Страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

4.16. 1) Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора одной кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий $35\%$ кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $36\%$ кислоты. Сколько килограммов кислоты находится в каждом растворе?

2) Имеются два сплава алюминия и платины с содержанием платины $11\%$ и $4\%$. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы их переплавить и получить сплав, содержащий $7\%$ платины?

1) Пусть $c_1$ и $c_2$ — концентрации кислоты (в долях) в первом и втором сосудах соответственно. Масса первого раствора $m_1 = 4$ кг, а второго $m_2 = 6$ кг. Тогда масса кислоты в первом растворе составляет $4c_1$ кг, а во втором — $6c_2$ кг.

Согласно первому условию, при смешивании 4 кг первого раствора и 6 кг второго получается раствор с концентрацией 35% (0.35). Общая масса смеси составляет $4 + 6 = 10$ кг, а общая масса кислоты в ней — $4c_1 + 6c_2$ кг. Составим уравнение, исходя из определения концентрации:
$\frac{4c_1 + 6c_2}{10} = 0.35$
Отсюда получаем первое уравнение: $4c_1 + 6c_2 = 3.5$.

Согласно второму условию, при смешивании равных масс этих растворов (например, по $m$ кг каждого) получается раствор с концентрацией 36% (0.36). Общая масса смеси будет $m + m = 2m$ кг, а масса кислоты в ней — $mc_1 + mc_2 = m(c_1 + c_2)$ кг. Составим второе уравнение:
$\frac{m(c_1 + c_2)}{2m} = 0.36$
$\frac{c_1 + c_2}{2} = 0.36$
Отсюда получаем: $c_1 + c_2 = 0.72$.

Теперь необходимо решить систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases}4c_1 + 6c_2 = 3.5 \\c_1 + c_2 = 0.72\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $c_1 = 0.72 - c_2$ и подставим это выражение в первое уравнение:
$4(0.72 - c_2) + 6c_2 = 3.5$
$2.88 - 4c_2 + 6c_2 = 3.5$
$2c_2 = 3.5 - 2.88$
$2c_2 = 0.62$
$c_2 = 0.31$

Теперь найдем $c_1$:
$c_1 = 0.72 - 0.31 = 0.41$.

Итак, концентрация кислоты в первом растворе — 41%, а во втором — 31%.
Найдем массу кислоты в каждом исходном растворе:
Масса кислоты в первом растворе: $4 \text{ кг} \times 0.41 = 1.64$ кг.
Масса кислоты во втором растворе: $6 \text{ кг} \times 0.31 = 1.86$ кг.

Ответ: в первом растворе содержится 1.64 кг кислоты, а во втором — 1.86 кг.

2) Пусть $m_1$ — масса первого сплава (с содержанием платины 11%), а $m_2$ — масса второго сплава (с содержанием платины 4%). Необходимо найти отношение $m_1 : m_2$, при котором новый сплав будет содержать 7% платины.

Выразим концентрации в долях: $c_1 = 0.11$, $c_2 = 0.04$, и требуемая концентрация нового сплава $c_{нов} = 0.07$.

Масса платины в $m_1$ кг первого сплава составляет $0.11 m_1$ кг.
Масса платины в $m_2$ кг второго сплава составляет $0.04 m_2$ кг.

При смешивании общая масса нового сплава будет $M = m_1 + m_2$, а общая масса платины в нем $P = 0.11 m_1 + 0.04 m_2$.
Концентрация платины в новом сплаве равна отношению массы платины к общей массе сплава:
$\frac{0.11 m_1 + 0.04 m_2}{m_1 + m_2} = 0.07$

Решим это уравнение, чтобы найти отношение $\frac{m_1}{m_2}$:
$0.11 m_1 + 0.04 m_2 = 0.07(m_1 + m_2)$
$0.11 m_1 + 0.04 m_2 = 0.07 m_1 + 0.07 m_2$
Сгруппируем члены с $m_1$ в левой части, а с $m_2$ — в правой:
$0.11 m_1 - 0.07 m_1 = 0.07 m_2 - 0.04 m_2$
$0.04 m_1 = 0.03 m_2$
Чтобы найти отношение $\frac{m_1}{m_2}$, разделим обе части на $m_2$ и на 0.04:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{0.03}{0.04} = \frac{3}{4}$

Таким образом, сплавы необходимо взять в массовом отношении $3:4$.

Ответ: сплавы нужно взять в отношении 3:4.

4.17. 1)

Имеются два разных сплава серебра. Первый массой в 25 кг содержит 84% серебра, второй массой в 12,5 кг содержит 72% серебра. Какой процент серебра находится в сплаве, полученном при их сплавлении?

2)

Имеются два разных сплава серебра. Первый массой в 12 кг содержит 75% серебра, второй массой в 10 кг содержит 20% серебра. Какой процент серебра находится в сплаве, полученном при их сплавлении?

1)Чтобы найти процентное содержание серебра в полученном сплаве, нужно вычислить общую массу чистого серебра и общую массу нового сплава, а затем найти их отношение.

Шаг 1: Найти массу серебра в первом сплаве.
Масса первого сплава $m_1 = 25$ кг.
Содержание серебра в нем $p_1 = 84\%$, что в долях составляет $0.84$.
Масса серебра в первом сплаве: $m_{Ag1} = m_1 \cdot p_1 = 25 \text{ кг} \cdot 0.84 = 21 \text{ кг}$.

