Страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

5.10. Запишите неравенство, множество решений которого изображается точками координатной плоскости, лежащими выше параболы, проходящей через точки:

1) $A(2; -1)$, $C(-1; 5)$ и $B(1; -3)$;

2) $A(-1; 10)$, $C(2; 7)$ и $B(1; 4)$.

1)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение параболы, проходящей через заданные точки, а затем записать неравенство для области выше этой параболы.

Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$, подставим координаты данных точек A(2; –1), C(–1; 5) и B(1; –3) в это уравнение. Получим систему из трех линейных уравнений:

$ \begin{cases} a(2)^2 + b(2) + c = -1 \\ a(-1)^2 + b(-1) + c = 5 \\ a(1)^2 + b(1) + c = -3 \end{cases} $ $\implies$ $ \begin{cases} 4a + 2b + c = -1 & \text{(1)} \\ a - b + c = 5 & \text{(2)} \\ a + b + c = -3 & \text{(3)} \end{cases} $

Решим эту систему. Сложим уравнения (2) и (3):

$(a - b + c) + (a + b + c) = 5 + (-3)$

$2a + 2c = 2$

$a + c = 1$, откуда $c = 1 - a$.

Теперь вычтем уравнение (2) из уравнения (3):

$(a + b + c) - (a - b + c) = -3 - 5$

$2b = -8$, откуда $b = -4$.

Подставим найденные выражения для $b$ и $c$ в уравнение (1):

$4a + 2(-4) + (1 - a) = -1$

$4a - 8 + 1 - a = -1$

$3a - 7 = -1$

$3a = 6$, откуда $a = 2$.

Теперь найдем $c$:

$c = 1 - a = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $y = 2x^2 - 4x - 1$.

Множество решений неравенства изображается точками, лежащими выше параболы. Это означает, что для любого значения $x$ координата $y$ точки должна быть больше, чем значение функции $2x^2 - 4x - 1$. Следовательно, искомое неравенство:

$y > 2x^2 - 4x - 1$.

Ответ: $y > 2x^2 - 4x - 1$.

2)

Аналогично, подставим координаты точек A(–1; 10), C(2; 7) и B(1; 4) в уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$.

$ \begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) + c = 10 \\ a(2)^2 + b(2) + c = 7 \\ a(1)^2 + b(1) + c = 4 \end{cases} $ $\implies$ $ \begin{cases} a - b + c = 10 & \text{(1)} \\ 4a + 2b + c = 7 & \text{(2)} \\ a + b + c = 4 & \text{(3)} \end{cases} $

Решим эту систему. Сложим уравнения (1) и (3):

$(a - b + c) + (a + b + c) = 10 + 4$

$2a + 2c = 14$

$a + c = 7$, откуда $c = 7 - a$.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (3):

$(a + b + c) - (a - b + c) = 4 - 10$

$2b = -6$, откуда $b = -3$.

Подставим найденные выражения для $b$ и $c$ в уравнение (2):

$4a + 2(-3) + (7 - a) = 7$

$4a - 6 + 7 - a = 7$

$3a + 1 = 7$

$3a = 6$, откуда $a = 2$.

Теперь найдем $c$:

$c = 7 - a = 7 - 2 = 5$.

Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $y = 2x^2 - 3x + 5$.

Множество точек, лежащих выше этой параболы, задается неравенством:

$y > 2x^2 - 3x + 5$.

Ответ: $y > 2x^2 - 3x + 5$.

5.11. На координатной плоскости изобразите штриховкой множество точек, координаты которых являются решениями неравенства:

1) $|y| \leq x;$

2) $|y| \geq 2x;$

3) $|y| + |x| \leq 1;$

4) $|y| + |x| \leq 3;$

5) $|y| + 2|x| \leq 2;$

6) $2|y| + |x| \geq 4.$

1) $|y| \le x$

Данное неравенство имеет смысл только при $x \ge 0$, так как модуль числа $|y|$ всегда неотрицателен. Таким образом, все решения будут находиться в правой полуплоскости (включая ось $Oy$).

Неравенство $|y| \le x$ равносильно двойному неравенству $-x \le y \le x$.

Границами искомой области являются прямые $y = x$ и $y = -x$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки на границах включаются в решение.

Множество точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой область, заключенную между лучами $y = x$ и $y = -x$ при $x \ge 0$. Это угол с вершиной в начале координат, биссектрисой которого является положительная полуось $Ox$.

Ответ:

2) $|y| \ge 2x$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x < 0$. В этом случае правая часть неравенства ($2x$) отрицательна. Левая часть ($|y|$) всегда неотрицательна. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного, поэтому неравенство $|y| \ge 2x$ выполняется для всех $y$ при $x < 0$. Таким образом, вся левая полуплоскость является частью решения.

