Страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

4.21. От двух слитков с массой в 7 кг и 3 кг с разным процентным содержанием магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок, отрезанный от первого слитка, сплавили с остатком второго слитка, а кусок, отрезанный от второго слитка, сплавили с остатком от первого слитка и получили сплавы с одинаковым процентным содержанием магния. Найдите массу каждого из отрезанных кусков.

Пусть масса первого слитка $m_1 = 7$ кг, а масса второго слитка $m_2 = 3$ кг. Пусть $c_1$ и $c_2$ — это процентное содержание (концентрация) магния в первом и втором слитках соответственно. По условию задачи, концентрации различны, то есть $c_1 \neq c_2$. Пусть $x$ кг — масса куска, отрезанного от каждого из слитков. Нам необходимо найти значение $x$.

После того как от слитков отрезали по куску массой $x$, получились следующие части:

• Остаток первого слитка: масса $(7 - x)$ кг, концентрация магния $c_1$.
• Кусок от первого слитка: масса $x$ кг, концентрация магния $c_1$.
• Остаток второго слитка: масса $(3 - x)$ кг, концентрация магния $c_2$.
• Кусок от второго слитка: масса $x$ кг, концентрация магния $c_2$.

Затем из этих частей создают два новых сплава.

Первый новый сплав получили, сплавив кусок от первого слитка с остатком второго.
Масса этого сплава: $x + (3 - x) = 3$ кг.
Масса магния в этом сплаве складывается из массы магния в куске от первого слитка ($x \cdot c_1$) и массы магния в остатке второго слитка ($(3 - x) \cdot c_2$).
Общая масса магния: $x \cdot c_1 + (3 - x) \cdot c_2$.
Концентрация магния в первом новом сплаве ($C_{нов1}$) равна отношению массы магния к общей массе сплава: $C_{нов1} = \frac{x \cdot c_1 + (3 - x) \cdot c_2}{3}$

Второй новый сплав получили, сплавив кусок от второго слитка с остатком первого.
Масса этого сплава: $x + (7 - x) = 7$ кг.
Масса магния в этом сплаве складывается из массы магния в куске от второго слитка ($x \cdot c_2$) и массы магния в остатке первого слитка ($(7 - x) \cdot c_1$).
Общая масса магния: $x \cdot c_2 + (7 - x) \cdot c_1$.
Концентрация магния во втором новом сплаве ($C_{нов2}$) равна: $C_{нов2} = \frac{x \cdot c_2 + (7 - x) \cdot c_1}{7}$

По условию задачи, концентрации магния в полученных сплавах одинаковы, то есть $C_{нов1} = C_{нов2}$. Составим и решим уравнение:
$\frac{x \cdot c_1 + (3 - x) \cdot c_2}{3} = \frac{x \cdot c_2 + (7 - x) \cdot c_1}{7}$
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$7 \cdot (x \cdot c_1 + (3 - x) \cdot c_2) = 3 \cdot (x \cdot c_2 + (7 - x) \cdot c_1)$
Раскроем скобки:
$7xc_1 + 7(3-x)c_2 = 3xc_2 + 3(7-x)c_1$
$7xc_1 + 21c_2 - 7xc_2 = 3xc_2 + 21c_1 - 3xc_1$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $c_1$ в левой части уравнения, а $c_2$ — в правой:
$7xc_1 + 3xc_1 - 21c_1 = 3xc_2 + 7xc_2 - 21c_2$
$10xc_1 - 21c_1 = 10xc_2 - 21c_2$
Вынесем общие множители за скобки:
$c_1(10x - 21) = c_2(10x - 21)$
Перенесем все в левую часть:
$c_1(10x - 21) - c_2(10x - 21) = 0$
$(c_1 - c_2)(10x - 21) = 0$
Так как по условию процентное содержание магния в исходных слитках было разным, то $c_1 \neq c_2$, а значит, $c_1 - c_2 \neq 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поскольку первый множитель $(c_1 - c_2)$ не равен нулю, то второй множитель должен быть равен нулю:
$10x - 21 = 0$
$10x = 21$
$x = \frac{21}{10} = 2.1$

Таким образом, масса каждого из отрезанных кусков составляет 2,1 кг.

Ответ: 2,1 кг.

4.22. 1) Две бригады должны были выполнить одинаковую работу. Первая бригада выполнила работу на 30 мин раньше второй бригады. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 ч раньше. Найдите число рабочих в каждой бригаде, если производительность обеих бригад одинакова.

2) Два насоса, работая вместе, наполняют бассейн за 10 часов. Если первый насос включить в 6 ч, второй через 2 ч, то в 12 ч в бассейне будет $400 \text{ м}^3$ воды. Найдите емкость бассейна, учитывая, что половину бассейна второй насос может наполнить на 7,5 ч позже, чем первый.

1)

Пусть $n_1$ и $n_2$ — число рабочих в первой и второй бригадах соответственно, а $t_1$ и $t_2$ — время (в часах), за которое они выполняют работу. Примем всю работу за $A$ условных единиц, а производительность одного рабочего за $p$ единиц в час.

