Страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

4.25. Решите неравенство:

1) $ \frac{49 - x^2}{x + 2} > 0 $; 2) $ \frac{x}{4} - \frac{16}{x} < 0 $; 3) $ \frac{5}{2x} - \frac{3}{3 - x} < 0 $; 4) $ \frac{9 - x^2}{x^2 - 16} > 0 $.

1) Решим неравенство $ \frac{49 - x^2}{x + 2} > 0 $.

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ 49 - x^2 = 0 \implies (7 - x)(7 + x) = 0 \implies x_1 = 7, x_2 = -7 $.

Нули знаменателя: $ x + 2 = 0 \implies x_3 = -2 $.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($ > $), все точки будут выколотыми. Точки разбивают ось на четыре интервала: $ (-\infty; -7) $, $ (-7; -2) $, $ (-2; 7) $ и $ (7; +\infty) $.

Определим знак выражения $ f(x) = \frac{49 - x^2}{x + 2} $ на каждом интервале.

• При $ x > 7 $ (например, $ x=10 $): $ \frac{49-100}{10+2} = \frac{-}{+} < 0 $.
• При $ -2 < x < 7 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{49-0}{0+2} = \frac{+}{+} > 0 $.
• При $ -7 < x < -2 $ (например, $ x=-3 $): $ \frac{49-9}{-3+2} = \frac{+}{-} < 0 $.
• При $ x < -7 $ (например, $ x=-10 $): $ \frac{49-100}{-10+2} = \frac{-}{-} > 0 $.

Графическое представление решения:

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $ (-\infty; -7) $ и $ (-2; 7) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -7) \cup (-2; 7) $.

2) Решим неравенство $ \frac{x}{4} - \frac{16}{x} < 0 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ 4x $. Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq 0 $.

$ \frac{x \cdot x}{4x} - \frac{16 \cdot 4}{4x} < 0 $

$ \frac{x^2 - 64}{4x} < 0 $

$ \frac{(x-8)(x+8)}{4x} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (x-8)(x+8) = 0 \implies x_1 = 8, x_2 = -8 $.

Нули знаменателя: $ 4x = 0 \implies x_3 = 0 $.

Отметим точки -8, 0, 8 на числовой оси. Все точки выколотые. Они разбивают ось на интервалы $ (-\infty; -8) $, $ (-8; 0) $, $ (0; 8) $ и $ (8; +\infty) $.

Определим знак выражения $ g(x) = \frac{(x-8)(x+8)}{4x} $ на каждом интервале.

• При $ x > 8 $ (например, $ x=10 $): $ \frac{(+)(+)}{+} > 0 $.
• При $ 0 < x < 8 $ (например, $ x=1 $): $ \frac{(-)(+)}{+} < 0 $.
• При $ -8 < x < 0 $ (например, $ x=-1 $): $ \frac{(-)(+)}{-} > 0 $.
• При $ x < -8 $ (например, $ x=-10 $): $ \frac{(-)(-)}{-} < 0 $.

Графическое представление решения:

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $ (-\infty; -8) $ и $ (0; 8) $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -8) \cup (0; 8) $.

3) Решим неравенство $ \frac{5}{2x} - \frac{3}{3 - x} < 0 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ 2x(3-x) $. ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 3 $.

$ \frac{5(3-x) - 3(2x)}{2x(3-x)} < 0 $

$ \frac{15 - 5x - 6x}{2x(3-x)} < 0 $

$ \frac{15 - 11x}{2x(3-x)} < 0 $

Умножим неравенство на -1, чтобы сделать коэффициенты при $x$ положительными, и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{11x - 15}{2x(x-3)} > 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ 11x - 15 = 0 \implies x_1 = \frac{15}{11} $.

Нули знаменателя: $ 2x = 0 \implies x_2 = 0 $; $ x - 3 = 0 \implies x_3 = 3 $.

Отметим точки 0, $ \frac{15}{11} $, 3 на числовой оси. Все точки выколотые. Они разбивают ось на интервалы $ (-\infty; 0) $, $ (0; \frac{15}{11}) $, $ (\frac{15}{11}; 3) $ и $ (3; +\infty) $.

Определим знак выражения $ h(x) = \frac{11x - 15}{2x(x-3)} $ на каждом интервале.

• При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{(+)}{(+)(+)} > 0 $.
• При $ \frac{15}{11} < x < 3 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{(+)}{(+)(-)} < 0 $.
• При $ 0 < x < \frac{15}{11} $ (например, $ x=1 $): $ \frac{(-)}{(+)(-)} > 0 $.
• При $ x < 0 $ (например, $ x=-1 $): $ \frac{(-)}{(-)(-)} < 0 $.

Графическое представление решения:

Нам нужны интервалы, где выражение $ \frac{11x-15}{2x(x-3)} $ больше нуля (знак "+"), что соответствует интервалам, где исходное выражение $ \frac{15-11x}{2x(3-x)} $ меньше нуля. Это $ (0; \frac{15}{11}) $ и $ (3; +\infty) $.

Проверка: В первоначальном неравенстве $ \frac{15 - 11x}{2x(3-x)} < 0 $, знаки на интервалах $ (-\infty; 0), (0; \frac{15}{11}), (\frac{15}{11}, 3), (3, \infty) $ будут $ (+, -, +, -) $. Нам нужны интервалы со знаком "-". Это $ (0; \frac{15}{11}) $ и $ (3; +\infty) $. Ответ совпадает.
Да, моя SVG не совсем верна. Давайте я исправлю логику и SVG.
Исходное неравенство $ \frac{15 - 11x}{2x(3 - x)} < 0 $. Нули те же: $0, \frac{15}{11}, 3$.Проверим знаки для исходного выражения:

• При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{15-44}{8(3-4)} = \frac{-}{(-)} > 0 $. Знак +.
• При $ \frac{15}{11} < x < 3 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{15-22}{4(3-2)} = \frac{-}{(+)} < 0 $. Знак -.
• При $ 0 < x < \frac{15}{11} $ (например, $ x=1 $): $ \frac{15-11}{2(3-1)} = \frac{+}{(+)} > 0 $. Знак +.
• При $ x < 0 $ (например, $ x=-1 $): $ \frac{15+11}{-2(3+1)} = \frac{+}{(-)} < 0 $. Знак -.

Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{15}{11}; 3) $.

4) Решим неравенство $ \frac{9 - x^2}{x^2 - 16} > 0 $.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$ \frac{(3-x)(3+x)}{(x-4)(x+4)} > 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (3-x)(3+x) = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = -3 $.

Нули знаменателя: $ (x-4)(x+4) = 0 \implies x_3 = 4, x_4 = -4 $.

Отметим точки -4, -3, 3, 4 на числовой оси. Все точки выколотые. Они разбивают ось на пять интервалов: $ (-\infty; -4) $, $ (-4; -3) $, $ (-3; 3) $, $ (3; 4) $ и $ (4; +\infty) $.

Определим знак выражения $ k(x) = \frac{(3-x)(3+x)}{(x-4)(x+4)} $ на каждом интервале.

• При $ x > 4 $ (например, $ x=5 $): $ \frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0 $.
• При $ 3 < x < 4 $ (например, $ x=3.5 $): $ \frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0 $.
• При $ -3 < x < 3 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0 $.
• При $ -4 < x < -3 $ (например, $ x=-3.5 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)(-)} > 0 $.
• При $ x < -4 $ (например, $ x=-5 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0 $.

Графическое представление решения:

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $ (-4; -3) $ и $ (3; 4) $.

Ответ: $ x \in (-4; -3) \cup (3; 4) $.

4.26. Решите систему линейных неравенств:

1) $ \begin{cases} 3x - 2 \ge 5 - 6x, \\ |2x + 4| \ge 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 7x - 2,2 \ge 5,3 - 9x, \\ |x - 7,4| < 3. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 2 \ge 5 - 6x, \\ |2x + 4| \ge 3; \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:
$3x - 2 \ge 5 - 6x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$3x + 6x \ge 5 + 2$
$9x \ge 7$
$x \ge \frac{7}{9}$
Решение первого неравенства: $x \in [\frac{7}{9}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство с модулем:
$|2x + 4| \ge 3$
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$2x + 4 \ge 3$ или $2x + 4 \le -3$
Решим каждое из них:
1) $2x + 4 \ge 3 \implies 2x \ge 3 - 4 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{2}$
2) $2x + 4 \le -3 \implies 2x \le -3 - 4 \implies 2x \le -7 \implies x \le -\frac{7}{2}$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{7}{2}] \cup [-\frac{1}{2}; +\infty)$.

Для решения системы найдем пересечение полученных множеств решений: $x \ge \frac{7}{9}$ и ($x \le -\frac{7}{2}$ или $x \ge -\frac{1}{2}$).
Изобразим решения на числовой оси, отметив точки $-\frac{7}{2} = -3,5$, $-\frac{1}{2} = -0,5$ и $\frac{7}{9} \approx 0,78$.

Пересечение решений (показано штриховкой) — это промежуток, где $x \ge \frac{7}{9}$.
Ответ: $[\frac{7}{9}; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 7x - 2,2 \ge 5,3 - 9x, \\ |x - 7,4| < 3. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:
$7x - 2,2 \ge 5,3 - 9x$
$7x + 9x \ge 5,3 + 2,2$
$16x \ge 7,5$
$x \ge \frac{7,5}{16} = \frac{15/2}{16} = \frac{15}{32}$
Решение первого неравенства: $x \in [\frac{15}{32}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство с модулем:
$|x - 7,4| < 3$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-3 < x - 7,4 < 3$
Прибавим 7,4 ко всем частям неравенства:
$-3 + 7,4 < x < 3 + 7,4$
$4,4 < x < 10,4$
Решение второго неравенства: $x \in (4,4; 10,4)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge \frac{15}{32}$ и $4,4 < x < 10,4$.
Заметим, что $\frac{15}{32} = 0,46875$. Так как $0,46875 < 4,4$, то общее решение будет $4,4 < x < 10,4$.
Изобразим решения на числовой оси.

Пересечением решений (показано штриховкой) является интервал от 4,4 до 10,4, не включая концы.
Ответ: $(4,4; 10,4)$.

4.27. Постройте график и найдите промежутки знакопостоянства функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = -0,5x^2 + 2;$

2) $f(x) = -2x^2 + 4x;$

3) $f(x) = x^2 + 6x + 9;$

4) $f(x) = x^2 - 5x - 10.$

1) $f(x) = -0,5x^2 + 2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-0,5$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-0,5)} = 0$

$y_0 = f(x_0) = f(0) = -0,5 \cdot 0^2 + 2 = 2$

Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью абсцисс $Ox$), решив уравнение $f(x)=0$:

$-0,5x^2 + 2 = 0$

$0,5x^2 = 2$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$

Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

Построим график функции:

Промежутки знакопостоянства определяем по графику. Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси $Ox$. Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$.

$f(x) > 0$ при $x \in (-2; 2)$.

$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-2; 2)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) $f(x) = -2x^2 + 4x$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$

$y_0 = f(x_0) = f(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = 2$

Вершина параболы находится в точке $(1; 2)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$), решив уравнение $f(x)=0$:

$-2x^2 + 4x = 0$

$-2x(x - 2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$

Точки пересечения с осью $Ox$: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

Построим график функции:

Из графика видно, что:

$f(x) > 0$ при $x \in (0; 2)$.

$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; 2)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

3) $f(x) = x^2 + 6x + 9$

Это квадратичная функция. Выражение $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$. Таким образом, $f(x) = (x+3)^2$.

График — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

$y_0 = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$

Вершина параболы находится в точке $(-3; 0)$.

Найдем нули функции: $f(x)=0 \implies (x+3)^2=0 \implies x=-3$.

Парабола касается оси $Ox$ в своей вершине. Точка пересечения (касания) с осью $Ox$: $(-3; 0)$.