Случай 2: $x \ge 0$. В этом случае неравенство $|y| \ge 2x$ равносильно совокупности двух неравенств: $y \ge 2x$ или $y \le -2x$. Границами этой области являются лучи $y = 2x$ и $y = -2x$ при $x \ge 0$. Решением является область "вне" угла, образованного этими лучами.

Итоговое множество точек — это объединение всей левой полуплоскости ($x < 0$) и области в правой полуплоскости, лежащей выше луча $y=2x$ или ниже луча $y=-2x$, включая сами границы.

Ответ:

3) $|y| + |x| \le 1$

Для решения этого неравенства раскроем модули в каждой из четырёх координатных четвертей.

• В I четверти ($x \ge 0, y \ge 0$): $y + x \le 1 \implies y \le 1 - x$.
• Во II четверти ($x < 0, y \ge 0$): $y - x \le 1 \implies y \le 1 + x$.
• В III четверти ($x < 0, y < 0$): $-y - x \le 1 \implies y \ge -1 - x$.
• В IV четверти ($x \ge 0, y < 0$): $-y + x \le 1 \implies y \ge x - 1$.

Граница области, задаваемая уравнением $|y| + |x| = 1$, является квадратом с вершинами в точках $(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)$.

Для определения искомой области возьмём пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляя в неравенство, получаем $|0| + |0| \le 1$, что является верным ($0 \le 1$). Следовательно, решением является внутренняя часть этого квадрата, включая его границы.

Ответ:

4) $|y| + |x| \le 3$

Данное неравенство аналогично предыдущему. Границей области является квадрат, заданный уравнением $|y| + |x| = 3$. Вершины этого квадрата находятся в точках $(3, 0), (0, 3), (-3, 0), (0, -3)$.

Проверяя точку $(0, 0)$, получаем $|0| + |0| \le 3$, что верно. Значит, решением является внутренняя область квадрата, ограниченного указанными вершинами, включая его границы.

Ответ:

5) $|y| + 2|x| \le 2$

Снова раскроем модули по четвертям:

• I четверть ($x \ge 0, y \ge 0$): $y + 2x \le 2 \implies y \le 2 - 2x$.
• II четверть ($x < 0, y \ge 0$): $y - 2x \le 2 \implies y \le 2 + 2x$.
• III четверть ($x < 0, y < 0$): $-y - 2x \le 2 \implies y \ge -2 - 2x$.
• IV четверть ($x \ge 0, y < 0$): $-y + 2x \le 2 \implies y \ge 2x - 2$.

Граница области, заданная уравнением $|y| + 2|x| = 2$, представляет собой ромб с вершинами в точках $(1, 0), (0, 2), (-1, 0), (0, -2)$.

Проверка начала координат $(0, 0)$ даёт верное неравенство $|0| + 2|0| \le 2$. Следовательно, решением является внутренняя область этого ромба, включая его границы.

Ответ:

6) $2|y| + |x| \ge 4$

Рассмотрим неравенство в каждой четверти:

• I четверть ($x \ge 0, y \ge 0$): $2y + x \ge 4 \implies y \ge 2 - 0.5x$.
• II четверть ($x < 0, y \ge 0$): $2y - x \ge 4 \implies y \ge 2 + 0.5x$.
• III четверть ($x < 0, y < 0$): $-2y - x \ge 4 \implies y \le -2 - 0.5x$.
• IV четверть ($x \ge 0, y < 0$): $-2y + x \ge 4 \implies y \le 0.5x - 2$.

Граница области, заданная уравнением $2|y| + |x| = 4$, является ромбом с вершинами в точках $(4, 0), (0, 2), (-4, 0), (0, -2)$.

Проверим точку $(0, 0)$: $2|0| + |0| \ge 4$, что является неверным ($0 \ge 4$). Это означает, что решением является область, лежащая вне ромба, включая его границы.

Ответ:

5.12. Решите неравенство:

1) $x^2 - 5x - 5 > 2x^2 + 1$;

2) $3x^2 - 5x > 2x^2 - 6$.

1) $x^2 - 5x - 5 > 2x^2 + 1$
Для решения неравенства перенесем все его члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 - 5x - 5 - 2x^2 - 1 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 - 5x - 6 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 + 5x + 6 < 0$
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.
Таким образом, мы решаем неравенство $(x + 3)(x + 2) < 0$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-3$ и $x=-2$.
Значения функции отрицательны (то есть $y < 0$) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $x \in (-3, -2)$.
Ответ: $x \in (-3, -2)$.