Из условия задачи известно, что первая бригада выполнила работу на 30 минут (0.5 часа) раньше второй: $t_2 = t_1 + 0.5$

Объем выполненной работы одинаков для обеих бригад: $A = n_1 \cdot p \cdot t_1 = n_2 \cdot p \cdot t_2$ Разделив на $p$, получим: $n_1 t_1 = n_2 (t_1 + 0.5)$ (1)

Также известно, что если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, т.е. $(n_1 + 5)$ рабочих, то она закончила бы работу на 2 часа раньше своего первоначального времени, т.е. за $(t_1 - 2)$ часа. $A = (n_1 + 5) \cdot p \cdot (t_1 - 2)$ $n_1 t_1 = (n_1 + 5)(t_1 - 2)$ (2)

Раскроем скобки в уравнении (2): $n_1 t_1 = n_1 t_1 - 2n_1 + 5t_1 - 10$ $0 = -2n_1 + 5t_1 - 10$ $2n_1 = 5t_1 - 10 \implies n_1 = \frac{5t_1 - 10}{2}$

Так как $n_1 > 0$, то $5t_1 - 10 > 0$, откуда $t_1 > 2$ часа.

Теперь подставим выражение для $n_1$ в уравнение (1), чтобы выразить $n_2$: $n_2 = \frac{n_1 t_1}{t_1 + 0.5} = \frac{(\frac{5t_1 - 10}{2}) t_1}{t_1 + 0.5} = \frac{5t_1(t_1 - 2)}{2(t_1 + 0.5)} = \frac{5t_1(t_1 - 2)}{2t_1 + 1}$

Поскольку число рабочих $n_1$ и $n_2$ должно быть целым положительным числом, мы должны найти такое значение $t_1 > 2$, при котором выражения для $n_1$ и $n_2$ являются целыми числами.

Рассмотрим выражение для $n_2$. Чтобы $n_2$ было целым, можно преобразовать дробь. Заметим, что $4(2t_1+1)$ должно делить $4 \cdot 5t_1(t_1 - 2) = 20 t_1(t_1 - 2)$. Более эффективный подход — заметить, что $4n_1 = 10t_1-20$ и $n_2(2t_1+1) = 5t_1^2-10t_1$. Наиболее просто найти решение, проанализировав выражение $n_2 = \frac{5t_1(t_1-2)}{2t_1+1}$. Можно показать, что для того, чтобы $n_1$ и $n_2$ были целыми, выражение $\frac{25}{2t_1+1}$ должно быть целым числом особой четности. Отсюда следует, что знаменатель $(2t_1 + 1)$ должен быть делителем числа 25.

Делители числа 25: 1, 5, 25. Так как $t_1 > 2$, то $2t_1 + 1 > 2(2) + 1 = 5$. Следовательно, единственно возможный вариант: $2t_1 + 1 = 25$ $2t_1 = 24$ $t_1 = 12$ часов.

Теперь найдем число рабочих в каждой бригаде: $n_1 = \frac{5t_1 - 10}{2} = \frac{5(12) - 10}{2} = \frac{60 - 10}{2} = \frac{50}{2} = 25$ рабочих. $n_2 = \frac{5t_1(t_1 - 2)}{2t_1 + 1} = \frac{5(12)(12 - 2)}{2(12) + 1} = \frac{60 \cdot 10}{25} = 24$ рабочих.

Замечание: Условие "производительность обеих бригад одинакова" противоречит другим данным задачи, так как если бы их производительности были равны, они бы закончили работу одновременно. Скорее всего, имелась в виду одинаковая производительность каждого рабочего в обеих бригадах, что и было использовано в решении.

Ответ: в первой бригаде 25 рабочих, во второй — 24 рабочих.

2)

Пусть $V$ — емкость бассейна в м³, $p_1$ и $p_2$ — производительности (скорости наполнения) первого и второго насосов в м³/ч.

Из первого условия, два насоса вместе наполняют бассейн за 10 часов: $(p_1 + p_2) \cdot 10 = V \implies p_1 + p_2 = \frac{V}{10}$ (1)

Из второго условия, если первый насос включить в 6 ч, а второй через 2 ч (в 8 ч), то к 12 ч в бассейне будет 400 м³ воды. Первый насос работает $12 - 6 = 6$ часов. Второй насос работает $12 - 8 = 4$ часа. Следовательно: $6p_1 + 4p_2 = 400$, что можно упростить, разделив на 2: $3p_1 + 2p_2 = 200$ (2)

Из третьего условия, половину бассейна ($V/2$) второй насос наполнит на 7,5 ч позже, чем первый: $\frac{V/2}{p_2} - \frac{V/2}{p_1} = 7.5$ $\frac{V}{2} \left(\frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_1}\right) = 7.5 \implies \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_1} = \frac{15}{V}$ (3)

