Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

5.18. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:

1) $x^2 + y^2 \le 9$;

2) $x^2 + y^2 \ge 4$;

3) $x^2 + y^2 < 8$;

4) $(x - 1)^2 + y^2 \le 9$;

5) $x^2 + (y - 1)^2 \ge 10$;

6) $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 \le 5$;

7) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 \ge 8$;

8) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 > 10$;

9) $(2 - x)^2 + (y + 2)^2 \le 16$.

1) $x^2 + y^2 \leq 9$

Данное неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до начала координат $(0,0)$ не превышает 3. Это уравнение окружности $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 3^2$ с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R=3$. Знак $\leq$ означает, что решением является замкнутый круг, то есть все точки внутри окружности, включая саму границу.

Ответ: Замкнутый круг с центром в точке (0,0) и радиусом 3.

2) $x^2 + y^2 > 4$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до начала координат $(0,0)$ строго больше 2. Границей является окружность $x^2 + y^2 = 2^2$ с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Знак $>$ означает, что решением является внешняя часть круга, не включая границу. Граница изображается пунктирной линией.

Ответ: Все точки координатной плоскости, лежащие вне окружности с центром в (0,0) и радиусом 2.

3) $x^2 + y^2 < 8$

Это неравенство описывает множество точек внутри окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$. Знак $<$ означает, что граница не включается в решение (открытый круг). Граница изображается пунктирной линией.

Ответ: Открытый круг (точки внутри окружности, не включая границу) с центром в (0,0) и радиусом $2\sqrt{2}$.

4) $(x - 1)^2 + y^2 \leq 9$

Это неравенство можно переписать как $(x-1)^2 + (y-0)^2 \leq 3^2$. Оно задает замкнутый круг с центром в точке $(1,0)$ и радиусом $R=3$. Знак $\leq$ означает, что граница включена в решение.

Ответ: Замкнутый круг с центром в (1,0) и радиусом 3.

5) $x^2 + (y - 1)^2 \geq 10$

Неравенство $(x-0)^2 + (y-1)^2 \geq (\sqrt{10})^2$ задает множество точек вне круга с центром в $(0,1)$ и радиусом $R=\sqrt{10} \approx 3.16$. Знак $\geq$ означает, что граница (окружность) включена в решение.

Ответ: Множество точек, лежащих на окружности с центром в (0,1) и радиусом $\sqrt{10}$ или вне ее.

6) $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 \leq 5$

Неравенство $(x-(-1))^2 + (y-2)^2 \leq (\sqrt{5})^2$ задает замкнутый круг с центром в точке $(-1,2)$ и радиусом $R=\sqrt{5} \approx 2.24$. Граница включена в решение.

Ответ: Замкнутый круг с центром в (-1,2) и радиусом $\sqrt{5}$.

7) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 > 8$

Неравенство $(x-(-2))^2 + (y-1)^2 > (\sqrt{8})^2$ задает множество точек вне круга с центром в $(-2,1)$ и радиусом $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \approx 2.83$. Граница не включена в решение (пунктирная линия).

Ответ: Все точки координатной плоскости, лежащие вне окружности с центром в (-2,1) и радиусом $2\sqrt{2}$.

8) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 > 10$

Неравенство $(x-(-1))^2 + (y-3)^2 > (\sqrt{10})^2$ задает множество точек вне круга с центром в $(-1,3)$ и радиусом $R=\sqrt{10} \approx 3.16$. Граница не включена в решение.

Ответ: Все точки координатной плоскости, лежащие вне окружности с центром в (-1,3) и радиусом $\sqrt{10}$.

9) $(2 - x)^2 + (y + 2)^2 \leq 16$

Преобразуем выражение $(2-x)^2$ в $(x-2)^2$, так как $(a-b)^2 = (b-a)^2$. Неравенство примет вид $(x-2)^2 + (y-(-2))^2 \leq 4^2$. Это замкнутый круг с центром в точке $(2,-2)$ и радиусом $R=4$. Граница включена.

Ответ: Замкнутый круг с центром в (2,-2) и радиусом 4.