Точка пересечения с осью $Oy$: $f(0) = 0^2 + 6 \cdot 0 + 9 = 9$. Точка $(0; 9)$.

Построим график функции:

Функция $f(x) = (x+3)^2$ равна нулю при $x=-3$ и положительна при всех остальных значениях $x$.

$f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Не существует значений $x$, при которых $f(x) < 0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$; нет значений $x$, при которых $f(x) < 0$.

4) $f(x) = x^2 - 5x - 10$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2,5$

$y_0 = f(2,5) = (2,5)^2 - 5 \cdot 2,5 - 10 = 6,25 - 12,5 - 10 = -16,25$

Вершина параболы находится в точке $(2,5; -16,25)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 5x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 25 + 40 = 65$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{2}$

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{65}}{2} \approx \frac{5 - 8,06}{2} \approx -1,53$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \approx \frac{5 + 8,06}{2} \approx 6,53$

Точки пересечения с осью $Ox$: $(\frac{5 - \sqrt{65}}{2}; 0)$ и $(\frac{5 + \sqrt{65}}{2}; 0)$.

Построим график функции:

Из графика видно, что:

$f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{65}}{2}; +\infty)$.

$f(x) < 0$ при $x \in (\frac{5 - \sqrt{65}}{2}; \frac{5 + \sqrt{65}}{2})$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{65}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{65}}{2}; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (\frac{5 - \sqrt{65}}{2}; \frac{5 + \sqrt{65}}{2})$.

4.28. В одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите число точек пересечения их графиков:

1) $y = x^3$ и $y = x^2 - 2x;$

2) $y = 2x - 3$ и $y = -x^2 - 3x;$

3) $y = |x + 1|$ и $y = x^2 + 4x + 3;$

4) $y = |x - 1|$ и $y = |x^2 - 4x + 3|.$

1)Рассмотрим функции $y = x^3$ и $y = x^2 - 2x$.
Первая функция, $y = x^3$, — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.
Вторая функция, $y = x^2 - 2x$, — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_в = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_в = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$. Корни уравнения $x^2 - 2x = 0$ — это $x(x-2)=0$, то есть $x=0$ и $x=2$.
Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для $y$:
$x^3 = x^2 - 2x$
$x^3 - x^2 + 2x = 0$
$x(x^2 - x + 2) = 0$
Одно решение — $x_1 = 0$.
Для квадратного уравнения $x^2 - x + 2 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Следовательно, существует только одна точка пересечения. Найдем ее ординату: при $x=0$, $y=0^3=0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: 1 точка пересечения.

2)Рассмотрим функции $y = 2x - 3$ и $y = -x^2 - 3x$.
Первая функция, $y = 2x - 3$, — это прямая линия.
Вторая функция, $y = -x^2 - 3x$, — это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину: $x_в = -b/(2a) = -(-3)/(2 \cdot (-1)) = -1.5$. $y_в = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Вершина находится в точке $(-1.5, 2.25)$.
Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для $y$:
$2x - 3 = -x^2 - 3x$
$x^2 + 5x - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$.
Поскольку существует два различных значения $x$, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 точки пересечения.

3)Рассмотрим функции $y = |x + 1|$ и $y = x^2 + 4x + 3$.
Первая функция, $y = |x + 1|$, — это график модуля, "галочка" с вершиной в точке $(-1, 0)$.
Вторая функция, $y = x^2 + 4x + 3$, — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_в = -4/(2 \cdot 1) = -2$. $y_в = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(-2, -1)$.
Для нахождения точек пересечения рассмотрим два случая, раскрывая модуль.
Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
$x + 1 = x^2 + 4x + 3$
$x^2 + 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Условию $x \ge -1$ удовлетворяет только $x = -1$. При $x = -1$, $y = |-1 + 1| = 0$. Точка пересечения $(-1, 0)$.
Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.
$-(x + 1) = x^2 + 4x + 3$
$-x - 1 = x^2 + 4x + 3$
$x^2 + 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = -1$, $x_4 = -4$. Условию $x < -1$ удовлетворяет только $x = -4$. При $x = -4$, $y = |-4 + 1| = 3$. Точка пересечения $(-4, 3)$.
Всего две точки пересечения.

Ответ: 2 точки пересечения.

4)Рассмотрим функции $y = |x - 1|$ и $y = |x^2 - 4x + 3|$.
Первая функция $y = |x - 1|$ — "галочка" с вершиной в точке $(1, 0)$.
Вторая функция $y = |x^2 - 4x + 3|$. Сначала рассмотрим параболу $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Ее корни находятся из уравнения $(x-1)(x-3)=0$, то есть $x=1$ и $x=3$. Ветви вверх. Вершина в $x_в=2$, $y_в=2^2-4(2)+3=-1$. График $y=|f(x)|$ получается отражением отрицательной части параболы (между $x=1$ и $x=3$) относительно оси Ox.
Для нахождения точек пересечения решим уравнение $|x - 1| = |(x-1)(x-3)|$.
Одна из точек пересечения очевидна: при $x = 1$ обе части равны нулю. Точка $(1, 0)$ — первая точка пересечения.
Если $x \neq 1$, можно разделить обе части на $|x - 1|$:
$1 = |x - 3|$
Это уравнение распадается на два:
1) $x - 3 = 1 \implies x = 4$. При $x=4$, $y = |4-1|=3$. Точка $(4, 3)$ — вторая точка пересечения.
2) $x - 3 = -1 \implies x = 2$. При $x=2$, $y = |2-1|=1$. Точка $(2, 1)$ — третья точка пересечения.
Всего три точки пересечения.

Ответ: 3 точки пересечения.

4.29. Постройте окружность, заданную уравнением. Установите, находится ли точка M(-1; 2) внутри круга, ограниченного этой окружностью:

1) $x^2 + y^2 = 9;$

2) $x^2 + 2x + y^2 = 8;$

3) $x^2 - 2x + y^2 = 24;$

4) $x^2 + y^2 - 2y = 15.$

1) $x^2 + y^2 = 9$

Для построения окружности определим ее центр и радиус. Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ уже представлено в каноническом виде, что эквивалентно $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$. Отсюда следует, что центр окружности находится в точке $O(0; 0)$, а ее радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ниже представлен график окружности и точка M.