2) $3x^2 - 5x > 2x^2 - 6$
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$3x^2 - 5x - 2x^2 + 6 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 5x + 6 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, мы решаем неравенство $(x - 2)(x - 3) > 0$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=2$ и $x=3$.
Значения функции положительны (то есть $y > 0$) на интервалах вне корней.

Следовательно, решением является объединение интервалов $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

*5.13. Постройте график функции $y = \max \{x^2 - 3; 3x + 7\}$.

Для построения графика функции $y = \max\{x^2 - 3; 3x + 7\}$ необходимо понять, как она устроена. Для каждого значения аргумента $x$ значение функции $y$ равно наибольшему из значений двух функций: $y_1 = x^2 - 3$ и $y_2 = 3x + 7$.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. В одной системе координат строим графики двух функций: параболу $y_1 = x^2 - 3$ и прямую $y_2 = 3x + 7$.

2. Находим точки их пересечения. Для этого приравниваем выражения для $y_1$ и $y_2$:

$x^2 - 3 = 3x + 7$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -10. Корни легко подбираются: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Найдем ординаты (значения $y$) в этих точках, подставив $x$ в уравнение любой из функций:

При $x_1 = 5$: $y_1 = 3(5) + 7 = 15 + 7 = 22$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках: $(-2, 1)$ и $(5, 22)$.

3. Эти точки делят всю координатную плоскость на три области. Нам нужно определить, на каких промежутках график одной функции лежит выше другой.

• При $x < -2$ и $x > 5$ (вне отрезка между корнями) парабола $x^2 - 3x - 10$ принимает положительные значения. Это значит, что $x^2 - 3x - 10 > 0$, или $x^2 - 3 > 3x + 7$. На этих интервалах график функции $y = \max\{x^2 - 3; 3x + 7\}$ совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 3$.

• При $-2 < x < 5$ (между корнями) парабола $x^2 - 3x - 10$ принимает отрицательные значения, то есть $x^2 - 3x - 10 < 0$, или $x^2 - 3 < 3x + 7$. На этом интервале график искомой функции совпадает с графиком прямой $y = 3x + 7$.

4. Итоговый график представляет собой "верхнюю огибающую" двух графиков. Он состоит из левой ветви параболы до точки $(-2, 1)$, затем отрезка прямой от $(-2, 1)$ до $(5, 22)$, и далее правой ветви параболы от точки $(5, 22)$.

Функцию можно записать кусочно:

$y = \begin{cases} x^2 - 3, & \text{если } x \le -2 \text{ или } x \ge 5 \\ 3x + 7, & \text{если } -2 < x < 5 \end{cases}$

Ответ:

График функции $y = \max\{x^2 - 3; 3x + 7\}$ показан на рисунке ниже. Синим пунктиром показана парабола $y=x^2-3$, зеленым пунктиром — прямая $y=3x+7$. Итоговый график выделен жирной красной линией.

5.14. Значение суммы цифр двузначного числа равно 9, а значение произведения его цифр равно 18. Найдите это число.

Пусть первая цифра искомого двузначного числа — $x$, а вторая — $y$.

Из условий задачи можно составить систему уравнений:$\begin{cases}x + y = 9 \\x \cdot y = 18\end{cases}$

Здесь $x$ и $y$ — это цифры, то есть целые числа от 0 до 9 (причем $x \neq 0$, так как число двузначное). Решим эту систему. Из второго уравнения следует, что нам нужно найти две цифры, произведение которых равно 18. Рассмотрим возможные пары таких цифр:

1. Пара (2, 9). Проверим сумму: $2 + 9 = 11$. Это не соответствует первому уравнению ($11 \neq 9$).

2. Пара (3, 6). Проверим сумму: $3 + 6 = 9$. Это соответствует первому уравнению.

Других пар цифр, произведение которых равно 18, нет (например, пара (1, 18) не подходит, так как 18 не является цифрой). Следовательно, искомые цифры — это 3 и 6.

Из этих цифр можно составить два двузначных числа: 36 и 63. Оба числа удовлетворяют исходным условиям.

Проверка для числа 36: сумма цифр $3+6=9$, произведение цифр $3 \cdot 6 = 18$.
Проверка для числа 63: сумма цифр $6+3=9$, произведение цифр $6 \cdot 3 = 18$.

Ответ: 36 или 63.