5.19. Назовите множество точек координатной плоскости, которое задано с помощью неравенства:

1) $(x-1)^2 + y^2 \ge 12;$

2) $x^2 + (y-3)^2 < 3;$

3) $(x+1)^2 + (y-3)^2 \ge 9;$

4) $x^2 + (y-21)^2 \le 0;$

5) $(x+2)^2 + y-2 \ge 0;$

6) $(x-2)^2 + y+3 \le 0.$

1) Данное неравенство $(x-1)^2 + y^2 \geq 12$ задает множество точек на координатной плоскости.

Уравнение $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ является уравнением окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$.

В нашем случае, неравенство можно записать как $(x-1)^2 + (y-0)^2 \geq (\sqrt{12})^2$. Это соответствует окружности с центром в точке $O(1, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Знак $\geq$ означает, что искомое множество точек включает в себя все точки, лежащие на самой окружности, а также все точки, лежащие вне этой окружности.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $2\sqrt{3}$ и вне ее.

2) Рассмотрим неравенство $x^2 + (y - 3)^2 < 3$.

Это неравенство можно записать в виде $(x-0)^2 + (y-3)^2 < (\sqrt{3})^2$. Оно определяет внутреннюю часть круга, не включая границу.

Центр соответствующей окружности находится в точке $O(0, 3)$, а ее радиус равен $R = \sqrt{3}$.

Знак $<$ означает, что искомое множество точек — это все точки, лежащие строго внутри окружности.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри круга с центром в точке $(0, 3)$ и радиусом $\sqrt{3}$ (открытый круг).

3) Рассмотрим неравенство $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 \geq 9$.

Перепишем неравенство в стандартном виде: $(x-(-1))^2 + (y-3)^2 \geq 3^2$.

Это неравенство задает множество точек, связанных с окружностью с центром в точке $O(-1, 3)$ и радиусом $R = 3$.

Знак $\geq$ указывает на то, что множество включает точки на самой окружности и все точки вне ее.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(-1, 3)$ и радиусом $3$ и вне ее.

4) Рассмотрим неравенство $x^2 + (y - 21)^2 \leq 0$.

Выражение в левой части, $x^2 + (y-21)^2$, является суммой двух квадратов. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $x^2 \geq 0$ и $(y-21)^2 \geq 0$.

Следовательно, их сумма также неотрицательна: $x^2 + (y-21)^2 \geq 0$.

Таким образом, неравенство $x^2 + (y-21)^2 \leq 0$ может выполняться только в одном случае: когда $x^2 + (y-21)^2 = 0$.

Это равенство истинно, только если оба слагаемых равны нулю одновременно: $x^2 = 0$ и $(y-21)^2 = 0$.

Отсюда получаем $x=0$ и $y=21$.

Ответ: Единственная точка с координатами $(0, 21)$.

5) Рассмотрим неравенство $(x + 2)^2 + y - 2 \geq 0$.

Это неравенство не задает круг. Преобразуем его, выразив $y$: $y \geq -(x+2)^2 + 2$.

Уравнение $y = -(x+2)^2 + 2$ является уравнением параболы. Это парабола с ветвями, направленными вниз (из-за знака "минус" перед скобкой).

Вершина параболы вида $y = a(x-h)^2 + k$ находится в точке $(h, k)$. В нашем случае вершина находится в точке $(-2, 2)$.

Неравенство $y \geq -(x+2)^2 + 2$ задает множество точек, которые лежат на параболе и над ней.

Ответ: Множество точек, расположенных на параболе $y = -(x+2)^2 + 2$ и над ней.

6) Рассмотрим неравенство $(x - 2)^2 + y + 3 \leq 0$.

Преобразуем неравенство, выразив $y$: $y \leq -(x-2)^2 - 3$.

Уравнение $y = -(x-2)^2 - 3$ является уравнением параболы с ветвями, направленными вниз.

Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$.

Неравенство $y \leq -(x-2)^2 - 3$ задает множество точек, которые лежат на параболе и под ней.

Ответ: Множество точек, расположенных на параболе $y = -(x-2)^2 - 3$ и под ней.