Шаг 2: Найти массу серебра во втором сплаве.
Масса второго сплава $m_2 = 12,5$ кг.
Содержание серебра в нем $p_2 = 72\%$, что в долях составляет $0.72$.
Масса серебра во втором сплаве: $m_{Ag2} = m_2 \cdot p_2 = 12,5 \text{ кг} \cdot 0.72 = 9 \text{ кг}$.

Шаг 3: Найти общую массу нового сплава.
Общая масса сплава $M_{общ}$ равна сумме масс исходных сплавов:
$M_{общ} = m_1 + m_2 = 25 \text{ кг} + 12,5 \text{ кг} = 37,5 \text{ кг}$.

Шаг 4: Найти общую массу серебра в новом сплаве.
Общая масса серебра $M_{Ag}$ равна сумме масс серебра в исходных сплавах:
$M_{Ag} = m_{Ag1} + m_{Ag2} = 21 \text{ кг} + 9 \text{ кг} = 30 \text{ кг}$.

Шаг 5: Рассчитать процентное содержание серебра в новом сплаве.
Процентное содержание $P$ находится по формуле: $P = \frac{M_{Ag}}{M_{общ}} \cdot 100\%$.
$P = \frac{30 \text{ кг}}{37,5 \text{ кг}} \cdot 100\% = 0.8 \cdot 100\% = 80\%$.

Ответ: 80%.

2)Решение аналогично предыдущей задаче.

Шаг 1: Найти массу серебра в первом сплаве.
Масса первого сплава $m_1 = 12$ кг.
Содержание серебра в нем $p_1 = 75\%$, что в долях составляет $0.75$.
Масса серебра в первом сплаве: $m_{Ag1} = m_1 \cdot p_1 = 12 \text{ кг} \cdot 0.75 = 9 \text{ кг}$.

Шаг 2: Найти массу серебра во втором сплаве.
Масса второго сплава $m_2 = 10$ кг.
Содержание серебра в нем $p_2 = 20\%$, что в долях составляет $0.20$.
Масса серебра во втором сплаве: $m_{Ag2} = m_2 \cdot p_2 = 10 \text{ кг} \cdot 0.20 = 2 \text{ кг}$.

Шаг 3: Найти общую массу нового сплава.
Общая масса сплава $M_{общ}$ равна сумме масс исходных сплавов:
$M_{общ} = m_1 + m_2 = 12 \text{ кг} + 10 \text{ кг} = 22 \text{ кг}$.

Шаг 4: Найти общую массу серебра в новом сплаве.
Общая масса серебра $M_{Ag}$ равна сумме масс серебра в исходных сплавах:
$M_{Ag} = m_{Ag1} + m_{Ag2} = 9 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 11 \text{ кг}$.

Шаг 5: Рассчитать процентное содержание серебра в новом сплаве.
Процентное содержание $P$ находится по формуле: $P = \frac{M_{Ag}}{M_{общ}} \cdot 100\%$.
$P = \frac{11 \text{ кг}}{22 \text{ кг}} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$.

Ответ: 50%.

4.18. Положив в банк на депозит некоторую сумму, вкладчик получил через год 42 000 тг прибыли. Однако он не стал забирать деньги из банка и добавил к ним еще 58 000 тг. Через год на депозите стало 456 000 тг. Сколько тенге было положено в банк первоначально и какой годовой процент прибыли давал банк?

Введем переменные: пусть $S$ — это первоначальная сумма, которую вкладчик положил на депозит в тенге (тг), а $r$ — годовая процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби (например, для 15% $r = 0.15$).

За первый год прибыль вкладчика составила 42 000 тг. Эта прибыль является результатом начисления процентов на первоначальную сумму $S$. Это можно записать в виде уравнения:
$S \cdot r = 42000$ (1)

К концу первого года сумма на счете стала $S + 42000$ тг. Вкладчик не стал забирать деньги и добавил еще 58 000 тг. Таким образом, сумма на начало второго года составила:
$S_{2} = S + 42000 + 58000 = S + 100000$ тг.

В конце второго года на эту новую сумму $S_{2}$ были начислены проценты по той же ставке $r$, и итоговая сумма на депозите стала 456 000 тг. Составим второе уравнение, используя формулу сложных процентов $S_{final} = S_{initial} \cdot (1+r)$:
$(S + 100000) \cdot (1 + r) = 456000$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для ее решения выразим $S$ из первого уравнения: $S = \frac{42000}{r}$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$\left(\frac{42000}{r} + 100000\right) \cdot (1 + r) = 456000$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$\frac{42000}{r} \cdot 1 + \frac{42000}{r} \cdot r + 100000 \cdot 1 + 100000 \cdot r = 456000$
$\frac{42000}{r} + 42000 + 100000 + 100000r = 456000$
$\frac{42000}{r} + 100000r + 142000 = 456000$

Перенесем свободный член в правую часть и умножим все уравнение на $r$ (поскольку процентная ставка $r$ не может быть равна нулю):
$\frac{42000}{r} + 100000r = 314000$
$42000 + 100000r^2 = 314000r$

Запишем полученное уравнение как стандартное квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$:
$100000r^2 - 314000r + 42000 = 0$

Для упрощения расчетов сократим все коэффициенты уравнения на 2000:
$50r^2 - 157r + 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-157)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 21 = 24649 - 4200 = 20449$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{20449} = 143$.