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Выразим $p_1$ и $p_2$ через $V$. Из (1): $p_1 = \frac{V}{10} - p_2$. Подставим в (2): $3\left(\frac{V}{10} - p_2\right) + 2p_2 = 200$ $\frac{3V}{10} - 3p_2 + 2p_2 = 200 \implies p_2 = \frac{3V}{10} - 200$

Теперь найдем $p_1$: $p_1 = \frac{V}{10} - \left(\frac{3V}{10} - 200\right) = 200 - \frac{2V}{10} = 200 - \frac{V}{5}$

Подставим выражения для $p_1$ и $p_2$ в уравнение (3): $\frac{1}{\frac{3V}{10} - 200} - \frac{1}{200 - \frac{V}{5}} = \frac{15}{V}$ $\frac{10}{3V - 2000} - \frac{5}{1000 - V} = \frac{15}{V}$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{10(1000 - V) - 5(3V - 2000)}{(3V - 2000)(1000 - V)} = \frac{15}{V}$ $\frac{10000 - 10V - 15V + 10000}{-3V^2 + 5000V - 2000000} = \frac{15}{V}$ $\frac{20000 - 25V}{-3V^2 + 5000V - 2000000} = \frac{15}{V}$

Используем перекрестное умножение: $V(20000 - 25V) = 15(-3V^2 + 5000V - 2000000)$ $20000V - 25V^2 = -45V^2 + 75000V - 30000000$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $20V^2 - 55000V + 30000000 = 0$ Разделим уравнение на 20: $V^2 - 2750V + 1500000 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$: $\Delta = (-2750)^2 - 4(1)(1500000) = 7562500 - 6000000 = 1562500$ $\sqrt{\Delta} = \sqrt{1562500} = 1250$

Найдем корни уравнения: $V = \frac{2750 \pm 1250}{2}$ $V_1 = \frac{2750 + 1250}{2} = \frac{4000}{2} = 2000$ $V_2 = \frac{2750 - 1250}{2} = \frac{1500}{2} = 750$

Производительности насосов должны быть положительными: $p_1 = 200 - V/5 > 0 \implies V < 1000$ $p_2 = 3V/10 - 200 > 0 \implies V > 2000/3 \approx 667$ Корень $V_1 = 2000$ не удовлетворяет условию $V < 1000$. Корень $V_2 = 750$ удовлетворяет обоим условиям ($667 < 750 < 1000$).

Ответ: емкость бассейна равна 750 м³.

4.23. Три бригады, работая одновременно, отремонтируют железнодорожный путь за 8 дней. Второй бригаде надо на эту работу на 8 дней больше, чем первой, и в 2 раза меньше, чем для третьей. За какое время каждая бригада в отдельности выполнит эту работу?

Примем весь объем работы по ремонту железнодорожного пути за 1.
Пусть $t_1$, $t_2$ и $t_3$ – это время в днях, за которое первая, вторая и третья бригады соответственно могут выполнить всю работу, работая по отдельности.
Тогда их производительность (часть работы, выполняемая за один день) будет равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$, $p_2 = \frac{1}{t_2}$ и $p_3 = \frac{1}{t_3}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
1. Три бригады, работая одновременно, ремонтируют путь за 8 дней. Это означает, что их общая производительность (сумма индивидуальных производительностей) равна $\frac{1}{8}$ работы в день.
$p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{8}$ или $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3} = \frac{1}{8}$.
2. Второй бригаде требуется на 8 дней больше, чем первой.
$t_2 = t_1 + 8$.
3. Второй бригаде требуется в 2 раза меньше времени, чем третьей, что равносильно тому, что третьей бригаде требуется в 2 раза больше времени, чем второй.
$t_3 = 2 \cdot t_2$.

Для решения системы уравнений выразим время работы первой и третьей бригад ($t_1$ и $t_3$) через время работы второй бригады ($t_2$).
Из второго уравнения: $t_1 = t_2 - 8$.
Третье уравнение уже выражает $t_3$ через $t_2$: $t_3 = 2t_2$.

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение:
$\frac{1}{t_2 - 8} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{2t_2} = \frac{1}{8}$