5.15. Благодаря применению в фермерском хозяйстве новых технологий урожайность бобовых возросла на $4 \text{ ц/га}$. В результате было собрано $150 \text{ ц}$, что на $3 \text{ ц}$ больше, чем в прошлом году, хотя под бобовые отвели на $1 \text{ га}$ меньше. Какова была урожайность бобовых в прошлом и текущем году и какая площадь была отведена под бобовые в прошлом и текущем году?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $y_1$ (в ц/га) и $A_1$ (в га) — это урожайность и площадь, отведенная под бобовые в прошлом году, соответственно.
Исходя из условий задачи:
Урожайность в текущем году: $y_2 = y_1 + 4$ ц/га.
Площадь в текущем году: $A_2 = A_1 - 1$ га.

Общий сбор урожая (валовый сбор) в текущем году составил $H_2 = 150$ ц. В условии сказано, что это на 3 ц больше, чем в прошлом году. Следовательно, валовый сбор в прошлом году был:
$H_1 = 150 - 3 = 147$ ц.

Валовый сбор вычисляется по формуле: Урожайность $\times$ Площадь. Составим систему уравнений для прошлого и текущего года:
1) Для прошлого года: $y_1 \cdot A_1 = 147$
2) Для текущего года: $y_2 \cdot A_2 = 150$
Подставим выражения для $y_2$ и $A_2$ во второе уравнение:
$(y_1 + 4) \cdot (A_1 - 1) = 150$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} y_1 \cdot A_1 = 147 \\ (y_1 + 4)(A_1 - 1) = 150 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $A_1$: $A_1 = \frac{147}{y_1}$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(y_1 + 4) \cdot (\frac{147}{y_1} - 1) = 150$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y_1 \cdot \frac{147}{y_1} - y_1 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{147}{y_1} - 4 \cdot 1 = 150$
$147 - y_1 + \frac{588}{y_1} - 4 = 150$
$143 - y_1 + \frac{588}{y_1} = 150$
Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на $y_1$ (урожайность $y_1$ не может быть равна нулю):
$143y_1 - y_1^2 + 588 = 150y_1$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y_1^2 + 150y_1 - 143y_1 - 588 = 0$
$y_1^2 + 7y_1 - 588 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-588) = 49 + 2352 = 2401$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$.
Теперь найдем возможные значения $y_1$:
$y_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 49}{2} = \frac{42}{2} = 21$
$y_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 49}{2} = \frac{-56}{2} = -28$
Так как урожайность не может быть отрицательной величиной, корень $y_1 = -28$ не соответствует смыслу задачи. Таким образом, урожайность в прошлом году была 21 ц/га.

Какова была урожайность бобовых в прошлом и текущем году
Мы установили, что урожайность в прошлом году составляла $y_1 = 21$ ц/га.
Урожайность в текущем году, по условию, была на 4 ц/га выше:
$y_2 = y_1 + 4 = 21 + 4 = 25$ ц/га.
Ответ: урожайность в прошлом году составляла 21 ц/га, а в текущем году — 25 ц/га.

Какая площадь была отведена под бобовые в прошлом и текущем году
Зная урожайность и валовый сбор в прошлом году, найдем площадь:
$A_1 = \frac{H_1}{y_1} = \frac{147}{21} = 7$ га.
Площадь в текущем году, по условию, была на 1 га меньше:
$A_2 = A_1 - 1 = 7 - 1 = 6$ га.
Для проверки: сбор в текущем году $y_2 \cdot A_2 = 25 \cdot 6 = 150$ ц, что совпадает с данными задачи.
Ответ: площадь под бобовые в прошлом году составляла 7 га, а в текущем году — 6 га.

5.16. Постройте график уравнения:

1) $3x - 4y + 5 = 0;$

2) $-2x - y + 3 = 0;$

3) $3xy - 2 = 0;$

4) $xy + 2 = 0;$

5) $xy - y - 2 = 0;$

6) $xy + 2y - 3 = 0;$

7) $xy - 3y + 1 = 0;$

8) $xy - 5y + 1 = 0.$

1) Данное уравнение $3x - 4y + 5 = 0$ является линейным уравнением вида $Ax + By + C = 0$. Его графиком является прямая линия. Для построения графика выразим переменную $y$ через $x$: $4y = 3x + 5$ $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$ Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
1. При $x = 1$, $y = \frac{3}{4}(1) + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Получаем точку А(1, 2).
2. При $x = -3$, $y = \frac{3}{4}(-3) + \frac{5}{4} = -\frac{9}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1$. Получаем точку B(-3, -1).
Построим прямую, проходящую через точки А и В.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки (1, 2) и (-3, -1).

2) Уравнение $-2x - y + 3 = 0$ также является линейным. Его график — прямая. Выразим $y$ через $x$: $y = -2x + 3$ Найдем координаты двух точек для построения:
1. При $x = 0$, $y = -2(0) + 3 = 3$. Точка А(0, 3).
2. При $x = 2$, $y = -2(2) + 3 = -1$. Точка B(2, -1).
Построим прямую, проходящую через точки А и В.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки (0, 3) и (2, -1).