Находим два возможных корня уравнения для $r$:
$r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{157 + 143}{2 \cdot 50} = \frac{300}{100} = 3$
$r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{157 - 143}{2 \cdot 50} = \frac{14}{100} = 0.14$

Первый корень $r_1 = 3$ соответствует процентной ставке 300% годовых, что является нереалистичным условием для банковского депозита. Поэтому мы выбираем второй корень $r_2 = 0.14$, что соответствует 14% годовых.

Теперь найдем первоначальную сумму вклада $S$, подставив значение $r = 0.14$ в уравнение (1):
$S = \frac{42000}{r} = \frac{42000}{0.14} = \frac{4200000}{14} = 300000$ тг.

Ответ: Первоначально было положено в банк 300 000 тг, а годовой процент прибыли, который давал банк, составлял 14%.

4.19. При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, второго — в 1,6 раза. После этого при одновременной их работе бассейн стал наполняться за 6 часов. Найдите время наполнения бассейна одним первым насосом до и после ремонта.

Примем весь объем бассейна за 1. Пусть $p_1$ и $p_2$ — это производительности (скорость наполнения) первого и второго насосов до ремонта соответственно, измеряемые в долях бассейна в час.

Из условия задачи известно, что при одновременной работе двух насосов бассейн наполняется за 8 часов. Это означает, что их суммарная производительность составляет $\frac{1}{8}$ бассейна в час. Мы можем записать первое уравнение:

$p_1 + p_2 = \frac{1}{8}$

После ремонта производительность первого насоса увеличилась в 1,2 раза, а второго — в 1,6 раза. Новые производительности насосов стали $1.2p_1$ и $1.6p_2$. При их совместной работе бассейн стал наполняться за 6 часов. Это означает, что их новая суммарная производительность равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час. Составим второе уравнение:

$1.2p_1 + 1.6p_2 = \frac{1}{6}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} p_1 + p_2 = \frac{1}{8} \\ 1.2p_1 + 1.6p_2 = \frac{1}{6} \end{cases}$

Для решения системы выразим $p_2$ из первого уравнения:

$p_2 = \frac{1}{8} - p_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.2p_1 + 1.6(\frac{1}{8} - p_1) = \frac{1}{6}$

Теперь решим это уравнение относительно $p_1$:

$1.2p_1 + \frac{1.6}{8} - 1.6p_1 = \frac{1}{6}$

$1.2p_1 + 0.2 - 1.6p_1 = \frac{1}{6}$

$-0.4p_1 = \frac{1}{6} - 0.2$

Представим 0.2 в виде дроби $\frac{1}{5}$:

$-0.4p_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{5}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 30:

$-0.4p_1 = \frac{5}{30} - \frac{6}{30}$

$-0.4p_1 = -\frac{1}{30}$

$0.4p_1 = \frac{1}{30}$

$\frac{4}{10}p_1 = \frac{1}{30}$

$p_1 = \frac{1}{30} \cdot \frac{10}{4} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}$

Таким образом, производительность первого насоса до ремонта составляла $\frac{1}{12}$ бассейна в час. Время $t_1$, за которое первый насос мог наполнить бассейн в одиночку до ремонта, является величиной, обратной производительности:

$t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/12} = 12$ часов.

Теперь найдем время наполнения бассейна первым насосом после ремонта. Его новая производительность $p'_1$ равна:

$p'_1 = 1.2 \cdot p_1 = 1.2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1.2}{12} = \frac{1}{10}$

Новая производительность составляет $\frac{1}{10}$ бассейна в час. Время $t'_1$, необходимое для наполнения бассейна после ремонта, равно:

$t'_1 = \frac{1}{p'_1} = \frac{1}{1/10} = 10$ часов.

Ответ: время наполнения бассейна одним первым насосом до ремонта составляет 12 часов, а после ремонта — 10 часов.

4.20. Два лыжника одновременно вышли со старта с постоянными скоростями по одному маршруту, причем скорость первого составляет $ \frac{7}{6} $ от скорости второго. Вслед за ними через 20 мин отправился третий лыжник, скорость которого 18 км/ч. Третий лыжник догнал второго лыжника на 30 мин раньше, чем первого. Найдите скорость первого и второго лыжников.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости первого и второго лыжников соответственно, измеряемые в км/ч. Скорость третьего лыжника $v_3 = 18$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость первого лыжника составляет $\frac{7}{6}$ от скорости второго, что можно записать в виде формулы: $v_1 = \frac{7}{6}v_2$.

Первые два лыжника стартовали одновременно, а третий – через 20 минут после них. Переведем это время в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$. Третий лыжник догнал второго на 30 минут раньше, чем первого. Эта разница во времени также должна быть переведена в часы: $30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч}$.