Решим полученное уравнение относительно $t_2$. Сначала упростим левую часть, сложив два последних слагаемых:
$\frac{1}{t_2} + \frac{1}{2t_2} = \frac{2}{2t_2} + \frac{1}{2t_2} = \frac{3}{2t_2}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{t_2 - 8} + \frac{3}{2t_2} = \frac{1}{8}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $2t_2(t_2 - 8)$:
$\frac{2t_2}{2t_2(t_2 - 8)} + \frac{3(t_2 - 8)}{2t_2(t_2 - 8)} = \frac{1}{8}$
$\frac{2t_2 + 3t_2 - 24}{2t_2^2 - 16t_2} = \frac{1}{8}$
$\frac{5t_2 - 24}{2t_2^2 - 16t_2} = \frac{1}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$8(5t_2 - 24) = 1(2t_2^2 - 16t_2)$
$40t_2 - 192 = 2t_2^2 - 16t_2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$2t_2^2 - 16t_2 - 40t_2 + 192 = 0$
$2t_2^2 - 56t_2 + 192 = 0$
Для удобства разделим все уравнение на 2:
$t_2^2 - 28t_2 + 96 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней. Воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 784 - 384 = 400$
$t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{28 \pm 20}{2}$
Получаем два возможных корня для $t_2$:
$t_{2,1} = \frac{28 + 20}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$t_{2,2} = \frac{28 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Необходимо проверить оба корня. Мы знаем, что $t_1 = t_2 - 8$. Поскольку время на выполнение работы не может быть отрицательным или нулевым, $t_1$ должно быть больше 0. Это накладывает условие $t_2 - 8 > 0$, то есть $t_2 > 8$.
- Корень $t_2 = 4$ не удовлетворяет этому условию, так как в этом случае $t_1 = 4 - 8 = -4$, что физически невозможно.
- Корень $t_2 = 24$ удовлетворяет условию, так как $t_1 = 24 - 8 = 16$, что является положительным числом.
Таким образом, единственное верное решение для времени второй бригады – 24 дня.

Теперь, зная $t_2$, мы можем найти время для первой и третьей бригад:
Время для первой бригады: $t_1 = t_2 - 8 = 24 - 8 = 16$ дней.
Время для второй бригады: $t_2 = 24$ дня.
Время для третьей бригады: $t_3 = 2 \cdot t_2 = 2 \cdot 24 = 48$ дней.

Ответ: первая бригада выполнит работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья – за 48 дней.

4.24. Имеются три раствора, составленные из трех элементов $A$, $B$ и $C$. В первый раствор входят только элементы $A$ и $B$, массы которых находятся в отношении $1 : 2$, во второй раствор — элементы $B$ и $C$, массы которых находятся в отношении $1 : 3$, в третий раствор — элементы $A$ и $C$, массы которых находятся в отношении $2 : 1$. В каком отношении нужно взять эти растворы, чтобы во вновь полученном растворе содержались элементы $A$, $B$ и $C$, массы которых находятся в отношении $11 : 3 : 8$?

Для решения задачи обозначим массы первого, второго и третьего растворов, которые нужно взять, как $x$, $y$ и $z$ соответственно. Наша цель — найти соотношение $x : y : z$.

Сначала определим массовые доли элементов в каждом из трех исходных растворов.

1. Первый раствор (масса $x$):
Содержит элементы А и В в отношении $1:2$. Общее число частей равно $1+2=3$.
Массовая доля А: $w_A_1 = \frac{1}{3}$
Массовая доля В: $w_B_1 = \frac{2}{3}$
Масса элемента А из первого раствора: $m_{A1} = \frac{1}{3}x$
Масса элемента В из первого раствора: $m_{B1} = \frac{2}{3}x$

2. Второй раствор (масса $y$):
Содержит элементы В и С в отношении $1:3$. Общее число частей равно $1+3=4$.
Массовая доля В: $w_B_2 = \frac{1}{4}$
Массовая доля С: $w_C_2 = \frac{3}{4}$
Масса элемента В из второго раствора: $m_{B2} = \frac{1}{4}y$
Масса элемента С из второго раствора: $m_{C2} = \frac{3}{4}y$

3. Третий раствор (масса $z$):
Содержит элементы А и С в отношении $2:1$. Общее число частей равно $2+1=3$.
Массовая доля А: $w_A_3 = \frac{2}{3}$
Массовая доля С: $w_C_3 = \frac{1}{3}$
Масса элемента А из третьего раствора: $m_{A3} = \frac{2}{3}z$
Масса элемента С из третьего раствора: $m_{C3} = \frac{1}{3}z$

Теперь составим выражения для общих масс элементов А, В и С в конечном растворе, сложив их массы из взятых частей каждого раствора:

Общая масса А: $m_A = m_{A1} + m_{A3} = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}z$
Общая масса В: $m_B = m_{B1} + m_{B2} = \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y$
Общая масса С: $m_C = m_{C2} + m_{C3} = \frac{3}{4}y + \frac{1}{3}z$

По условию, в полученном растворе массы элементов А, В и С находятся в отношении $11:3:8$. Это означает, что $m_A : m_B : m_C = 11:3:8$. Мы можем составить систему уравнений из этих отношений:

$\frac{m_A}{m_B} = \frac{11}{3} \implies 3m_A = 11m_B$
$\frac{m_B}{m_C} = \frac{3}{8} \implies 8m_B = 3m_C$

Подставим выражения для $m_A$, $m_B$ и $m_C$ в эти уравнения:

1) $3 \left( \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}z \right) = 11 \left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y \right)$
$x + 2z = \frac{22}{3}x + \frac{11}{4}y$
Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей:
$12(x + 2z) = 12 \left( \frac{22}{3}x + \frac{11}{4}y \right)$
$12x + 24z = 4 \cdot 22x + 3 \cdot 11y$
$12x + 24z = 88x + 33y$
$76x + 33y - 24z = 0$ (Уравнение I)