3) Преобразуем уравнение $3xy - 2 = 0$: $3xy = 2$ $y = \frac{2}{3x}$ Это уравнение обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, поскольку коэффициент $k = 2/3 > 0$. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$.
Составим таблицу значений:
При $x=1, y=2/3$; при $x=2, y=1/3$; при $x=1/3, y=2$.
При $x=-1, y=-2/3$; при $x=-2, y=-1/3$; при $x=-1/3, y=-2$.

Ответ: Графиком является гипербола с ветвями в I и III четвертях.

4) Преобразуем уравнение $xy + 2 = 0$: $xy = -2$ $y = -\frac{2}{x}$ Это уравнение гиперболы. Поскольку коэффициент $k = -2 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.
Составим таблицу значений:
При $x=1, y=-2$; при $x=2, y=-1$; при $x=4, y=-0.5$.
При $x=-1, y=2$; при $x=-2, y=1$; при $x=-4, y=0.5$.

Ответ: Графиком является гипербола с ветвями во II и IV четвертях.

5) Преобразуем уравнение $xy - y - 2 = 0$: $y(x - 1) = 2$ При $x \neq 1$ получаем $y = \frac{2}{x - 1}$. Графиком этого уравнения является гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = 1$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Контрольные точки: (2, 2), (3, 1), (0, -2), (-1, -1).

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$.

6) Преобразуем уравнение $xy + 2y - 3 = 0$: $y(x + 2) = 3$ При $x \neq -2$ получаем $y = \frac{3}{x + 2}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = -2$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Контрольные точки: (-1, 3), (1, 1), (-3, -3), (-5, -1).

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$.

7) Преобразуем уравнение $xy - 3y + 1 = 0$: $y(x - 3) = -1$ При $x \neq 3$ получаем $y = \frac{-1}{x - 3}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = 3$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Контрольные точки: (4, -1), (2, 1), (5, -0.5), (1, 0.5).

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$.

8) Преобразуем уравнение $xy - 5y + 1 = 0$: $y(x - 5) = -1$ При $x \neq 5$ получаем $y = \frac{-1}{x - 5}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 5 единиц вправо вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = 5$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Контрольные точки: (6, -1), (4, 1), (7, -0.5), (3, 0.5).

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=5$.

5.17. На координатной плоскости покажите штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

1) $|x - 1| \le 3$;

2) $|x - 2| \ge 2$;

3) $|y - 1| < 3;

4) $|y - 1| \ge 1;

5) $xy \ge 1;

6) $xy \le 2;

7) $xy - 2 \ge 0;$

8) $xy - 7y < 2.$

1) $|x-1| \le 3$

Это неравенство с модулем эквивалентно двойному неравенству: $$-3 \le x-1 \le 3$$ Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $$-3 + 1 \le x \le 3 + 1$$ $$-2 \le x \le 4$$ Множество точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой вертикальную полосу, заключенную между прямыми $x = -2$ и $x = 4$. Так как неравенство нестрогое, границы ($x=-2$ и $x=4$) включаются в множество и изображаются сплошными линиями.

Ответ: Множеством решений является вертикальная полоса, ограниченная прямыми $x=-2$ и $x=4$, включая сами прямые.

2) $|x-2| \ge 2$

Это неравенство с модулем распадается на два случая: $$x-2 \ge 2 \quad \text{или} \quad x-2 \le -2$$ Решаем каждое неравенство: $$x \ge 4 \quad \text{или} \quad x \le 0$$ Множество точек состоит из двух полуплоскостей: все точки, где $x \ge 4$, и все точки, где $x \le 0$. Границы ($x=4$ и $x=0$, то есть ось OY) включаются в множество, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Объединение двух полуплоскостей $x \le 0$ и $x \ge 4$, включая границы.

3) $|y-1| \le 3$

Аналогично первому пункту, преобразуем неравенство: $$-3 \le y-1 \le 3$$ Прибавим 1 ко всем частям: $$-3 + 1 \le y \le 3 + 1$$ $$-2 \le y \le 4$$ Решением является горизонтальная полоса между прямыми $y = -2$ и $y = 4$. Границы включаются, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=-2$ и $y=4$, включая границы.

4) $|y-1| \ge 1$

Это неравенство распадается на совокупность двух неравенств: $$y-1 \ge 1 \quad \text{или} \quad y-1 \le -1$$ Решая их, получаем: $$y \ge 2 \quad \text{или} \quad y \le 0$$ Множество решений — это объединение двух горизонтальных полуплоскостей: все точки выше или на прямой $y=2$ и все точки ниже или на прямой $y=0$ (ось OX).