Рассмотрим момент, когда третий лыжник догоняет второго. Пусть $t$ – это время в часах, которое третий лыжник находился в пути до встречи со вторым. За это время третий лыжник прошел расстояние $S = v_3 \cdot t = 18t$. Второй лыжник к этому моменту был в пути на $\frac{1}{3}$ часа дольше, то есть его время в пути составило $(t + \frac{1}{3})$ часа. Пройденное им расстояние равно $S = v_2 \cdot (t + \frac{1}{3})$. Поскольку они встретились, пройденные ими расстояния равны. Составим первое уравнение:

$18t = v_2 \cdot (t + \frac{1}{3})$

Теперь рассмотрим момент, когда третий лыжник догоняет первого. Поскольку он догнал первого на $\frac{1}{2}$ часа позже, чем второго, время его движения до встречи с первым составит $(t + \frac{1}{2})$ часа. Пройденное им расстояние равно $S' = v_3 \cdot (t + \frac{1}{2}) = 18(t + \frac{1}{2})$. Первый лыжник к этому моменту находился в пути $(t + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = (t + \frac{5}{6})$ часа. Пройденное им расстояние равно $S' = v_1 \cdot (t + \frac{5}{6})$. Приравнивая расстояния, получаем второе уравнение:

$18(t + \frac{1}{2}) = v_1 \cdot (t + \frac{5}{6})$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными ($v_1$, $v_2$, $t$). Используем известное соотношение $v_1 = \frac{7}{6}v_2$, чтобы свести систему к двум уравнениям с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 18t = v_2(t + \frac{1}{3}) \\ 18(t + \frac{1}{2}) = \frac{7}{6}v_2(t + \frac{5}{6}) \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = \frac{18t}{t + \frac{1}{3}}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$18(t + \frac{1}{2}) = \frac{7}{6} \cdot \frac{18t}{t + \frac{1}{3}} \cdot (t + \frac{5}{6})$

Упростим полученное уравнение. Сократим $\frac{18}{6}$:

$18(t + \frac{1}{2}) = 7 \cdot 3 \cdot \frac{t(t + \frac{5}{6})}{t + \frac{1}{3}}$

$18(t + \frac{1}{2}) = 21 \frac{t(t + \frac{5}{6})}{t + \frac{1}{3}}$

Разделим обе части на 3 и умножим на знаменатель $(t + \frac{1}{3})$:

$6(t + \frac{1}{2})(t + \frac{1}{3}) = 7t(t + \frac{5}{6})$

Раскроем скобки:

$6(t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{1}{2}t + \frac{1}{6}) = 7t^2 + \frac{35}{6}t$

$6(t^2 + \frac{5}{6}t + \frac{1}{6}) = 7t^2 + \frac{35}{6}t$

$6t^2 + 5t + 1 = 7t^2 + \frac{35}{6}t$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$t^2 + (\frac{35}{6} - 5)t - 1 = 0$

$t^2 + \frac{5}{6}t - 1 = 0$

Умножим все члены на 6, чтобы избавиться от дроби:

$6t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

$t = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 \pm 13}{12}$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, выбираем положительный корень:

$t = \frac{-5 + 13}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ часа.

Теперь, зная время $t$, мы можем найти скорость второго лыжника $v_2$:

$v_2 = \frac{18t}{t + \frac{1}{3}} = \frac{18 \cdot \frac{2}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{12}{1} = 12$ км/ч.

Наконец, найдем скорость первого лыжника $v_1$:

$v_1 = \frac{7}{6}v_2 = \frac{7}{6} \cdot 12 = 7 \cdot 2 = 14$ км/ч.

Ответ: скорость первого лыжника – 14 км/ч, скорость второго лыжника – 12 км/ч.

23.15. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin(-\alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} - \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{1 + \sin\alpha};$

2) $\frac{\cos(2\pi - \alpha)}{\sin(-\alpha)} + \frac{\sin(2\pi - \alpha)}{1 + \cos(-\alpha)};$

3) $\text{tg}^2 (270^\circ + \alpha) \cdot \sin^2 (180^\circ + \alpha) + \text{tg}315^\circ;$

4) $\text{ctg}^2 (360^\circ - \alpha) \cdot \cos^2(270^\circ + \alpha) + \sin270^\circ.$

1)Упростим выражение $ \frac{\sin(-\alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} - \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{1 + \sin\alpha} $. Для этого воспользуемся формулами приведения и свойствами четности/нечетности тригонометрических функций:
$ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $ (синус — нечетная функция).
$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $ (угол во II четверти, косинус отрицательный).
$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $ (угол в III четверти, синус отрицательный, функция меняется на кофункцию).
Подставим упрощенные выражения в исходное:
$ \frac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} - \frac{-\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \cos\alpha(1 + \sin\alpha) $:
$ \frac{\sin\alpha(1 + \sin\alpha) + \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha(1 + \sin\alpha)} = \frac{\sin\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos\alpha(1 + \sin\alpha)} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получим:
$ \frac{\sin\alpha + 1}{\cos\alpha(1 + \sin\alpha)} $
Сократим дробь на $ (1 + \sin\alpha) $:
$ \frac{1}{\cos\alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{\cos\alpha} $.

2)Упростим выражение $ \frac{\cos(2\pi - \alpha)}{\sin(-\alpha)} + \frac{\sin(2\pi - \alpha)}{1 + \cos(-\alpha)} $.Применим формулы приведения и свойства четности/нечетности:
$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha $ (угол в IV четверти, косинус положительный).
$ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $ (синус — нечетная функция).
$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha $ (угол в IV четверти, синус отрицательный).
$ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $ (косинус — четная функция).
Подставим упрощенные выражения:
$ \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} + \frac{-\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} $
Приведем к общему знаменателю $ \sin\alpha(1 + \cos\alpha) $:
$ - \left( \frac{\cos\alpha(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} \right) = - \left( \frac{\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} \right) $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ - \left( \frac{\cos\alpha + 1}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} \right) $
Сократим дробь на $ (1 + \cos\alpha) $:
$ -\frac{1}{\sin\alpha} $
Ответ: $ -\frac{1}{\sin\alpha} $.