2) $8 \left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y \right) = 3 \left( \frac{3}{4}y + \frac{1}{3}z \right)$
$\frac{16}{3}x + 2y = \frac{9}{4}y + z$
Умножим обе части на 12:
$12 \left( \frac{16}{3}x + 2y \right) = 12 \left( \frac{9}{4}y + z \right)$
$4 \cdot 16x + 24y = 3 \cdot 9y + 12z$
$64x + 24y = 27y + 12z$
$64x - 3y - 12z = 0$ (Уравнение II)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с тремя переменными. Решим ее, чтобы найти соотношение между $x$, $y$ и $z$.

Из Уравнения II выразим $z$:
$12z = 64x - 3y$
$z = \frac{64x - 3y}{12}$

Подставим это выражение для $z$ в Уравнение I:
$76x + 33y - 24 \left( \frac{64x - 3y}{12} \right) = 0$
$76x + 33y - 2(64x - 3y) = 0$
$76x + 33y - 128x + 6y = 0$
$-52x + 39y = 0$
$39y = 52x$
Разделим обе части на 13:
$3y = 4x \implies y = \frac{4}{3}x$

Теперь, зная соотношение между $x$ и $y$, найдем $z$ через $x$, подставив $y = \frac{4}{3}x$ в Уравнение II:
$64x - 3\left(\frac{4}{3}x\right) - 12z = 0$
$64x - 4x - 12z = 0$
$60x - 12z = 0$
$12z = 60x$
$z = 5x$

Мы получили соотношения всех масс через $x$: $y = \frac{4}{3}x$ и $z = 5x$.
Искомое отношение масс растворов $x:y:z$ равно:
$x : \frac{4}{3}x : 5x$
Чтобы получить целочисленное отношение, разделим все части на $x$ (при условии $x \neq 0$) и умножим на 3:
$1 : \frac{4}{3} : 5$
$1 \cdot 3 : \frac{4}{3} \cdot 3 : 5 \cdot 3$
$3 : 4 : 15$

Таким образом, для получения требуемого раствора необходимо взять первый, второй и третий растворы в отношении масс $3:4:15$.

Ответ: $3:4:15$.

23.21. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^2 (\pi + \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 1;$

2) $\frac{\sin^2 (\pi + \alpha)}{1 - \cos \alpha} - \cos(2\pi - \alpha) = 1;$

3) $\frac{\cos^2 (2\pi - \alpha)}{1 + \sin(-\alpha)} + \cos \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = 1;$

4) $\frac{\sin^2 (3\pi - \alpha)}{1 - \cos(-\alpha)} + \cos(5\pi - \alpha) = 1.$

1) Преобразуем левую часть тождества, используя формулы приведения и основные тригонометрические тождества.
Применим формулы приведения:
$ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha $, поэтому $ \cos^2(\pi + \alpha) = (-\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha $.
$ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha $.
Подставим эти выражения в левую часть исходного тождества:
$ \frac{\cos^2(\pi + \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого следует, что $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $:
$ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Сократим дробь на $ (1 - \sin \alpha) $ (при условии, что $ 1 - \sin \alpha \neq 0 $):
$ (1 + \sin \alpha) - \sin \alpha = 1 + \sin \alpha - \sin \alpha = 1 $.
Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества.
Применим формулы приведения:
$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha $, поэтому $ \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin \alpha)^2 = \sin^2 \alpha $.
$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha $.
Подставим полученные выражения в левую часть:
$ \frac{\sin^2(\pi + \alpha)}{1 - \cos \alpha} - \cos(2\pi - \alpha) = \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $:
$ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Применим формулу разности квадратов к числителю:
$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Сократим дробь на $ (1 - \cos \alpha) $ (при условии, что $ 1 - \cos \alpha \neq 0 $):
$ (1 + \cos \alpha) - \cos \alpha = 1 + \cos \alpha - \cos \alpha = 1 $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества.
Используем формулы приведения и свойство нечетности синуса:
$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha $, поэтому $ \cos^2(2\pi - \alpha) = \cos^2 \alpha $.
$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $ (синус — нечетная функция).
$ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha $.
Подставим эти выражения в левую часть тождества:
$ \frac{\cos^2(2\pi - \alpha)}{1 + \sin(-\alpha)} + \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $:
$ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Разложим числитель на множители:
$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Сократим дробь:
$ (1 + \sin \alpha) - \sin \alpha = 1 $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества.
Используем формулы приведения, учитывая периодичность тригонометрических функций, и свойство четности косинуса:
$ \sin(3\pi - \alpha) = \sin(2\pi + \pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $, поэтому $ \sin^2(3\pi - \alpha) = \sin^2 \alpha $.
$ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $ (косинус — четная функция).
$ \cos(5\pi - \alpha) = \cos(4\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $.
Подставим преобразованные выражения в левую часть:
$ \frac{\sin^2(3\pi - \alpha)}{1 - \cos(-\alpha)} + \cos(5\pi - \alpha) = \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Используем тождество $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $:
$ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Сократим дробь:
$ (1 + \cos \alpha) - \cos \alpha = 1 $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