Ответ: Объединение полуплоскостей $y \le 0$ и $y \ge 2$, включая их границы.

5) $xy \ge 1$

Границей области является гипербола $xy = 1$, или $y = 1/x$. Эта гипербола расположена в I и III координатных четвертях. Поскольку неравенство нестрогое, сама гипербола включается в решение. Для определения области решения выберем контрольные точки.

• В I четверти, точка (2, 2): $2 \cdot 2 = 4 \ge 1$. Верно. Значит, заштриховываем область "над" ветвью гиперболы в I четверти.
• В III четверти, точка (-2, -2): $(-2) \cdot (-2) = 4 \ge 1$. Верно. Заштриховываем область "под" ветвью гиперболы в III четверти.
• Точка (0, 0): не подходит, так как $0 \ge 1$ неверно. Область между ветвями не заштриховывается.

Ответ: Точки "над" правой ветвью и "под" левой ветвью гиперболы $y=1/x$, включая саму гиперболу.

6) $xy \le 2$

Границей является гипербола $xy = 2$, или $y = 2/x$. Граница включается в решение. Проверим точку (0, 0): $0 \cdot 0 = 0 \le 2$. Верно. Это означает, что область, содержащая начало координат (область между ветвями гиперболы), является решением.

Ответ: Множество точек, расположенных между ветвями гиперболы $y=2/x$, включая саму гиперболу.

7) $xy - 2 \ge 0$

Это неравенство идентично неравенству $xy \ge 2$. Границей является гипербола $xy = 2$, или $y=2/x$. Граница включается. Задача аналогична пункту 5, но с другой гиперболой. Области решения находятся "снаружи" от ветвей гиперболы, то есть не содержат начало координат.

Ответ: Точки "над" правой ветвью и "под" левой ветвью гиперболы $y=2/x$, включая саму гиперболу.

8) $xy - 7y < 2$

Вынесем $y$ за скобки: $$y(x - 7) < 2$$ Границей области является кривая $y(x-7) = 2$, то есть $y = \frac{2}{x-7}$. Это гипербола, смещенная на 7 единиц вправо по оси Ox. Вертикальная асимптота проходит через $x=7$. Поскольку неравенство строгое ($<$) граница не включается в решение и изображается пунктирной линией. Проверим точку (0, 0): $0 \cdot (0-7) = 0 < 2$. Верно. Значит, область, содержащая начало координат (область между ветвями гиперболы и асимптотой), является решением.

Ответ: Множество точек, расположенных между ветвями гиперболы $y=2/(x-7)$, не включая саму гиперболу.

24.6. С помощью формул сложения докажите тождество:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$;

2) $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$;

3) $\cos\left(\frac{3}{2}\pi - \alpha\right) = -\sin\alpha$;

4) $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha.$

1) Для доказательства тождества $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos\alpha$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.

Подставим в эту формулу $x = \frac{\pi}{2}$ и $y = \alpha$:

$sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{2})cos(\alpha) - cos(\frac{\pi}{2})sin(\alpha)$.

Зная значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{2}$: $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, подставим их в выражение:

$sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 1 \cdot cos(\alpha) - 0 \cdot sin(\alpha) = cos(\alpha)$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $cos(\pi + \alpha) = -cos\alpha$ воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$.

Подставим в эту формулу $x = \pi$ и $y = \alpha$:

$cos(\pi + \alpha) = cos(\pi)cos(\alpha) - sin(\pi)sin(\alpha)$.

Зная значения тригонометрических функций для угла $\pi$: $cos(\pi) = -1$ и $sin(\pi) = 0$, подставим их в выражение:

$cos(\pi + \alpha) = (-1) \cdot cos(\alpha) - 0 \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -sin\alpha$ воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$.

Подставим в эту формулу $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$:

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = cos(\frac{3\pi}{2})cos(\alpha) + sin(\frac{3\pi}{2})sin(\alpha)$.

Зная значения тригонометрических функций для угла $\frac{3\pi}{2}$: $cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, подставим их в выражение:

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = 0 \cdot cos(\alpha) + (-1) \cdot sin(\alpha) = -sin(\alpha)$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $sin(\pi + \alpha) = -sin\alpha$ воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Подставим в эту формулу $x = \pi$ и $y = \alpha$:

$sin(\pi + \alpha) = sin(\pi)cos(\alpha) + cos(\pi)sin(\alpha)$.