3)Упростим выражение $ \text{tg}^2(270^\circ + \alpha) \cdot \sin^2(180^\circ + \alpha) + \text{tg}315^\circ $.Упростим каждый член выражения:
$ \text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}\alpha $ (угол в IV четверти, тангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию). Тогда $ \text{tg}^2(270^\circ + \alpha) = (-\text{ctg}\alpha)^2 = \text{ctg}^2\alpha $.
$ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha $ (угол в III четверти, синус отрицательный). Тогда $ \sin^2(180^\circ + \alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha $.
$ \text{tg}315^\circ = \text{tg}(360^\circ - 45^\circ) = -\text{tg}45^\circ = -1 $.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \text{ctg}^2\alpha \cdot \sin^2\alpha - 1 $
Так как $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, то $ \text{ctg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} $.
$ \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha - 1 $
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $.
Ответ: $ -\sin^2\alpha $.

4)Упростим выражение $ \text{ctg}^2(360^\circ - \alpha) \cdot \cos^2(270^\circ + \alpha) + \sin270^\circ $.Упростим каждый член выражения:
$ \text{ctg}(360^\circ - \alpha) = -\text{ctg}\alpha $ (угол в IV четверти, котангенс отрицательный). Тогда $ \text{ctg}^2(360^\circ - \alpha) = (-\text{ctg}\alpha)^2 = \text{ctg}^2\alpha $.
$ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin\alpha $ (угол в IV четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию). Тогда $ \cos^2(270^\circ + \alpha) = \sin^2\alpha $.
$ \sin270^\circ = -1 $.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \text{ctg}^2\alpha \cdot \sin^2\alpha - 1 $
Заменим $ \text{ctg}^2\alpha $ на $ \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} $:
$ \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha - 1 $
Из основного тригонометрического тождества $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $.
Ответ: $ -\sin^2\alpha $.

23.16. Найдите числовое значение выражения:

1) $ \left(\sin 315^{\circ} - \cos 315^{\circ}\right)^2; $

2) $ \left(\sin 225^{\circ} - \cos 225^{\circ}\right)^2; $

3) $ \left(\sin 135^{\circ} + \cos 135^{\circ}\right)^2; $

4) $ \left(\sin 315^{\circ} + \cos 315^{\circ}\right)^2. $

1) $(\sin315^\circ - \cos315^\circ)^2$

Для решения можно использовать два способа.

Способ 1: Прямое вычисление.

Сначала найдем значения $\sin315^\circ$ и $\cos315^\circ$. Угол $315^\circ$ находится в IV четверти. Используем формулы приведения:

$\sin315^\circ = \sin(360^\circ - 45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos315^\circ = \cos(360^\circ - 45^\circ) = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$(\sin315^\circ - \cos315^\circ)^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$

Способ 2: Использование тригонометрических тождеств.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin315^\circ - \cos315^\circ)^2 = \sin^2 315^\circ - 2\sin315^\circ\cos315^\circ + \cos^2 315^\circ$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$(\sin^2 315^\circ + \cos^2 315^\circ) - 2\sin315^\circ\cos315^\circ = 1 - \sin(2 \cdot 315^\circ) = 1 - \sin(630^\circ)$

Вычислим значение $\sin(630^\circ)$. Так как период функции синус равен $360^\circ$, то:

$\sin(630^\circ) = \sin(360^\circ + 270^\circ) = \sin(270^\circ) = -1$

Подставим полученное значение:

$1 - \sin(630^\circ) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2

2) $(\sin225^\circ - \cos225^\circ)^2$

Способ 1: Прямое вычисление.

Угол $225^\circ$ находится в III четверти. Используем формулы приведения:

$\sin225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения в выражение:

$(\sin225^\circ - \cos225^\circ)^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}))^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0^2 = 0$

Способ 2: Использование тригонометрических тождеств.

$(\sin225^\circ - \cos225^\circ)^2 = \sin^2 225^\circ - 2\sin225^\circ\cos225^\circ + \cos^2 225^\circ$

$= (\sin^2 225^\circ + \cos^2 225^\circ) - 2\sin225^\circ\cos225^\circ = 1 - \sin(2 \cdot 225^\circ) = 1 - \sin(450^\circ)$

Вычислим значение $\sin(450^\circ)$:

$\sin(450^\circ) = \sin(360^\circ + 90^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

Подставим полученное значение:

$1 - \sin(450^\circ) = 1 - 1 = 0$

Ответ: 0

3) $(\sin135^\circ + \cos135^\circ)^2$

Способ 1: Прямое вычисление.

Угол $135^\circ$ находится во II четверти. Используем формулы приведения:

$\sin135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения в выражение:

$(\sin135^\circ + \cos135^\circ)^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}))^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0^2 = 0$

Способ 2: Использование тригонометрических тождеств.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin135^\circ + \cos135^\circ)^2 = \sin^2 135^\circ + 2\sin135^\circ\cos135^\circ + \cos^2 135^\circ$

$= (\sin^2 135^\circ + \cos^2 135^\circ) + 2\sin135^\circ\cos135^\circ = 1 + \sin(2 \cdot 135^\circ) = 1 + \sin(270^\circ)$

Мы знаем, что $\sin(270^\circ) = -1$.

