например, для суммы), либо везде выбираются нижние знаки (чтобы получить другую формулу, например, для разности).

25.1. Известно, что $tg\alpha = \frac{1}{3}$, $tg\beta = \frac{3}{5}$. Найдите:

1) $tg(\alpha + \beta)$; 2) $tg(\alpha - \beta)$; 3) $ctg(\alpha + \beta)$; 4) $ctg(\alpha - \beta)$.

1) tg(α + β)

Для нахождения тангенса суммы воспользуемся формулой сложения аргументов для тангенса:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$

Подставим в формулу известные значения $tg\alpha = \frac{1}{3}$ и $tg\beta = \frac{3}{5}$:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{5+9}{15}}{1 - \frac{3}{15}} = \frac{\frac{14}{15}}{\frac{15-3}{15}} = \frac{\frac{14}{15}}{\frac{12}{15}} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

Ответ: $\frac{7}{6}$.

2) tg(α - β)

Для нахождения тангенса разности воспользуемся соответствующей формулой:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\beta}$

Подставим в формулу известные значения:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{3} - \frac{3}{5}}{1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{5-9}{15}}{1 + \frac{3}{15}} = \frac{-\frac{4}{15}}{\frac{15+3}{15}} = \frac{-\frac{4}{15}}{\frac{18}{15}} = -\frac{4}{18} = -\frac{2}{9}$

Ответ: $-\frac{2}{9}$.

3) ctg(α + β)

Котангенс является обратной функцией к тангенсу, поэтому воспользуемся соотношением $ctg(\alpha + \beta) = \frac{1}{tg(\alpha + \beta)}$.

Используя результат, полученный в пункте 1, $tg(\alpha + \beta) = \frac{7}{6}$, находим:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{1}{\frac{7}{6}} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

4) ctg(α - β)

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся соотношением $ctg(\alpha - \beta) = \frac{1}{tg(\alpha - \beta)}$.

Используя результат, полученный в пункте 2, $tg(\alpha - \beta) = -\frac{2}{9}$, находим:

$ctg(\alpha - \beta) = \frac{1}{-\frac{2}{9}} = -\frac{9}{2}$

Ответ: $-\frac{9}{2}$.

25.2. Найдите значения: $\operatorname{ctg}(\alpha + \beta)$ и $\operatorname{ctg}(\alpha - \beta)$, если $\operatorname{ctg} \alpha = 2$ и $\operatorname{ctg}\beta = -1.6$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами котангенса суммы и разности двух углов:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1}{ctg\beta + ctg\alpha}$

$ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1}{ctg\beta - ctg\alpha}$

Даны значения $ctg\alpha = 2$ и $ctg\beta = -1.6$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: $ctg\beta = -1.6 = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}$.

ctg(α + β)

Подставим известные значения в формулу для котангенса суммы:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{2 \cdot (-\frac{8}{5}) - 1}{-\frac{8}{5} + 2}$

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $2 \cdot (-\frac{8}{5}) - 1 = -\frac{16}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{21}{5}$

Знаменатель: $-\frac{8}{5} + 2 = -\frac{8}{5} + \frac{10}{5} = \frac{2}{5}$

Теперь найдем значение дроби:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{21}{5}}{\frac{2}{5}} = -\frac{21}{5} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{21}{2} = -10.5$

Ответ: -10.5

ctg(α - β)

Подставим известные значения в формулу для котангенса разности:

$ctg(\alpha - \beta) = \frac{2 \cdot (-\frac{8}{5}) + 1}{-\frac{8}{5} - 2}$

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $2 \cdot (-\frac{8}{5}) + 1 = -\frac{16}{5} + \frac{5}{5} = -\frac{11}{5}$

Знаменатель: $-\frac{8}{5} - 2 = -\frac{8}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{18}{5}$

Теперь найдем значение дроби:

$ctg(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{11}{5}}{-\frac{18}{5}} = (-\frac{11}{5}) \cdot (-\frac{5}{18}) = \frac{11}{18}$

Ответ: $\frac{11}{18}$

25.3. Используя формулы сложения для тангенса и котангенса, найдите значения:

1) $ \text{tg}15^\circ $;

2) $ \text{ctg}15^\circ $;

3) $ \text{tg}75^\circ $;

4) $ \text{tg}105^\circ $;

5) $ \text{ctg}75^\circ $;

6) $ \text{ctg}105^\circ $.