Зная значения тригонометрических функций для угла $\pi$: $sin(\pi) = 0$ и $cos(\pi) = -1$, подставим их в выражение:

$sin(\pi + \alpha) = 0 \cdot cos(\alpha) + (-1) \cdot sin(\alpha) = -sin(\alpha)$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

24.7. Выразите через тригонометрические функции угла $\alpha$ выраже- ние:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$;

2) $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

3) $\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$;

4) $\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$;

5) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$;

6) $\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

Для решения данной задачи используются формулы сложения и вычитания аргументов для тригонометрических функций (синуса и косинуса), а также значения тригонометрических функций для стандартных углов $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Основные формулы:

$sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$

$sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

$cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$

$cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$

Значения функций:

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

1) Для выражения $sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$ используем формулу синуса суммы:

$sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{4})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{4}$:

$sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(sin(\alpha) + cos(\alpha))$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(sin(\alpha) + cos(\alpha))$

2) Для выражения $cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ используем формулу косинуса разности:

$cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{4})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{4}$:

$cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) + sin(\alpha))$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) + sin(\alpha))$

3) Для выражения $sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ используем формулу синуса разности:

$sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha) - cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{3}$:

$sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)$

4) Для выражения $cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$ используем формулу косинуса суммы:

$cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = cos(\frac{\pi}{3})cos(\alpha) - sin(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{3}$:

$cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

5) Для выражения $sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$ используем формулу синуса суммы:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{6})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{6}$:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

6) Для выражения $cos(\frac{\pi}{6} - \alpha)$ используем формулу косинуса разности:

$cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{6})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{6}$:

$cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha)$

24.8. Используя формулы сложения, вычислите:

1) $ \sin 15^\circ $;

2) $ \sin 75^\circ $;

3) $ \cos 15^\circ $;

4) $ \cos 75^\circ $;

5) $ \text{tg} 15^\circ $;

6) $ \text{tg} 75^\circ $;

7) $ \text{ctg} 15^\circ $;

8) $ \text{ctg} 75^\circ $.

1) sin15°;Для вычисления представим $15°$ как разность $45° - 30°$. Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin15° = \sin(45° - 30°) = \sin45° \cos30° - \cos45° \sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

2) sin75°;Для вычисления представим $75°$ как сумму $45° + 30°$. Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin75° = \sin(45° + 30°) = \sin45° \cos30° + \cos45° \sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

3) cos15°;Для вычисления представим $15°$ как разность $45° - 30°$. Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
$\cos15° = \cos(45° - 30°) = \cos45° \cos30° + \sin45° \sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

4) cos75°;Для вычисления представим $75°$ как сумму $45° + 30°$. Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
$\cos75° = \cos(45° + 30°) = \cos45° \cos30° - \sin45° \sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

5) tg15°;Для вычисления представим $15°$ как разность $45° - 30°$. Используем формулу тангенса разности: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$.
$\tan15° = \tan(45° - 30°) = \frac{\tan45° - \tan30°}{1 + \tan45° \tan30°} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$.
Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(3 - \sqrt{3})$:
$\frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

6) tg75°;Для вычисления представим $75°$ как сумму $45° + 30°$. Используем формулу тангенса суммы: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$.
$\tan75° = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan45° + \tan30°}{1 - \tan45° \tan30°} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$.
Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(3 + \sqrt{3})$:
$\frac{(3 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

7) ctg15°;Используем тот факт, что $\cot15° = \frac{1}{\tan15°}$. Из пункта 5 мы знаем, что $\tan15° = 2 - \sqrt{3}$.
$\cot15° = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

8) ctg75°;Используем тот факт, что $\cot75° = \frac{1}{\tan75°}$. Из пункта 6 мы знаем, что $\tan75° = 2 + \sqrt{3}$.
$\cot75° = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

24.9. Найдите значение выражения:

1) $ \sin(45^\circ - \alpha) $, если $ \sin\alpha = 0,3 $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $;

2) $ \sin(60^\circ + \alpha) $, если $ \cos\alpha = 0,4 $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $;

3) $ \cos(45^\circ - \alpha) $, если $ \sin\alpha = 0,2 $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $;

4) $ \sin(30^\circ + \alpha) $, если $ \cos\alpha = 0,1 $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $.

1) Для нахождения значения выражения $sin(45^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.
В нашем случае $x = 45^\circ$ и $y = \alpha$, поэтому формула принимает вид: $sin(45^\circ - \alpha) = sin(45^\circ)cos(\alpha) - cos(45^\circ)sin(\alpha)$.
Значения стандартных углов: $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. По условию дано $sin(\alpha) = 0,3$.
Найдем $cos(\alpha)$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Отсюда $cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin^2(\alpha)}$. Мы берем положительное значение корня, так как по условию угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), где косинус положителен.
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - (0,3)^2} = \sqrt{1 - 0,09} = \sqrt{0,91}$.
Теперь подставим все известные значения в формулу синуса разности. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $sin(\alpha) = \frac{3}{10}$.
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{3}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{100}} = \sqrt{\frac{91}{100}} = \frac{\sqrt{91}}{10}$.
$sin(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{10} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{10} = \frac{\sqrt{2 \cdot 91}}{20} - \frac{3\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{182} - 3\sqrt{2}}{20}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{182} - 3\sqrt{2}}{20}$.