Подставим полученное значение:

$1 + \sin(270^\circ) = 1 + (-1) = 0$

Ответ: 0

4) $(\sin315^\circ + \cos315^\circ)^2$

Способ 1: Прямое вычисление.

Из пункта 1 мы знаем, что $\sin315^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos315^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в выражение:

$(\sin315^\circ + \cos315^\circ)^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0^2 = 0$

Способ 2: Использование тригонометрических тождеств.

$(\sin315^\circ + \cos315^\circ)^2 = \sin^2 315^\circ + 2\sin315^\circ\cos315^\circ + \cos^2 315^\circ$

$= (\sin^2 315^\circ + \cos^2 315^\circ) + 2\sin315^\circ\cos315^\circ = 1 + \sin(2 \cdot 315^\circ) = 1 + \sin(630^\circ)$

Из пункта 1 мы знаем, что $\sin(630^\circ) = -1$.

Подставим полученное значение:

$1 + \sin(630^\circ) = 1 + (-1) = 0$

Ответ: 0

23.17. Докажите, что верна формула:

1) $sin(45^\circ + \alpha) = cos(45^\circ - \alpha);$

2) $cos(45^\circ + \alpha) = sin(45^\circ - \alpha);$

3) $tg(45^\circ + \alpha) = ctg(45^\circ - \alpha);$

4) $ctg(45^\circ + \alpha) = tg(45^\circ - \alpha);$

5) $sin(60^\circ - \alpha) = cos(30^\circ + \alpha);$

6) $ctg(80^\circ - \alpha) = tg(10^\circ - \alpha).$

Для доказательства данных формул будем использовать формулы приведения, которые связывают тригонометрические функции углов вида $90° \pm \alpha$ или $180° \pm \alpha$ с функциями угла $\alpha$. В данном случае наиболее полезными будут формулы для угла $90° - \beta$:

$sin(90° - \beta) = cos(\beta)$

$cos(90° - \beta) = sin(\beta)$

$tg(90° - \beta) = ctg(\beta)$

$ctg(90° - \beta) = tg(\beta)$

1) sin(45° + α) = cos(45° - α)

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения $cos(\beta) = sin(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 45° - \alpha$.

$cos(45° - \alpha) = sin(90° - (45° - \alpha)) = sin(90° - 45° + \alpha) = sin(45° + \alpha)$.

Правая часть равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) cos(45° + α) = sin(45° - α)

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу приведения $cos(\beta) = sin(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 45° + \alpha$.

$cos(45° + \alpha) = sin(90° - (45° + \alpha)) = sin(90° - 45° - \alpha) = sin(45° - \alpha)$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

3) tg(45° + α) = ctg(45° - α)

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения $ctg(\beta) = tg(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 45° - \alpha$.

$ctg(45° - \alpha) = tg(90° - (45° - \alpha)) = tg(90° - 45° + \alpha) = tg(45° + \alpha)$.

Правая часть равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

4) ctg(45° + α) = tg(45° - α)

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу приведения $ctg(\beta) = tg(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 45° + \alpha$.

$ctg(45° + \alpha) = tg(90° - (45° + \alpha)) = tg(90° - 45° - \alpha) = tg(45° - \alpha)$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

5) sin(60° - α) = cos(30° + α)

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу приведения $sin(\beta) = cos(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 60° - \alpha$.

$sin(60° - \alpha) = cos(90° - (60° - \alpha)) = cos(90° - 60° + \alpha) = cos(30° + \alpha)$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

6) ctg(80° - α) = tg(10° - α)

В условии этого пункта, вероятно, допущена опечатка. Проверим исходное равенство. Преобразуем левую часть по формуле приведения $ctg(\beta) = tg(90° - \beta)$, где $\beta = 80° - \alpha$.

$ctg(80° - \alpha) = tg(90° - (80° - \alpha)) = tg(90° - 80° + \alpha) = tg(10° + \alpha)$.

Исходное равенство превращается в $tg(10° + \alpha) = tg(10° - \alpha)$. Это равенство верно, только если $(10° + \alpha) - (10° - \alpha) = 180°k$ (где $k$ – целое число), то есть $2\alpha = 180°k$ или $\alpha = 90°k$. Поскольку это верно не для всех $\alpha$, исходная формула не является тождеством.

Скорее всего, правильная формула должна выглядеть так: $ctg(80° - \alpha) = tg(10° + \alpha)$. Докажем ее.

Как мы уже показали, левая часть равна:

$ctg(80° - \alpha) = tg(90° - (80° - \alpha)) = tg(10° + \alpha)$.

Таким образом, $tg(10° + \alpha) = tg(10° + \alpha)$.

Ответ: Формула в задании, скорее всего, содержит опечатку. Верная формула $ctg(80° - \alpha) = tg(10° + \alpha)$ доказана.