Чтобы установить, находится ли точка $M(-1; 2)$ внутри круга, нужно проверить, выполняется ли неравенство $(x_M - x_0)^2 + (y_M - y_0)^2 < R^2$. Подставим координаты точки $M$ и параметры окружности: $(-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 = (-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Сравним результат с квадратом радиуса: $5 < 9$. Так как неравенство верно, точка $M$ находится внутри круга.

Ответ: Окружность с центром в $O(0; 0)$ и радиусом $R=3$. Точка $M(-1; 2)$ находится внутри круга.

2) $x^2 + 2x + y^2 = 8$

Приведем уравнение к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, выделив полный квадрат для переменной $x$: $x^2 + 2x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x+1)^2 - 1$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $(x+1)^2 - 1 + y^2 = 8$ $(x+1)^2 + y^2 = 9$ $(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.

Отсюда центр окружности находится в точке $O(-1; 0)$, а радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ниже представлен график окружности и точка M.

Проверим положение точки $M(-1; 2)$. Подставим ее координаты в левую часть канонического уравнения: $(-1 - (-1))^2 + (2 - 0)^2 = (-1+1)^2 + 2^2 = 0^2 + 4 = 4$.

Сравним результат с квадратом радиуса: $4 < 9$. Неравенство верно, значит, точка $M$ находится внутри круга.

Ответ: Окружность с центром в $O(-1; 0)$ и радиусом $R=3$. Точка $M(-1; 2)$ находится внутри круга.

3) $x^2 - 2x + y^2 = 24$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полный квадрат для переменной $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x-1)^2 - 1$.

Подставим в исходное уравнение: $(x-1)^2 - 1 + y^2 = 24$ $(x-1)^2 + y^2 = 25$ $(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$.

Центр окружности находится в точке $O(1; 0)$, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.

Ниже представлен график окружности и точка M.

Проверим положение точки $M(-1; 2)$. Подставим ее координаты в левую часть канонического уравнения: $(-1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 = (-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

Сравним результат с квадратом радиуса: $8 < 25$. Неравенство верно, значит, точка $M$ находится внутри круга.

Ответ: Окружность с центром в $O(1; 0)$ и радиусом $R=5$. Точка $M(-1; 2)$ находится внутри круга.

4) $x^2 + y^2 - 2y = 15$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полный квадрат для переменной $y$: $y^2 - 2y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y-1)^2 - 1$.

Подставим в исходное уравнение: $x^2 + (y-1)^2 - 1 = 15$ $x^2 + (y-1)^2 = 16$ $(x - 0)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$.

Центр окружности находится в точке $O(0; 1)$, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ниже представлен график окружности и точка M.

Проверим положение точки $M(-1; 2)$. Подставим ее координаты в левую часть канонического уравнения: $(-1 - 0)^2 + (2 - 1)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

Сравним результат с квадратом радиуса: $2 < 16$. Неравенство верно, значит, точка $M$ находится внутри круга.

Ответ: Окружность с центром в $O(0; 1)$ и радиусом $R=4$. Точка $M(-1; 2)$ находится внутри круга.

23.26. Докажите тождество:

1) $ \text{ctg}^3 \alpha \cdot \text{tg} \alpha + \text{tg}^3 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha + 2 = (\text{tg}(\pi + \alpha) + \text{ctg}(2\pi + \alpha))^2; $

2) $ \text{sin}^3 \alpha \cdot (1 + \text{tg} \alpha) + \text{cos}^3 \alpha \cdot (1 + \text{ctg} \alpha) = \text{sin}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + \text{cos}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right); $

3) $ \text{ctg}^2 (3\pi + \beta) + \text{sin}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) \cdot \frac{1}{\text{cos} \beta} = \frac{1}{\text{sin}^2 \beta}. $

1) Для доказательства тождества преобразуем обе его части.

Сначала упростим левую часть:

$ \text{ctg}^3\alpha \cdot \text{tg}\alpha + \text{tg}^3\alpha \cdot \text{ctg}\alpha + 2 $

Используя тождество $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $, получаем:

$ \text{ctg}^2\alpha \cdot (\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha) + \text{tg}^2\alpha \cdot (\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha) + 2 = \text{ctg}^2\alpha \cdot 1 + \text{tg}^2\alpha \cdot 1 + 2 = \text{ctg}^2\alpha + \text{tg}^2\alpha + 2 $.

Теперь упростим правую часть, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций:

$ (\text{tg}(\pi + \alpha) + \text{ctg}(2\pi + \alpha))^2 $

Поскольку $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha $ и $ \text{ctg}(2\pi + \alpha) = \text{ctg}\alpha $, выражение принимает вид:

$ (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 $

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

$ (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 = \text{tg}^2\alpha + 2 \cdot \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha + \text{ctg}^2\alpha $

Снова используя $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $, получаем:

$ \text{tg}^2\alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2\alpha = \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha + 2 $.

Левая часть равна $ \text{ctg}^2\alpha + \text{tg}^2\alpha + 2 $, и правая часть равна $ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha + 2 $.

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем обе его части. Вероятно, в условии левой части имеется опечатка, и она должна выглядеть как $ \sin^3\alpha(1+\text{ctg}\alpha) + \cos^3\alpha(1+\text{tg}\alpha) $. Докажем тождество для этого исправленного выражения.

Упростим левую часть:

$ \sin^3\alpha(1+\text{ctg}\alpha) + \cos^3\alpha(1+\text{tg}\alpha) $

Заменим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \sin^3\alpha \left(1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) + \cos^3\alpha \left(1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right) = \sin^3\alpha \left(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}\right) + \cos^3\alpha \left(\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}\right) $

Сократим $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $:

$ \sin^2\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) + \cos^2\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) $

Вынесем общий множитель $ (\sin\alpha + \cos\alpha) $ за скобки:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha) \cdot 1 = \sin\alpha + \cos\alpha $.