24.13. 1)

$\frac{\sin\frac{3\pi}{20} \cdot \cos\frac{21\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \cdot \sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{7\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{8} \cdot \sin\frac{7\pi}{24}}$;

2)

$\frac{\sin\frac{15\pi}{7} \cdot \sin\frac{4\pi}{21} + \cos\frac{4\pi}{21} \cdot \cos\frac{6\pi}{7}}{\sin\frac{7\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{24} - \cos\frac{7\pi}{24} \cdot \sin\frac{23\pi}{24}}$.

1)

Рассмотрим числитель дроби: $\sin\frac{3\pi}{20} \cdot \cos\frac{21\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \cdot \sin\frac{\pi}{10}$.

Упростим аргумент $\frac{21\pi}{10}$, используя периодичность косинуса: $\cos\frac{21\pi}{10} = \cos(\frac{20\pi+\pi}{10}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{10}) = \cos\frac{\pi}{10}$.

Тогда числитель примет вид: $\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10}$.

Это соответствует формуле синуса суммы двух углов $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{3\pi}{20}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$.

Числитель равен $\sin(\frac{3\pi}{20} + \frac{\pi}{10}) = \sin(\frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi}{20}) = \sin(\frac{5\pi}{20}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\cos\frac{7\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{8} \cdot \sin\frac{7\pi}{24}$.

Приведем $\sin\frac{7\pi}{8}$ к углу $\frac{\pi}{8}$, используя формулу приведения: $\sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8}$.

Тогда знаменатель примет вид: $\cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8} \sin\frac{7\pi}{24}$.

Это соответствует формуле косинуса разности двух углов $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{7\pi}{24}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.

Знаменатель равен $\cos(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24}) = \cos(\frac{4\pi}{24}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

2)

Рассмотрим числитель дроби: $\sin\frac{15\pi}{7} \cdot \sin\frac{4\pi}{21} + \cos\frac{4\pi}{21} \cdot \cos\frac{6\pi}{7}$.

Переставим слагаемые для удобства: $\cos\frac{6\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} + \sin\frac{15\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21}$.

Упростим аргументы, используя формулы приведения и периодичность:

$\cos\frac{6\pi}{7} = \cos(\pi - \frac{\pi}{7}) = -\cos\frac{\pi}{7}$.

$\sin\frac{15\pi}{7} = \sin(\frac{14\pi+\pi}{7}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7}$.

Подставим упрощенные выражения в числитель: $-\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} + \sin\frac{\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21} = -(\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} - \sin\frac{\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21})$.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы двух углов $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{7}$ и $\beta = \frac{4\pi}{21}$.

Числитель равен $-\cos(\frac{\pi}{7} + \frac{4\pi}{21}) = -\cos(\frac{3\pi}{21} + \frac{4\pi}{21}) = -\cos(\frac{7\pi}{21}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\sin\frac{7\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{24} - \cos\frac{7\pi}{24} \cdot \sin\frac{23\pi}{24}$.

Упростим $\sin\frac{23\pi}{24}$ с помощью формулы приведения: $\sin\frac{23\pi}{24} = \sin(\pi - \frac{\pi}{24}) = \sin\frac{\pi}{24}$.

Тогда знаменатель примет вид: $\sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} - \cos\frac{7\pi}{24} \sin\frac{\pi}{24}$.

Это соответствует формуле синуса разности двух углов $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{7\pi}{24}$ и $\beta = \frac{\pi}{24}$.

Знаменатель равен $\sin(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{24}) = \sin(\frac{6\pi}{24}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

24.14. Упростите выражение:

1) $ \cos\beta + \sin\beta - \sqrt{2} \sin (45^\circ + \beta); $

2) $ \cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - 2 \cos(60^\circ - \beta); $

3) $ \cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta); $

4) $ \sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2 \cos(30^\circ - \beta). $

1) $\cos\beta + \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ + \beta)$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Раскроем $\sin(45^\circ + \beta)$:

$\sin(45^\circ + \beta) = \sin 45^\circ \cos\beta + \cos 45^\circ \sin\beta$

Зная, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения в выражение:

$\sin(45^\circ + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta + \sin\beta)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos\beta + \sin\beta - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta + \sin\beta)$

Упростим:

$\cos\beta + \sin\beta - \frac{2}{2}(\cos\beta + \sin\beta) = \cos\beta + \sin\beta - (\cos\beta + \sin\beta)$

$\cos\beta + \sin\beta - \cos\beta - \sin\beta = 0$

Ответ: 0

2) $\cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - 2 \cos(60^\circ - \beta)$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Раскроем $\cos(60^\circ - \beta)$:

$\cos(60^\circ - \beta) = \cos 60^\circ \cos\beta + \sin 60^\circ \sin\beta$

Зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим эти значения:

$\cos(60^\circ - \beta) = \frac{1}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\beta$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - 2 \left(\frac{1}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\beta\right)$

Упростим, раскрыв скобки:

$\cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - 2 \cdot \frac{1}{2} \cos\beta - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\beta$

$\cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - \cos\beta - \sqrt{3} \sin\beta = 0$

Ответ: 0

3) $\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta)$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Раскроем $\sin(45^\circ - \beta)$:

$\sin(45^\circ - \beta) = \sin 45^\circ \cos\beta - \cos 45^\circ \sin\beta$

Зная, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения:

$\sin(45^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta)$

Упростим:

$\cos\beta - \sin\beta - \frac{2}{2}(\cos\beta - \sin\beta) = \cos\beta - \sin\beta - (\cos\beta - \sin\beta)$

$\cos\beta - \sin\beta - \cos\beta + \sin\beta = 0$

Ответ: 0

4) $\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2 \cos(30^\circ - \beta)$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Раскроем $\cos(30^\circ - \beta)$:

$\cos(30^\circ - \beta) = \cos 30^\circ \cos\beta + \sin 30^\circ \sin\beta$

Зная, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, подставим эти значения:

$\cos(30^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\beta + \frac{1}{2} \sin\beta$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\beta + \frac{1}{2} \sin\beta\right)$

Упростим, раскрыв скобки:

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\beta - 2 \cdot \frac{1}{2} \sin\beta$

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - \sqrt{3} \cos\beta - \sin\beta = 0$

Ответ: 0

24.15. Докажите тождество:

1) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos\beta = \cos\alpha \sin\beta$;

2) $\cos(\alpha - \beta) - \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = \cos\alpha \cos\beta$;

3) $\sin(\alpha - \beta) + \cos(-\alpha)\sin(-\beta) = \sin\alpha \cos\beta$;

4) $\cos(\alpha + \beta) - \cos(-\alpha)\cos(-\beta) = -\sin\alpha \cos\beta$;

5) $\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha \cos\beta$;

6) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha \cos\beta$;

7) $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$;

8) $\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$.

1) sin(α + β) + sin(−α)cosβ = cosα sinβ

Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя формулу синуса суммы $sin(x+y) = sinx cosy + cosx siny$ и свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sinx$.

Левая часть: $sin(α + β) + sin(−α)cosβ = (sinα cosβ + cosα sinβ) + (−sinα)cosβ$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$sinα cosβ + cosα sinβ − sinα cosβ = cosα sinβ$.

Левая часть равна правой части: $cosα sinβ = cosα sinβ$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) cos(α − β) − sin(−α)sin(−β) = cosα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса разности $cos(x-y) = cosx cosy + sinx siny$ и свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sinx$.

Левая часть: $cos(α − β) − sin(−α)sin(−β) = (cosα cosβ + sinα sinβ) − (−sinα)(−sinβ)$.

Упростим выражение:

$cosα cosβ + sinα sinβ − (sinα sinβ) = cosα cosβ$.

Левая часть равна правой части: $cosα cosβ = cosα cosβ$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) sin(α − β) + cos(−α)sin(−β) = sinα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулу синуса разности $sin(x-y) = sinx cosy - cosx siny$, свойство четности косинуса $cos(-x) = cosx$ и свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sinx$.

Левая часть: $sin(α − β) + cos(−α)sin(−β) = (sinα cosβ − cosα sinβ) + (cosα)(−sinβ)$.