23.18. Докажите тождество:

1)

$\frac{\operatorname{tg}(\pi - x)}{\cos(\pi + x)} \cdot \frac{\sin(270^\circ + x)}{\operatorname{tg}(270^\circ + x)} = \operatorname{tg}^2x;$

2)

$\frac{\sin(\pi - x)}{\operatorname{tg}(\pi + x)} \cdot \frac{\operatorname{ctg}(270^\circ + x)}{\operatorname{ctg}(270^\circ + x)} \cdot \frac{\cos(2\pi - x)}{\sin x} = \sin x.$

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для этого воспользуемся формулами приведения. Напомним, что $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$.
Упростим каждый тригонометрический член выражения по отдельности:
$ \text{tg}(\pi - x) = -\text{tg}(x) $ (угол $(\pi - x)$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен; функция не меняется, так как прибавляется $\pi$).
$ \text{cos}(\pi + x) = -\text{cos}(x) $ (угол $(\pi + x)$ находится в III четверти, где косинус отрицателен; функция не меняется).
$ \text{sin}(270^\circ + x) = \text{sin}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{cos}(x) $ (угол $(\frac{3\pi}{2} + x)$ находится в IV четверти, где синус отрицателен; функция меняется на кофункцию, так как прибавляется $\frac{3\pi}{2}$).
$ \text{tg}(270^\circ + x) = \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{ctg}(x) $ (угол $(\frac{3\pi}{2} + x)$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен; функция меняется на кофункцию).
Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:
$ \frac{\text{tg}(\pi - x)}{\text{cos}(\pi + x)} \cdot \frac{\text{sin}(270^\circ + x)}{\text{tg}(270^\circ + x)} = \frac{-\text{tg}(x)}{-\text{cos}(x)} \cdot \frac{-\text{cos}(x)}{-\text{ctg}(x)} $
Сократим минусы и упростим полученное выражение:
$ \frac{\text{tg}(x)}{\text{cos}(x)} \cdot \frac{\text{cos}(x)}{\text{ctg}(x)} = \frac{\text{tg}(x) \cdot \text{cos}(x)}{\text{cos}(x) \cdot \text{ctg}(x)} $
Сократим $ \text{cos}(x) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{\text{tg}(x)}{\text{ctg}(x)} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)} $, получим:
$ \frac{\text{tg}(x)}{\frac{1}{\text{tg}(x)}} = \text{tg}(x) \cdot \text{tg}(x) = \text{tg}^2(x) $
Мы получили, что левая часть тождества равна правой: $ \text{tg}^2(x) = \text{tg}^2(x) $.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка, и выражение должно выглядеть следующим образом (в знаменателе второго сомножителя должен быть тангенс): $ \frac{\text{sin}(\pi - x)}{\text{tg}(\pi + x)} \cdot \frac{\text{ctg}(270^\circ + x)}{\text{tg}(270^\circ + x)} \cdot \frac{\text{cos}(2\pi - x)}{\text{sin}(x)} = \text{sin}(x) $. Докажем это исправленное тождество.
Воспользуемся формулами приведения для каждого члена выражения:
$ \text{sin}(\pi - x) = \text{sin}(x) $ (угол во II четверти, синус положителен, функция не меняется).
$ \text{tg}(\pi + x) = \text{tg}(x) $ (угол в III четверти, тангенс положителен, функция не меняется).
$ \text{ctg}(270^\circ + x) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{tg}(x) $ (угол в IV четверти, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$ \text{tg}(270^\circ + x) = \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{ctg}(x) $ (угол в IV четверти, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$ \text{cos}(2\pi - x) = \text{cos}(x) $ (угол в IV четверти, косинус положителен, функция не меняется).
Подставим упрощенные выражения в левую часть:
$ \frac{\text{sin}(x)}{\text{tg}(x)} \cdot \frac{-\text{tg}(x)}{-\text{ctg}(x)} \cdot \frac{\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)} $
Упростим выражение:
$ \frac{\text{sin}(x)}{\text{tg}(x)} \cdot \frac{\text{tg}(x)}{\text{ctg}(x)} \cdot \frac{\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)} $
Сократим $ \text{sin}(x) $ и $ \text{tg}(x) $:
$ \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\text{ctg}(x)} \cdot \frac{\text{cos}(x)}{1} = \frac{\text{cos}(x)}{\text{ctg}(x)} $
Используя определения тангенса и котангенса $ \text{ctg}(x) = \frac{\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)} $, получим:
$ \frac{\text{cos}(x)}{\frac{\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)}} = \text{cos}(x) \cdot \frac{\text{sin}(x)}{\text{cos}(x)} = \text{sin}(x) $
Мы получили, что левая часть тождества равна правой: $ \text{sin}(x) = \text{sin}(x) $.
Ответ: Тождество доказано (с учетом исправления опечатки в условии).

23.19. Упростите и найдите значение выражения:

1) $\mathrm{tg}(\pi - \alpha) - 2\mathrm{tg}(-\alpha)$ при $\alpha = -45^\circ$;

2) $\mathrm{ctg}(2\pi - \alpha) - 2\mathrm{tg}(-2\alpha)$ при $\alpha = 30^\circ$;

3) $\mathrm{cos}(3\pi - \alpha) - 4\mathrm{sin}(-\alpha)$ при $\alpha = -45^\circ$;

4) $\mathrm{cos}(3\pi - \alpha) - 3\mathrm{sin}(-\alpha)$ при $\alpha = -30^\circ$.

1) Сначала упростим выражение $tg(\pi - a) - 2tg(-a)$.

Используем формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

$tg(\pi - a) = -tg(a)$ (так как тангенс имеет период $\pi$ и отрицателен во второй четверти).

$tg(-a) = -tg(a)$ (так как тангенс — нечетная функция).

Подставляем эти выражения в исходное:

$-tg(a) - 2(-tg(a)) = -tg(a) + 2tg(a) = tg(a)$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения $tg(a)$ при $a = -45°$.

$tg(-45°) = -tg(45°) = -1$.