23.22. Вычислите значение выражения:

1) $ \sin 135^\circ \cdot \cos 210^\circ \cdot \operatorname{tg} 405^\circ \cdot \operatorname{ctg} 330^\circ; $

2) $ \sin 225^\circ \cdot \cos 150^\circ \cdot \operatorname{ctg} 420^\circ \cdot \operatorname{tg} 300^\circ; $

3) $ \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} \cdot \operatorname{ctg} \frac{13\pi}{6}; $

4) $ \sin \frac{4\pi}{3} \cdot \cos \frac{5\pi}{6} \cdot \operatorname{tg} \frac{11\pi}{4} \cdot \operatorname{ctg} \frac{19\pi}{3}. $

1) Вычислим значение выражения $sin135^\circ \cdot cos210^\circ \cdot tg405^\circ \cdot ctg330^\circ$.
Для этого найдем значение каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения и периодичность.
$sin135^\circ = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos210^\circ = cos(180^\circ + 30^\circ) = -cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$tg405^\circ = tg(360^\circ + 45^\circ) = tg45^\circ = 1$
$ctg330^\circ = ctg(360^\circ - 30^\circ) = -ctg30^\circ = -\sqrt{3}$
Теперь перемножим полученные значения:
$sin135^\circ \cdot cos210^\circ \cdot tg405^\circ \cdot ctg330^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

2) Вычислим значение выражения $sin225^\circ \cdot cos150^\circ \cdot ctg420^\circ \cdot tg300^\circ$.
Найдем значение каждой функции:
$sin225^\circ = sin(180^\circ + 45^\circ) = -sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos150^\circ = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$ctg420^\circ = ctg(360^\circ + 60^\circ) = ctg60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$tg300^\circ = tg(360^\circ - 60^\circ) = -tg60^\circ = -\sqrt{3}$
Перемножим полученные значения:
$sin225^\circ \cdot cos150^\circ \cdot ctg420^\circ \cdot tg300^\circ = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3})}{3}) = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (\frac{-3}{3}) = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{6}}{4}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{4}$

3) Вычислим значение выражения $sin\frac{\pi}{3} \cdot cos\frac{2\pi}{3} \cdot tg\frac{7\pi}{4} \cdot ctg\frac{13\pi}{6}$.
Найдем значение каждой функции, используя формулы приведения и периодичность для углов в радианах.
$sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos\frac{2\pi}{3} = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$
$tg\frac{7\pi}{4} = tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -tg\frac{\pi}{4} = -1$
$ctg\frac{13\pi}{6} = ctg(2\pi + \frac{\pi}{6}) = ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$
Перемножим полученные значения:
$sin\frac{\pi}{3} \cdot cos\frac{2\pi}{3} \cdot tg\frac{7\pi}{4} \cdot ctg\frac{13\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-1) \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

4) Вычислим значение выражения $sin\frac{4\pi}{3} \cdot cos\frac{5\pi}{6} \cdot tg\frac{11\pi}{4} \cdot ctg\frac{19\pi}{3}$.
Найдем значение каждой функции:
$sin\frac{4\pi}{3} = sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos\frac{5\pi}{6} = cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$tg\frac{11\pi}{4} = tg(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = tg\frac{3\pi}{4} = tg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -tg\frac{\pi}{4} = -1$
$ctg\frac{19\pi}{3} = ctg(6\pi + \frac{\pi}{3}) = ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Перемножим полученные значения:
$sin\frac{4\pi}{3} \cdot cos\frac{5\pi}{6} \cdot tg\frac{11\pi}{4} \cdot ctg\frac{19\pi}{3} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{4} \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{4}$

23.23. Докажите, что если $A, B, C$ — углы треугольника, то верно равенство:

1) $\sin(A + B) = \sin C$;

2) $\sin \frac{A + B}{2} = \cos \frac{C}{2}$;

3) $\cos(A + B) = -\cos C$;

4) $\operatorname{tg} \frac{A + B}{2} = \operatorname{ctg} \frac{C}{2}$.

Поскольку A, B и C — углы треугольника, то их сумма составляет $180^\circ$ или $\pi$ радиан: $A + B + C = \pi$. Это основное соотношение, которое будет использоваться во всех доказательствах.

1) Докажем, что $\sin(A + B) = \sin C$.

Из основного соотношения выразим сумму углов $A + B$: $A + B = \pi - C$.
Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства:
$\sin(A + B) = \sin(\pi - C)$.
Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:
$\sin(\pi - C) = \sin C$.
Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\sin(A + B) = \sin C$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем, что $\sin\frac{A + B}{2} = \cos\frac{C}{2}$.