Упростим выражение:

$sinα cosβ − cosα sinβ − cosα sinβ = sinα cosβ − 2cosα sinβ$.

Полученное выражение $sinα cosβ − 2cosα sinβ$ не равно $sinα cosβ$. Следовательно, в исходном виде равенство не является тождеством. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что вместо $sin(α − β)$ должно быть $sin(α + β)$, тождество будет верным. Докажем исправленное тождество: $sin(α + β) + cos(−α)sin(−β) = sinα cosβ$.

Левая часть: $sin(α + β) + cos(−α)sin(−β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) + (cosα)(−sinβ) = sinα cosβ + cosα sinβ - cosα sinβ = sinα cosβ$.

Левая часть равна правой: $sinα cosβ = sinα cosβ$.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Доказано исправленное тождество $sin(α + β) + cos(−α)sin(−β) = sinα cosβ$.

4) cos(α + β) − cos(−α)cos(−β) = −sinα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы $cos(x+y) = cosx cosy - sinx siny$ и свойство четности косинуса $cos(-x) = cosx$.

Левая часть: $cos(α + β) − cos(−α)cos(−β) = (cosα cosβ − sinα sinβ) − (cosα)(cosβ)$.

Упростим выражение:

$cosα cosβ − sinα sinβ − cosα cosβ = −sinα sinβ$.

Полученное выражение $−sinα sinβ$ не равно $−sinα cosβ$ (в общем случае). Следовательно, в исходном виде равенство не является тождеством. Вероятно, в условии допущена опечатка в правой части. Если предположить, что правая часть должна быть $−sinα sinβ$, тождество будет верным. Докажем исправленное тождество: $cos(α + β) − cos(−α)cos(−β) = −sinα sinβ$.

Как мы показали выше, левая часть равна $−sinα sinβ$, что совпадает с исправленной правой частью.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Доказано исправленное тождество $cos(α + β) − cos(−α)cos(−β) = −sinα sinβ$.

5) cos(α + β) + cos(α − β) = 2cosα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулы косинуса суммы и разности.

$cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ$

$cos(α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ$

Сложим эти выражения:

$(cosα cosβ − sinα sinβ) + (cosα cosβ + sinα sinβ) = cosα cosβ + cosα cosβ − sinα sinβ + sinα sinβ = 2cosα cosβ$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6) sin(α + β) + sin(α − β) = 2sinα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулы синуса суммы и разности.

$sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ$

$sin(α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ$

Сложим эти выражения:

$(sinα cosβ + cosα sinβ) + (sinα cosβ − cosα sinβ) = sinα cosβ + sinα cosβ + cosα sinβ − cosα sinβ = 2sinα cosβ$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7) sin(α + β) sin(α − β) = sin²α − sin²β

Преобразуем левую часть, используя формулы синуса суммы и разности и формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a²-b²$.

Левая часть: $sin(α + β) sin(α − β) = (sinα cosβ + cosα sinβ)(sinα cosβ − cosα sinβ)$.

Применим формулу разности квадратов:

$(sinα cosβ)² − (cosα sinβ)² = sin²α cos²β − cos²α sin²β$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin²x + cos²x = 1$, откуда $cos²x = 1 − sin²x$.

$sin²α(1 − sin²β) − (1 − sin²α)sin²β = sin²α − sin²α sin²β − sin²β + sin²α sin²β = sin²α − sin²β$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

8) cos(α + β) cos(α − β) = cos²α − sin²β

Преобразуем левую часть, используя формулы косинуса суммы и разности и формулу разности квадратов.

Левая часть: $cos(α + β) cos(α − β) = (cosα cosβ − sinα sinβ)(cosα cosβ + sinα sinβ)$.

Применим формулу разности квадратов:

$(cosα cosβ)² − (sinα sinβ)² = cos²α cos²β − sin²α sin²β$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin²x + cos²x = 1$. Заменим $cos²β = 1 − sin²β$ и $sin²α = 1 - cos²α$.