1) tg15°
Для нахождения значения $\tg(15^{\circ})$, представим угол $15^{\circ}$ как разность двух стандартных углов: $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$.
Применим формулу тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(15^{\circ}) = \tg(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\tg(45^{\circ}) - \tg(30^{\circ})}{1 + \tg(45^{\circ})\tg(30^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\tg(45^{\circ}) = 1$ и $\tg(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$\tg(15^{\circ}) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

2) ctg15°
Представим угол $15^{\circ}$ как разность $45^{\circ} - 30^{\circ}$.
Применим формулу котангенса разности: $\ctg(\alpha - \beta) = \frac{\ctg\alpha \ctg\beta + 1}{\ctg\beta - \ctg\alpha}$.
$\ctg(15^{\circ}) = \ctg(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\ctg(45^{\circ})\ctg(30^{\circ}) + 1}{\ctg(30^{\circ}) - \ctg(45^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\ctg(45^{\circ}) = 1$ и $\ctg(30^{\circ}) = \sqrt{3}$:
$\ctg(15^{\circ}) = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:
$\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

3) tg75°
Представим угол $75^{\circ}$ как сумму $45^{\circ} + 30^{\circ}$.
Применим формулу тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(75^{\circ}) = \tg(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\tg(45^{\circ}) + \tg(30^{\circ})}{1 - \tg(45^{\circ})\tg(30^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\tg(45^{\circ}) = 1$ и $\tg(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$\tg(75^{\circ}) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:
$\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

4) tg105°
Представим угол $105^{\circ}$ как сумму $60^{\circ} + 45^{\circ}$.
Применим формулу тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(105^{\circ}) = \tg(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \frac{\tg(60^{\circ}) + \tg(45^{\circ})}{1 - \tg(60^{\circ})\tg(45^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\tg(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ и $\tg(45^{\circ}) = 1$:
$\tg(105^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1+\sqrt{3})$:
$\frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{1^2 + 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $-2 - \sqrt{3}$.

5) ctg75°
Представим угол $75^{\circ}$ как сумму $45^{\circ} + 30^{\circ}$.
Применим формулу котангенса суммы: $\ctg(\alpha + \beta) = \frac{\ctg\alpha \ctg\beta - 1}{\ctg\alpha + \ctg\beta}$.
$\ctg(75^{\circ}) = \ctg(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\ctg(45^{\circ})\ctg(30^{\circ}) - 1}{\ctg(45^{\circ}) + \ctg(30^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\ctg(45^{\circ}) = 1$ и $\ctg(30^{\circ}) = \sqrt{3}$:
$\ctg(75^{\circ}) = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

6) ctg105°
Представим угол $105^{\circ}$ как сумму $60^{\circ} + 45^{\circ}$.
Применим формулу котангенса суммы: $\ctg(\alpha + \beta) = \frac{\ctg\alpha \ctg\beta - 1}{\ctg\alpha + \ctg\beta}$.
$\ctg(105^{\circ}) = \ctg(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \frac{\ctg(60^{\circ})\ctg(45^{\circ}) - 1}{\ctg(60^{\circ}) + \ctg(45^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\ctg(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\ctg(45^{\circ}) = 1$:
$\ctg(105^{\circ}) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 - 1}{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1} = \frac{\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1-\sqrt{3})$:
$\frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1^2 - 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{-2} = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$.
Ответ: $\sqrt{3} - 2$.