Разделим основное соотношение $A + B + C = \pi$ на 2: $\frac{A+B+C}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Отсюда можно выразить половину суммы углов A и B: $\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства:
$\sin\frac{A + B}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2})$.
Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cos\frac{C}{2}$.
Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\sin\frac{A + B}{2} = \cos\frac{C}{2}$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

3) Докажем, что $\cos(A + B) = -\cos C$.

Снова используем соотношение $A + B = \pi - C$.
Подставим его в левую часть доказываемого равенства:
$\cos(A + B) = \cos(\pi - C)$.
Используя формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$, получаем:
$\cos(\pi - C) = -\cos C$.
Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\cos(A + B) = -\cos C$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

4) Докажем, что $\text{tg}\frac{A + B}{2} = \text{ctg}\frac{C}{2}$.

Как и в пункте 2, используем соотношение $\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
Подставим его в левую часть доказываемого равенства:
$\text{tg}\frac{A + B}{2} = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2})$.
Используя формулу приведения $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}\alpha$, получаем:
$\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \text{ctg}\frac{C}{2}$.
Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\text{tg}\frac{A + B}{2} = \text{ctg}\frac{C}{2}$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

23.24. Найдите значение выражения:

1) $ \operatorname{tg}15^{\circ} \cdot \operatorname{tg}210^{\circ} \cdot \operatorname{tg}75^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}330^{\circ}; $

2) $ \operatorname{ctg}35^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}55^{\circ} \cdot \operatorname{tg}420^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}300^{\circ}; $

3) $ \sin \frac{4\pi}{3} \cdot \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} \frac{13\pi}{6}; $

4) $ \sin \frac{5\pi}{3} \cdot \cos \frac{5\pi}{6} \cdot \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} \frac{19\pi}{3}. $

1) $\text{tg}15^\circ \cdot \text{tg}210^\circ \cdot \text{tg}75^\circ \cdot \text{ctg}330^\circ$

Сгруппируем множители и используем формулы приведения. Заметим, что $\text{tg}75^\circ = \text{tg}(90^\circ - 15^\circ) = \text{ctg}15^\circ$.

Тогда произведение $\text{tg}15^\circ \cdot \text{tg}75^\circ = \text{tg}15^\circ \cdot \text{ctg}15^\circ = 1$.

Теперь упростим остальные множители:

$\text{tg}210^\circ = \text{tg}(180^\circ + 30^\circ) = \text{tg}30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$\text{ctg}330^\circ = \text{ctg}(360^\circ - 30^\circ) = -\text{ctg}30^\circ = -\sqrt{3}$.

Перемножим все значения:

$(\text{tg}15^\circ \cdot \text{tg}75^\circ) \cdot \text{tg}210^\circ \cdot \text{ctg}330^\circ = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3}) = -1$.

Ответ: $-1$.

2) $\text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}55^\circ \cdot \text{tg}420^\circ \cdot \text{ctg}300^\circ$

Сгруппируем множители. Используем формулу приведения $\text{ctg}55^\circ = \text{ctg}(90^\circ - 35^\circ) = \text{tg}35^\circ$.

Тогда произведение $\text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}55^\circ = \text{ctg}35^\circ \cdot \text{tg}35^\circ = 1$.

Упростим остальные множители:

$\text{tg}420^\circ = \text{tg}(360^\circ + 60^\circ) = \text{tg}60^\circ = \sqrt{3}$.

$\text{ctg}300^\circ = \text{ctg}(360^\circ - 60^\circ) = -\text{ctg}60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Перемножим все значения:

$(\text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}55^\circ) \cdot \text{tg}420^\circ \cdot \text{ctg}300^\circ = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -1$.

Ответ: $-1$.

3) $\sin\frac{4\pi}{3} \cdot \cos\frac{2\pi}{3} \cdot \text{ctg}\frac{7\pi}{4} \cdot \text{tg}\frac{13\pi}{6}$

Найдем значение каждого множителя, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

$\text{ctg}\frac{7\pi}{4} = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{4} = -1$.

$\text{tg}\frac{13\pi}{6} = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь перемножим полученные значения:

$(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-1) \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

4) $\sin\frac{5\pi}{3} \cdot \cos\frac{5\pi}{6} \cdot \text{ctg}\frac{11\pi}{4} \cdot \text{tg}\frac{19\pi}{3}$

Найдем значение каждого множителя, используя формулы приведения и периодичность.

$\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\text{ctg}\frac{11\pi}{4} = \text{ctg}(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}\frac{3\pi}{4} = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{4} = -1$.