Теперь упростим правую часть, используя формулы приведения:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha $

$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha $

Следовательно, правая часть равна:

$ \cos\alpha + \sin\alpha $.

Левая часть равна $ \sin\alpha + \cos\alpha $, и правая часть равна $ \sin\alpha + \cos\alpha $.

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано (с учётом исправления опечатки в условии).

3) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

$ \text{ctg}^2(3\pi + \beta) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) \cdot \frac{1}{\cos\beta} $

Используем формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

Для первого слагаемого, учитывая, что период котангенса равен $ \pi $, имеем:

$ \text{ctg}(3\pi + \beta) = \text{ctg}(\pi + \beta) = \text{ctg}\beta $.

Следовательно, $ \text{ctg}^2(3\pi + \beta) = \text{ctg}^2\beta $.

Для второго слагаемого используем формулу приведения:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \cos\beta $.

Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$ \text{ctg}^2\beta + \cos\beta \cdot \frac{1}{\cos\beta} $

При условии, что $ \cos\beta \neq 0 $, второе слагаемое равно 1:

$ \text{ctg}^2\beta + 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 + \text{ctg}^2\beta = \frac{1}{\sin^2\beta} $.

Таким образом, левая часть равна $ \frac{1}{\sin^2\beta} $.

Правая часть тождества также равна $ \frac{1}{\sin^2\beta} $.

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

23.27. Вычислите:

1) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ;$

2) $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 60^\circ + \dots + \tan 160^\circ + \tan 180^\circ;$

3) $\cot 15^\circ + \cot 30^\circ + \cot 45^\circ + \dots + \cot 150^\circ + \cot 165^\circ.$

1)

Рассмотрим сумму $S = \cos20^\circ + \cos40^\circ + \cos60^\circ + \dots + \cos160^\circ + \cos180^\circ$.

Углы в данной сумме образуют арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и шагом $20^\circ$. Полный список слагаемых выглядит так:

$S = \cos20^\circ + \cos40^\circ + \cos60^\circ + \cos80^\circ + \cos100^\circ + \cos120^\circ + \cos140^\circ + \cos160^\circ + \cos180^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. С ее помощью можно сгруппировать слагаемые попарно:

$\cos160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos20^\circ$

$\cos140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos40^\circ$

$\cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ$

$\cos100^\circ = \cos(180^\circ - 80^\circ) = -\cos80^\circ$

Теперь перепишем исходную сумму, сгруппировав слагаемые. Член $\cos180^\circ$ остается без пары.

$S = (\cos20^\circ + \cos160^\circ) + (\cos40^\circ + \cos140^\circ) + (\cos60^\circ + \cos120^\circ) + (\cos80^\circ + \cos100^\circ) + \cos180^\circ$

Подставим значения из формул приведения:

$S = (\cos20^\circ - \cos20^\circ) + (\cos40^\circ - \cos40^\circ) + (\cos60^\circ - \cos60^\circ) + (\cos80^\circ - \cos80^\circ) + \cos180^\circ$

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + \cos180^\circ = \cos180^\circ$

Так как значение $\cos180^\circ = -1$, то итоговая сумма равна $-1$.

Ответ: $-1$

2)

Рассмотрим сумму $S = \operatorname{tg}20^\circ + \operatorname{tg}40^\circ + \operatorname{tg}60^\circ + \dots + \operatorname{tg}160^\circ + \operatorname{tg}180^\circ$.

Полный список слагаемых в этой сумме:

$S = \operatorname{tg}20^\circ + \operatorname{tg}40^\circ + \operatorname{tg}60^\circ + \operatorname{tg}80^\circ + \operatorname{tg}100^\circ + \operatorname{tg}120^\circ + \operatorname{tg}140^\circ + \operatorname{tg}160^\circ + \operatorname{tg}180^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые попарно:

$\operatorname{tg}160^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 20^\circ) = -\operatorname{tg}20^\circ$

$\operatorname{tg}140^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 40^\circ) = -\operatorname{tg}40^\circ$

...и так далее.

Перепишем сумму с учетом группировки. Член $\operatorname{tg}180^\circ$ остается без пары.

$S = (\operatorname{tg}20^\circ + \operatorname{tg}160^\circ) + (\operatorname{tg}40^\circ + \operatorname{tg}140^\circ) + (\operatorname{tg}60^\circ + \operatorname{tg}120^\circ) + (\operatorname{tg}80^\circ + \operatorname{tg}100^\circ) + \operatorname{tg}180^\circ$

Подставив значения из формул приведения, получим:

$S = (\operatorname{tg}20^\circ - \operatorname{tg}20^\circ) + (\operatorname{tg}40^\circ - \operatorname{tg}40^\circ) + (\operatorname{tg}60^\circ - \operatorname{tg}60^\circ) + (\operatorname{tg}80^\circ - \operatorname{tg}80^\circ) + \operatorname{tg}180^\circ$

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + \operatorname{tg}180^\circ = \operatorname{tg}180^\circ$

Так как значение $\operatorname{tg}180^\circ = 0$, то итоговая сумма равна $0$.

Ответ: $0$

3)

Рассмотрим сумму $S = \operatorname{ctg}15^\circ + \operatorname{ctg}30^\circ + \operatorname{ctg}45^\circ + \dots + \operatorname{ctg}150^\circ + \operatorname{ctg}165^\circ$.

Углы в данной сумме образуют арифметическую прогрессию с шагом $15^\circ$. Полный список слагаемых (всего 11 членов):

$S = \operatorname{ctg}15^\circ + \operatorname{ctg}30^\circ + \operatorname{ctg}45^\circ + \operatorname{ctg}60^\circ + \operatorname{ctg}75^\circ + \operatorname{ctg}90^\circ + \operatorname{ctg}105^\circ + \operatorname{ctg}120^\circ + \operatorname{ctg}135^\circ + \operatorname{ctg}150^\circ + \operatorname{ctg}165^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые попарно. Например, $\operatorname{ctg}165^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 15^\circ) = -\operatorname{ctg}15^\circ$.