$cos²α(1 − sin²β) − (1 − cos²α)sin²β = cos²α − cos²α sin²β − sin²β + cos²α sin²β = cos²α − sin²β$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

24.16. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)};$

2) $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)};$

3) $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)};$

4) $\frac{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}.$

Для решения данных задач воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (формулы простаферезиса).

Основные формулы, которые нам понадобятся:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

Во всех задачах мы можем положить $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha - \beta$. В этом случае:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta$

1) Упростим выражение $\frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}$.

Преобразуем числитель по формуле разности синусов:

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\alpha\sin\beta$.

Преобразуем знаменатель по формуле суммы синусов:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{2\cos\alpha\sin\beta}{2\sin\alpha\cos\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \cot\alpha\tan\beta$.

Ответ: $\cot\alpha\tan\beta$.

2) Упростим выражение $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)}$.

Преобразуем числитель по формуле суммы косинусов:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\alpha\cos\beta$.

Преобразуем знаменатель по формуле разности косинусов:

$\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = -2\sin\alpha\sin\beta$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{2\cos\alpha\cos\beta}{-2\sin\alpha\sin\beta} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = -\cot\alpha\cot\beta$.

Ответ: $-\cot\alpha\cot\beta$.

3) Упростим выражение $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}$.

Преобразуем числитель по формуле суммы синусов:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Преобразуем знаменатель по формуле суммы косинусов:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{2\sin\alpha\cos\beta}{2\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$.

Ответ: $\tan\alpha$.

4) Упростим выражение $\frac{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}$.

Преобразуем числитель по формуле разности косинусов:

$\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin\alpha\sin\beta$.

Преобразуем знаменатель по формуле разности синусов:

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\sin\beta$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{-2\sin\alpha\sin\beta}{2\cos\alpha\sin\beta} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha$.

Ответ: $-\tan\alpha$.

24.17. Докажите тождество:

1) $\cos\alpha \cos(\beta + \gamma) - \cos\beta \cos(\alpha + \gamma) = \sin\gamma \sin(\alpha - \beta)$;

2) $\sin(\alpha - \beta) \sin\gamma + \sin(\beta - \gamma) \sin\alpha = \sin(\alpha - \gamma) \sin\beta$.

1) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, начиная с раскрытия косинусов суммы по формуле $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$.
Исходное выражение: $cos(α)cos(β + γ) - cos(β)cos(α + γ)$.
Применим формулу косинуса суммы к $cos(β + γ)$ и $cos(α + γ)$:
$cos(α)(cos(β)cos(γ) - sin(β)sin(γ)) - cos(β)(cos(α)cos(γ) - sin(α)sin(γ))$
Раскроем скобки:
$= cos(α)cos(β)cos(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ) - cos(β)cos(α)cos(γ) + cos(β)sin(α)sin(γ)$
Приведем подобные слагаемые. Члены $cos(α)cos(β)cos(γ)$ и $-cos(β)cos(α)cos(γ)$ взаимно уничтожаются:
$= cos(β)sin(α)sin(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ)$
Вынесем общий множитель $sin(γ)$ за скобки:
$= sin(γ)(sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β))$
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)$.
Подставив, получаем:
$= sin(γ)sin(α - β)$
Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя формулу синуса разности $sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.
Исходное выражение: $sin(α - β)sin(γ) + sin(β - γ)sin(α)$.
Применим формулу синуса разности к $sin(α - β)$ и $sin(β - γ)$:
$= (sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β))sin(γ) + (sin(β)cos(γ) - cos(β)sin(γ))sin(α)$
Раскроем скобки:
$= sin(α)cos(β)sin(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ) + sin(α)sin(β)cos(γ) - sin(α)cos(β)sin(γ)$
Приведем подобные слагаемые. Члены $sin(α)cos(β)sin(γ)$ и $-sin(α)cos(β)sin(γ)$ взаимно уничтожаются:
$= sin(α)sin(β)cos(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ)$
Вынесем общий множитель $sin(β)$ за скобки:
$= sin(β)(sin(α)cos(γ) - cos(α)sin(γ))$
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $sin(α - γ) = sin(α)cos(γ) - cos(α)sin(γ)$.
Подставив, получаем:
$= sin(β)sin(α - γ)$
Переставим множители для соответствия правой части: $sin(α - γ)sin(β)$.
Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

24.18. Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ – углы треугольника, то верно равенство:

1) $\sin\alpha = \sin\beta \sin\gamma + \cos\beta \sin\gamma$;

2) $\cos\alpha = \sin\beta \sin\gamma - \cos\beta \cos\gamma$.