$\text{tg}\frac{19\pi}{3} = \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Перемножим полученные значения:

$(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-1) \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{4} \cdot (-1) \cdot \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

23.25. Упростите выражение:

1) $ \text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}2^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg}88^\circ \cdot \text{tg}89^\circ; $

2) $ \text{ctg}1^\circ \cdot \text{ctg}2^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg}88^\circ \cdot \text{ctg}89^\circ; $

3) $ \text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}3^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg}87^\circ \cdot \text{tg}89^\circ; $

4) $ \text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}4^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg}86^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ. $

1) Для упрощения выражения $ \tg1^\circ \cdot \tg2^\circ \cdot \ldots \cdot \tg88^\circ \cdot \tg89^\circ $ воспользуемся формулой приведения $ \tg(90^\circ - \alpha) = \ctg\alpha $ и тождеством $ \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1 $. Сгруппируем множители в пары: первый с последним, второй с предпоследним, и так далее.$ \tg1^\circ \cdot \tg89^\circ = \tg1^\circ \cdot \tg(90^\circ - 1^\circ) = \tg1^\circ \cdot \ctg1^\circ = 1 $$ \tg2^\circ \cdot \tg88^\circ = \tg2^\circ \cdot \tg(90^\circ - 2^\circ) = \tg2^\circ \cdot \ctg2^\circ = 1 $...$ \tg44^\circ \cdot \tg46^\circ = \tg44^\circ \cdot \tg(90^\circ - 44^\circ) = \tg44^\circ \cdot \ctg44^\circ = 1 $Всего в произведении 89 множителей. Мы можем составить 44 такие пары, произведение в каждой из которых равно 1. В центре останется один множитель, не имеющий пары: $ \tg45^\circ $.Так как $ \tg45^\circ = 1 $, то всё выражение равно произведению 44 единиц и $ \tg45^\circ $:$ (1)^{44} \cdot \tg45^\circ = 1 \cdot 1 = 1 $.Ответ: 1

2) Для упрощения выражения $ \ctg1^\circ \cdot \ctg2^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg88^\circ \cdot \ctg89^\circ $ используем тот же подход, что и в предыдущем пункте. Воспользуемся формулой приведения $ \ctg(90^\circ - \alpha) = \tg\alpha $ и тождеством $ \ctg\alpha \cdot \tg\alpha = 1 $. Сгруппируем множители в пары.$ \ctg1^\circ \cdot \ctg89^\circ = \ctg1^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 1^\circ) = \ctg1^\circ \cdot \tg1^\circ = 1 $$ \ctg2^\circ \cdot \ctg88^\circ = \ctg2^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 2^\circ) = \ctg2^\circ \cdot \tg2^\circ = 1 $...$ \ctg44^\circ \cdot \ctg46^\circ = \ctg44^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 44^\circ) = \ctg44^\circ \cdot \tg44^\circ = 1 $Всего в произведении 89 множителей. Мы можем составить 44 пары, произведение в каждой из которых равно 1. В центре остается множитель $ \ctg45^\circ $.Так как $ \ctg45^\circ = 1 $, то всё выражение равно:$ (1)^{44} \cdot \ctg45^\circ = 1 \cdot 1 = 1 $.Ответ: 1

3) В выражении $ \tg1^\circ \cdot \tg3^\circ \cdot \ldots \cdot \tg87^\circ \cdot \tg89^\circ $ представлены тангенсы нечетных углов от 1 до 89. Количество множителей равно $ (89 - 1)/2 + 1 = 44 + 1 = 45 $. Так как количество множителей нечетное, будет один центральный элемент.Применим тот же метод группировки, используя тождество $ \tg\alpha \cdot \tg(90^\circ - \alpha) = 1 $.$ \tg1^\circ \cdot \tg89^\circ = 1 $$ \tg3^\circ \cdot \tg87^\circ = 1 $...Центральный угол можно найти как среднее арифметическое первого и последнего углов: $ (1^\circ + 89^\circ)/2 = 45^\circ $. Таким образом, центральный множитель - это $ \tg45^\circ $.Всего можно составить $ (45 - 1)/2 = 22 $ пары, произведение в каждой из которых равно 1.Выражение равно произведению 22 единиц и $ \tg45^\circ $.Так как $ \tg45^\circ = 1 $, то результат равен:$ (1)^{22} \cdot \tg45^\circ = 1 \cdot 1 = 1 $.Ответ: 1

4) В выражении $ \ctg2^\circ \cdot \ctg4^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg86^\circ \cdot \ctg88^\circ $ представлены котангенсы четных углов от 2 до 88. Количество множителей равно $ (88 - 2)/2 + 1 = 43 + 1 = 44 $. Так как количество множителей четное, все они разобьются на пары без остатка.Используем тождество $ \ctg\alpha \cdot \ctg(90^\circ - \alpha) = 1 $.$ \ctg2^\circ \cdot \ctg88^\circ = \ctg2^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 2^\circ) = \ctg2^\circ \cdot \tg2^\circ = 1 $$ \ctg4^\circ \cdot \ctg86^\circ = \ctg4^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 4^\circ) = \ctg4^\circ \cdot \tg4^\circ = 1 $...Всего 44 множителя, которые образуют $ 44/2 = 22 $ пары. Произведение в каждой паре равно 1.Следовательно, всё выражение равно:$ (1)^{22} = 1 $.Ответ: 1