Центральным членом суммы, который не имеет пары, является $\operatorname{ctg}90^\circ$. Перепишем сумму:

$S = (\operatorname{ctg}15^\circ + \operatorname{ctg}165^\circ) + (\operatorname{ctg}30^\circ + \operatorname{ctg}150^\circ) + (\operatorname{ctg}45^\circ + \operatorname{ctg}135^\circ) + (\operatorname{ctg}60^\circ + \operatorname{ctg}120^\circ) + (\operatorname{ctg}75^\circ + \operatorname{ctg}105^\circ) + \operatorname{ctg}90^\circ$

После подстановки значений из формул приведения:

$S = (\operatorname{ctg}15^\circ - \operatorname{ctg}15^\circ) + (\operatorname{ctg}30^\circ - \operatorname{ctg}30^\circ) + (\operatorname{ctg}45^\circ - \operatorname{ctg}45^\circ) + (\operatorname{ctg}60^\circ - \operatorname{ctg}60^\circ) + (\operatorname{ctg}75^\circ - \operatorname{ctg}75^\circ) + \operatorname{ctg}90^\circ$

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + \operatorname{ctg}90^\circ = \operatorname{ctg}90^\circ$

Так как значение $\operatorname{ctg}90^\circ = 0$, то итоговая сумма равна $0$.

Ответ: $0$

23.28. Известно, что $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Вычислите:

1) $\sin\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$, если $\cos\alpha = -0,8$;

2) $\cos\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$, если $\sin\alpha = 0,6$;

3) $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, если $\text{tg}\alpha = -4$;

4) $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, если $\text{ctg}\alpha = -6$.

1) Дано: $cos \alpha = -0,8$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Так как угол $\alpha$ принадлежит второй координатной четверти, его синус должен быть положительным ($sin \alpha > 0$), а котангенс – отрицательным ($ctg \alpha < 0$). Для нахождения $sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$. Поскольку $sin \alpha > 0$, выбираем положительное значение корня: $sin \alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$. Теперь найдем котангенс по формуле $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$. $ctg \alpha = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $sin \alpha = 0,6$; $ctg \alpha = -\frac{4}{3}$.

2) Дано: $sin \alpha = 0,6$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус и котангенс должны быть отрицательными ($cos \alpha < 0$, $ctg \alpha < 0$). Для нахождения $cos \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$. Поскольку $cos \alpha < 0$, выбираем отрицательное значение корня: $cos \alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8$. Найдем котангенс по формуле $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$. $ctg \alpha = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $cos \alpha = -0,8$; $ctg \alpha = -\frac{4}{3}$.

3) Дано: $tg \alpha = -4$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Во второй четверти синус положителен ($sin \alpha > 0$), а косинус отрицателен ($cos \alpha < 0$). Для нахождения $cos \alpha$ используем тождество $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$. $\frac{1}{cos^2\alpha} = 1 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$. Отсюда $cos^2\alpha = \frac{1}{17}$. Так как $cos \alpha < 0$, получаем $cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$. Теперь найдем синус из соотношения $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$, откуда $sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha$. $sin \alpha = (-4) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$.

Ответ: $sin \alpha = \frac{4\sqrt{17}}{17}$; $cos \alpha = -\frac{\sqrt{17}}{17}$.

4) Дано: $ctg \alpha = -6$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Во второй четверти синус положителен ($sin \alpha > 0$), а косинус отрицателен ($cos \alpha < 0$). Для нахождения $sin \alpha$ используем тождество $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$. $\frac{1}{sin^2\alpha} = 1 + (-6)^2 = 1 + 36 = 37$. Отсюда $sin^2\alpha = \frac{1}{37}$. Так как $sin \alpha > 0$, получаем $sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{37}} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$. Теперь найдем косинус из соотношения $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$, откуда $cos \alpha = ctg \alpha \cdot sin \alpha$. $cos \alpha = (-6) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{37}}\right) = -\frac{6}{\sqrt{37}} = -\frac{6\sqrt{37}}{37}$.

Ответ: $sin \alpha = \frac{\sqrt{37}}{37}$; $cos \alpha = -\frac{6\sqrt{37}}{37}$.

23.29. Постройте график функции:

1) $y = 3x^2 - 2|x|;$

2) $y = -x^2 - 2|x|;$

3) $y = x^2 - 2|x - 1|;$

4) $y = x^2 - |x + 2|.$

1) Построить график функции $y = 3x^2 - 2|x|$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = 3(-x)^2 - 2|-x| = 3x^2 - 2|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси OY.

Раскроем модуль для $x \ge 0$:
При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 3x^2 - 2x$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.
$y_v = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.
Найдем нули функции на этом участке: $3x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(3x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=\frac{2}{3}$.

Для $x < 0$ из-за симметрии функция будет иметь вид $y = 3x^2 + 2x$. Вершина этой параболы находится в точке $(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$, а нули в точках $x=0$ и $x=-\frac{2}{3}$.

Объединяя две части, получаем график, состоящий из двух ветвей парабол, соединенных в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции построен.

2) Построить график функции $y = -x^2 - 2|x|$.

Эта функция также является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 - 2|-x| = -x^2 - 2|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Построим его для $x \ge 0$ и отразим.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = -x^2 - 2x$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.
Эта вершина не попадает в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$. На этом промежутке функция монотонно убывает.
Найдем значение в точке $x=0$: $y(0) = 0$.

Для $x < 0$ из-за симметрии функция будет иметь вид $y = -x^2 + 2x$. Вершина этой параболы находится в точке $x_v=1$, что также не входит в промежуток $x < 0$. На этом промежутке функция монотонно возрастает.

Максимальное значение функция достигает в точке $(0, 0)$. График состоит из двух симметричных дуг парабол.

Ответ: График функции построен.

3) Построить график функции $y = x^2 - 2|x - 1|$.

В этой функции модуль содержит выражение $x-1$. Раскроем его, рассмотрев два случая. Точка "переключения" - $x=1$.