Ответ: -1

2) Сначала упростим выражение $ctg(2\pi - a) - 2tg(-2a)$.

Используем формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

$ctg(2\pi - a) = -ctg(a)$ (так как котангенс имеет период $\pi$, $ctg(2\pi - a) = ctg(-a)$, а котангенс — нечетная функция).

$tg(-2a) = -tg(2a)$ (так как тангенс — нечетная функция).

Подставляем эти выражения в исходное:

$-ctg(a) - 2(-tg(2a)) = -ctg(a) + 2tg(2a)$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = 30°$.

$-ctg(30°) + 2tg(2 \cdot 30°) = -ctg(30°) + 2tg(60°)$.

Зная, что $ctg(30°) = \sqrt{3}$ и $tg(60°) = \sqrt{3}$, получаем:

$-\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

3) Сначала упростим выражение $cos(3\pi - a) - 4sin(-a)$.

Используем формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

$cos(3\pi - a) = cos(2\pi + \pi - a) = cos(\pi - a) = -cos(a)$ (так как косинус имеет период $2\pi$ и отрицателен во второй четверти).

$sin(-a) = -sin(a)$ (так как синус — нечетная функция).

Подставляем эти выражения в исходное:

$-cos(a) - 4(-sin(a)) = -cos(a) + 4sin(a)$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = -45°$.

$-cos(-45°) + 4sin(-45°)$.

Используем свойства четности и нечетности: $cos(-45°) = cos(45°)$ и $sin(-45°) = -sin(45°)$.

$-cos(45°) + 4(-sin(45°)) = -cos(45°) - 4sin(45°)$.

Зная, что $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2} = \frac{-\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{5\sqrt{2}}{2}$

4) Сначала упростим выражение $cos(3\pi - a) - 3sin(-a)$.

Упрощение аналогично предыдущему пункту:

$cos(3\pi - a) = -cos(a)$.

$sin(-a) = -sin(a)$.

Подставляем в исходное выражение:

$-cos(a) - 3(-sin(a)) = -cos(a) + 3sin(a)$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = -30°$.

$-cos(-30°) + 3sin(-30°)$.

Используем свойства четности и нечетности: $cos(-30°) = cos(30°)$ и $sin(-30°) = -sin(30°)$.

$-cos(30°) + 3(-sin(30°)) = -cos(30°) - 3sin(30°)$.

Зная, что $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

23.20. Упростите выражение:

1) $\frac{(1 - \cos(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\sin(\pi - \alpha)};$

2) $\frac{(1 + \sin(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\cos(\pi - \alpha)};$

3) $\frac{\operatorname{tg}(\pi - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)};$

4) $\frac{\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) \cdot \sin(\pi + \alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}.$

1) Исходное выражение: $\frac{(1 - \cos(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\sin(\pi - \alpha)}$. Воспользуемся формулами приведения: $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$, так как косинус является четной функцией с периодом $2\pi$; $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$ из-за периодичности косинуса; и $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Подставив эти значения, получим: $\frac{(1 - \cos(\alpha)) \cdot (1 + \cos(\alpha))}{\sin(\alpha)}$. В числителе применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $\frac{1 - \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$. Выражение принимает вид: $\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. После сокращения на $\sin(\alpha)$ (при условии, что $\sin(\alpha) \ne 0$) получаем $\sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$.

2) Исходное выражение: $\frac{(1 + \sin(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\cos(\pi - \alpha)}$. Применим формулы приведения: $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$, так как синус является нечетной функцией; $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$; и $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Подставив эти значения, получим: $\frac{(1 + (-\sin(\alpha))) \cdot (1 + \cos(\alpha))}{-\cos(\alpha)} = \frac{(1 - \sin(\alpha)) \cdot (1 + \cos(\alpha))}{-\cos(\alpha)}$. Данное выражение не упрощается до более простого вида с помощью стандартных тождеств.
Ответ: $-\frac{(1 - \sin(\alpha))(1 + \cos(\alpha))}{\cos(\alpha)}$.

3) Исходное выражение: $\frac{\tg(\pi - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$. Используем формулы приведения: $\tg(\pi - \alpha) = -\tg(\alpha)$; $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$; и $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$. Подставим упрощенные функции в выражение: $\frac{-\tg(\alpha) \cdot (-\cos(\alpha))}{\cos(\alpha)}$. Упростим числитель, так как произведение двух отрицательных чисел положительно: $\frac{\tg(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Сократим дробь на $\cos(\alpha)$ (при условии, что $\cos(\alpha) \ne 0$): $\tg(\alpha)$.
Ответ: $\tg(\alpha)$.

4) Исходное выражение: $\frac{\text{ctg}(\pi + \alpha) \cdot \sin(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}$. Применим формулы приведения: $\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$, так как период котангенса равен $\pi$; $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$; и $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Подставим полученные значения в дробь: $\frac{\text{ctg}(\alpha) \cdot (-\sin(\alpha))}{-\cos(\alpha)}$. Сократим знаки минус в числителе и знаменателе: $\frac{\text{ctg}(\alpha) \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Заменим котангенс, используя определение $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$: $\frac{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. В числителе сокращается $\sin(\alpha)$, и выражение принимает вид: $\frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Сократив дробь (при условии, что $\cos(\alpha) \ne 0$ и $\sin(\alpha) \ne 0$), получаем 1.
Ответ: $1$.