1)

В условии этого пункта, вероятно, допущена опечатка. Равенство $sin\alpha = sin\beta sin\gamma + cos\beta sin\gamma$ в общем случае неверно. Например, для равностороннего треугольника, где $\alpha = \beta = \gamma = \pi/3$, левая часть равна $sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$. Правая часть равна $sin(\pi/3)sin(\pi/3) + cos(\pi/3)sin(\pi/3) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3+\sqrt{3}}{4}$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{3+\sqrt{3}}{4}$, равенство не выполняется.

Правильное равенство, которое, скорее всего, имелось в виду: $sin\alpha = sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma$. Докажем его.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан ($180^\circ$):

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Выразим из этого равенства угол $\alpha$:

$\alpha = \pi - (\beta + \gamma)$

Теперь найдем синус угла $\alpha$, используя полученное выражение:

$sin\alpha = sin(\pi - (\beta + \gamma))$

Согласно формуле приведения $sin(\pi - x) = sinx$, получаем:

$sin\alpha = sin(\beta + \gamma)$

Далее, используем формулу синуса суммы двух углов $sin(x+y) = sinx cos y + cosx siny$:

$sin(\beta + \gamma) = sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma$

Таким образом, мы приходим к равенству:

$sin\alpha = sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $sin\alpha = sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma$ доказано.

2)

Докажем равенство $cos\alpha = sin\beta sin\gamma - cos\beta cos\gamma$.

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся тем, что сумма углов треугольника равна $\pi$:

$\alpha = \pi - (\beta + \gamma)$

Найдем косинус угла $\alpha$:

$cos\alpha = cos(\pi - (\beta + \gamma))$

Применим формулу приведения $cos(\pi - x) = -cosx$:

$cos\alpha = -cos(\beta + \gamma)$

Теперь используем формулу косинуса суммы двух углов $cos(x+y) = cosx cosy - sinx siny$:

$cos\alpha = -(cos\beta cos\gamma - sin\beta sin\gamma)$

Раскроем скобки, поменяв знаки у слагаемых внутри:

$cos\alpha = -cos\beta cos\gamma + sin\beta sin\gamma$

Переставив слагаемые, получим требуемое равенство:

$cos\alpha = sin\beta sin\gamma - cos\beta cos\gamma$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $cos\alpha = sin\beta sin\gamma - cos\beta cos\gamma$ доказано.

24.19. Значения синусов двух острых углов треугольника равны 0,6 и 0,8. Найдите значение синуса третьего угла треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию, два угла, пусть это будут $\alpha$ и $\beta$, являются острыми. Нам даны их синусы: $\sin(\alpha) = 0.6$ и $\sin(\beta) = 0.8$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Отсюда можно выразить третий угол $\gamma$ через два других: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Нам необходимо найти синус третьего угла, то есть $\sin(\gamma)$. Используя формулу приведения для синуса, имеем:

$\sin(\gamma) = \sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$

Для вычисления $\sin(\alpha + \beta)$ применим формулу синуса суммы двух углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$

Мы знаем значения $\sin(\alpha)$ и $\sin(\beta)$. Чтобы найти значения $\cos(\alpha)$ и $\cos(\beta)$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ острые (лежат в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$), их косинусы будут положительными.

Найдем $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$.

Найдем $\cos(\beta)$:

$\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$.

Теперь, когда все компоненты известны, подставим их в формулу синуса суммы:

$\sin(\gamma) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = (0.6) \cdot (0.6) + (0.8) \cdot (0.8)$.

Произведем вычисления:

$\sin(\gamma) = 0.36 + 0.64 = 1$.

Синус третьего угла равен 1. Это означает, что третий угол $\gamma$ равен $90^\circ$, и данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: 1