Случай 1: $x \ge 1$.
В этом случае $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 2(x - 1) = x^2 - 2x + 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$.
Вершина находится в точке $(1, 1)$, которая является начальной точкой для этого участка графика.

Случай 2: $x < 1$.
В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 2(1-x) = x^2 + 2x - 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$.
Вершина находится в точке $(-1, -3)$. Эта точка является локальным минимумом всей функции.

График состоит из двух частей парабол, состыкованных в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции построен.

4) Построить график функции $y = x^2 - |x + 2|$.

Раскроем модуль, который зависит от выражения $x+2$. Точка "переключения" - $x=-2$.

Случай 1: $x \ge -2$.
В этом случае $|x+2| = x+2$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - (x+2) = x^2 - x - 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.
$y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25$.
Вершина находится в точке $(\frac{1}{2}, -2.25)$, которая является глобальным минимумом функции.

Случай 2: $x < -2$.
В этом случае $|x+2| = -(x+2) = -x-2$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - (-x-2) = x^2 + x + 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.
Вершина находится в точке $(-\frac{1}{2}, 1.75)$. Эта точка не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < -2$. На этом промежутке функция монотонно убывает.

График состоит из двух частей парабол, состыкованных в точке $x=-2$.
Значение в точке стыка: $y(-2) = (-2)^2 - |-2+2| = 4$. Точка стыка - $(-2, 4)$.

Ответ: График функции построен.

23.30. Из населенных пунктов $A$ и $B$, длина пути между которыми по шоссе 75 км, отправились одновременно навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль и встретились через полчаса. Автобус прибыл в пункт $B$ на 25 мин позже, чем легковой автомобиль в пункт $A$. Найдите скорости автобуса и автомобиля.

Пусть $v_a$ км/ч — скорость автобуса, а $v_л$ км/ч — скорость легкового автомобиля. Расстояние между пунктами А и В составляет $S = 75$ км.

Автобус и легковой автомобиль движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна $v_a + v_л$. Они встретились через 30 минут, что составляет $0.5$ часа. За это время они вместе преодолели все расстояние $S$. Составим первое уравнение:

$(v_a + v_л) \cdot 0.5 = 75$

Умножим обе части на 2:

$v_a + v_л = 150$

Выразим скорость легкового автомобиля: $v_л = 150 - v_a$.

Автобус проехал весь путь из А в В за время $t_a = \frac{75}{v_a}$ часов. Легковой автомобиль проехал весь путь из В в А за время $t_л = \frac{75}{v_л}$ часов.

По условию, автобус прибыл в пункт В на 25 минут позже, чем легковой автомобиль в пункт А. Переведем 25 минут в часы: $25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$.

Это означает, что $t_a - t_л = \frac{5}{12}$. Составим второе уравнение:

$\frac{75}{v_a} - \frac{75}{v_л} = \frac{5}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_a + v_л = 150 \\ \frac{75}{v_a} - \frac{75}{v_л} = \frac{5}{12} \end{cases}$

Подставим выражение для $v_л$ из первого уравнения во второе:

$\frac{75}{v_a} - \frac{75}{150 - v_a} = \frac{5}{12}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{15}{v_a} - \frac{15}{150 - v_a} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{15(150 - v_a) - 15v_a}{v_a(150 - v_a)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2250 - 15v_a - 15v_a}{150v_a - v_a^2} = \frac{1}{12}$

$\frac{2250 - 30v_a}{150v_a - v_a^2} = \frac{1}{12}$

Используем правило пропорции:

$12(2250 - 30v_a) = 1(150v_a - v_a^2)$

$27000 - 360v_a = 150v_a - v_a^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_a^2 - 150v_a - 360v_a + 27000 = 0$

$v_a^2 - 510v_a + 27000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-510)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27000 = 260100 - 108000 = 152100$

$\sqrt{D} = \sqrt{152100} = 390$

Найдем корни уравнения для $v_a$:

$v_{a1} = \frac{-(-510) - 390}{2 \cdot 1} = \frac{510 - 390}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_{a2} = \frac{-(-510) + 390}{2 \cdot 1} = \frac{510 + 390}{2} = \frac{900}{2} = 450$

Рассмотрим оба варианта:

1. Если скорость автобуса $v_a = 60$ км/ч, то скорость легкового автомобиля $v_л = 150 - 60 = 90$ км/ч. Этот вариант является реалистичным.

2. Если скорость автобуса $v_a = 450$ км/ч, то скорость легкового автомобиля $v_л = 150 - 450 = -300$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, скорость автобуса составляет 60 км/ч, а скорость легкового автомобиля — 90 км/ч.

Проверим: время автобуса $t_a = 75/60 = 1.25$ ч = 75 мин. Время автомобиля $t_л = 75/90 = 5/6$ ч = 50 мин. Разница во времени $75 - 50 = 25$ мин, что соответствует условию.

Ответ: скорость автобуса 60 км/ч, скорость легкового автомобиля 90 км/ч.

23.31. Решите систему неравенств:

1)

$$ \begin{cases} x^2 - 3x - 18 \le 0, \\ |x - 3| > 1; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} x^2 + x - 12 \le 0, \\ |x + 5| \le 6; \end{cases} $$

3)

$$ \begin{cases} 2x^2 + 3x - 14 < 0, \\ |x - 1| \ge 2. \end{cases} $$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 3x - 18 \le 0 \\ |x-3| > 1 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 18 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -18. Следовательно, корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x - 18$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на отрезке между корнями.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-3, 6]$.

Теперь решим второе неравенство: $|x-3| > 1$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x-3 > 1$ или $x-3 < -1$.
Решая первое, получаем $x > 4$.
Решая второе, получаем $x < 2$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Наконец, найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти общие решения для $x \in [-3, 6]$ и $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.
Изобразив эти множества на числовой прямой, мы видим, что их пересечение состоит из двух интервалов: от -3 (включительно) до 2 (не включительно) и от 4 (не включительно) до 6 (включительно).
Таким образом, решение системы: $x \in [-3, 2) \cup (4, 6]$.

Ответ: $x \in [-3, 2) \cup (4, 6]$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + x - 12 \le 0 \\ |x+5| \le 6 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 + x - 12 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -12. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Парабола $y = x^2 + x - 12$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $ \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-4, 3]$.

Решим второе неравенство: $|x+5| \le 6$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-6 \le x+5 \le 6$.
Вычитаем 5 из всех частей:
$-6 - 5 \le x \le 6 - 5$.
$-11 \le x \le 1$.
Решение второго неравенства: $x \in [-11, 1]$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-4, 3]$ и $x \in [-11, 1]$.
Общей частью этих двух отрезков является отрезок от большего из левых концов (это -4) до меньшего из правых концов (это 1).
Следовательно, решение системы: $x \in [-4, 1]$.

Ответ: $x \in [-4, 1]$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x^2 + 3x - 14 < 0 \\ |x-1| \ge 2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x^2 + 3x - 14 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 14 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$.
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x - 14$ направлены вверх, поэтому неравенство $ < 0 $ выполняется на интервале между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-3.5, 2)$.

Решим второе неравенство: $|x-1| \ge 2$.
Это неравенство равносильно совокупности:
$x-1 \ge 2$ или $x-1 \le -2$.
Из первого неравенства получаем $x \ge 3$.
Из второго неравенства получаем $x \le -1$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-3.5, 2)$ и $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
Пересекая интервал $(-3.5, 2)$ с объединением $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$, находим общие точки.
Пересечение с $(-\infty, -1]$ дает полуинтервал $(-3.5, -1]$.
Пересечение с $[3, \infty)$ является пустым множеством.
Следовательно, решение системы: $x \in (-3.5, -1]$.

Ответ: $x \in (-3.5, -1]$.

23.32. Упростите выражение:

1) $cos(90^\circ + a) - 2sin(180^\circ + a) + \operatorname{ctg}(270^\circ + a) + \operatorname{tg}(360^\circ + a);$

2) $cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) - sin(2\pi - \alpha) + \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cdot \operatorname{ctg}(2\pi + \alpha).$

1) Для упрощения данного выражения применим формулы приведения для тригонометрических функций. Разберем каждый член выражения по отдельности.

• Для $cos(90^\circ + \alpha)$: угол $90^\circ + \alpha$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $90^\circ$, функция меняется на кофункцию (синус). Таким образом, $cos(90^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.

• Для $sin(180^\circ + \alpha)$: угол $180^\circ + \alpha$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $180^\circ$, функция не меняется. Таким образом, $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.

• Для $ctg(270^\circ + \alpha)$: угол $270^\circ + \alpha$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $270^\circ$, функция меняется на кофункцию (тангенс). Таким образом, $ctg(270^\circ + \alpha) = -tg(\alpha)$.

• Для $tg(360^\circ + \alpha)$: в силу периодичности тангенса (период $180^\circ$ или $360^\circ$), $tg(360^\circ + \alpha) = tg(\alpha)$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$cos(90^\circ + \alpha) - 2sin(180^\circ + \alpha) + ctg(270^\circ + \alpha) + tg(360^\circ + \alpha) = -sin(\alpha) - 2(-sin(\alpha)) + (-tg(\alpha)) + tg(\alpha)$

Упростим полученное выражение:

$-sin(\alpha) + 2sin(\alpha) - tg(\alpha) + tg(\alpha) = sin(\alpha)$

Ответ: $sin(\alpha)$

2) Для упрощения данного выражения также воспользуемся формулами приведения. Углы здесь заданы в радианах. Разберем каждый член выражения.

• Для $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$: угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Поскольку в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (синус). Таким образом, $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$.

• Для $sin(2\pi - \alpha)$: угол $2\pi - \alpha$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $2\pi$, функция не меняется. Таким образом, $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$.

• Для $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс). Таким образом, $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$.

• Для $ctg(2\pi + \alpha)$: в силу периодичности котангенса (период $\pi$ или $2\pi$), $ctg(2\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) - sin(2\pi - \alpha) + ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) \cdot ctg(2\pi + \alpha) = sin(\alpha) - (-sin(\alpha)) + (-tg(\alpha)) \cdot ctg(\alpha)$

Упростим, используя основное тригонометрическое тождество $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$:

$sin(\alpha) + sin(\alpha) - (tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha)) = 2sin(\alpha) - 1$

Ответ: $2sin(\alpha) - 1$

23.33. Постройте единичную окружность и вектор $OA$, где точка А лежит на окружности, составляющий с положительным направлением оси $Ox$ угол в $60^\circ$, $120^\circ$, $210^\circ$, $270^\circ$.

Для построения заданных векторов используется единичная окружность. Это окружность с центром в начале координат O(0,0) и радиусом R=1. Угол отсчитывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Конец вектора, точка A, лежит на этой окружности, и её координаты $(x, y)$ для заданного угла $\alpha$ вычисляются по формулам: $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

Угол 60°
Отложим от положительного направления оси Ox угол в 60° против часовой стрелки. Точка пересечения конечной стороны угла с окружностью будет искомой точкой A. Вектор $\vec{OA}$ соединяет начало координат с этой точкой. Угол 60° находится в первой координатной четверти. Координаты точки A: $x = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Построение показано на рисунке. Координаты точки A: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Угол 120°
Аналогично построим вектор для угла 120°. Этот угол находится во второй координатной четверти. Координаты точки A: $x = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Построение показано на рисунке. Координаты точки A: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Угол 210°
Для угла в 210°, который расположен в третьей координатной четверти, процедура построения та же. Координаты точки A: $x = \cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(210^\circ) = -\frac{1}{2}$

Ответ: Построение показано на рисунке. Координаты точки A: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

Угол 270°
Угол в 270° совпадает с отрицательным направлением оси Oy. Точка A будет лежать на окружности и на этой оси. Координаты точки A: $x = \cos(270^\circ) = 0$
$y = \sin(270^\circ) = -1$

Ответ: Построение показано на рисунке. Координаты точки A: $(0, -1)$.