2) Для нахождения $sin(60^\circ + \alpha)$ используем формулу синуса суммы: $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.
Применяя ее к нашему выражению, получаем: $sin(60^\circ + \alpha) = sin(60^\circ)cos(\alpha) + cos(60^\circ)sin(\alpha)$.
Известно, что $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. По условию $cos(\alpha) = 0,4$.
Найдем $sin(\alpha)$ из тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Так как $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $sin(\alpha)$ положителен: $sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)}$.
Представим $cos(\alpha)$ в виде обыкновенной дроби: $cos(\alpha) = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$sin(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin(60^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{2\sqrt{3}}{10} + \frac{\sqrt{21}}{10} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{10}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{10}$.

3) Для нахождения $cos(45^\circ - \alpha)$ используем формулу косинуса разности: $cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$.
В данном случае: $cos(45^\circ - \alpha) = cos(45^\circ)cos(\alpha) + sin(45^\circ)sin(\alpha)$.
Известно, что $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. По условию $sin(\alpha) = 0,2$.
Найдем $cos(\alpha)$ из тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Так как $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $cos(\alpha)$ положителен: $cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin^2(\alpha)}$.
Представим $sin(\alpha)$ в виде обыкновенной дроби: $sin(\alpha) = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2\sqrt{12}}{10} + \frac{\sqrt{2}}{10} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{10} = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{2}}{10}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{3} + \sqrt{2}}{10}$.

4) Для нахождения $sin(30^\circ + \alpha)$ используем формулу синуса суммы: $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.
Применительно к задаче: $sin(30^\circ + \alpha) = sin(30^\circ)cos(\alpha) + cos(30^\circ)sin(\alpha)$.
Известно, что $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. По условию $cos(\alpha) = 0,1$.
Найдем $sin(\alpha)$ из тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Так как $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $sin(\alpha)$ положителен: $sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)}$.
Представим $cos(\alpha)$ в виде обыкновенной дроби: $cos(\alpha) = 0,1 = \frac{1}{10}$.
$sin(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{1}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{100}} = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 11}}{10} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin(30^\circ + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10} = \frac{1}{20} + \frac{3\sqrt{33}}{20} = \frac{1 + 3\sqrt{33}}{20}$.
Ответ: $\frac{1 + 3\sqrt{33}}{20}$.

24.10. Упростите выражение:

1) $2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3} \sin\alpha;$

2) $\frac{1}{2}\cos\alpha - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right);$

3) $\sqrt{2}\sin\alpha - 2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right);$

4) $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha.$

1) Упростим выражение $2\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha$.

Для этого воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

Применим её к первому слагаемому:

$\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{6})\cos\alpha + \cos(\frac{\pi}{6})\sin\alpha$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Теперь подставим это выражение в исходное:

$2\left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha$.

Раскрываем скобки:

$2 \cdot \frac{1}{2}\cos\alpha + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha$.

Приводим подобные слагаемые:

$\cos\alpha + (\sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha) = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

2) Упростим выражение $\frac{1}{2}\cos\alpha - \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$.

Используем формулу косинуса суммы: $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

Применим её ко второму слагаемому:

$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos\alpha - \sin(\frac{\pi}{3})\sin\alpha$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{1}{2}\cos\alpha - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right)$.

Раскрываем скобки, меняя знаки:

$\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Приводим подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

3) Упростим выражение $\sqrt{2}\sin\alpha - 2\sin(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.

Применим её ко второму слагаемому:

$\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos\alpha \sin(\frac{\pi}{4})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем эти значения:

$\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{2}\sin\alpha - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)\right) = \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)$.

Раскрываем скобки:

$\sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha + \sqrt{2}\cos\alpha$.

Приводим подобные слагаемые:

$(\sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha) + \sqrt{2}\cos\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$.

Ответ: $\sqrt{2}\cos\alpha$.

4) Упростим выражение $\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.

Используем формулу косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

Применим её к первому слагаемому:

$\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin\alpha \sin(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.

Приводим подобные слагаемые:

$(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha) + \frac{1}{2}\sin\alpha = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sin\alpha$.

24.11. Упростите выражение:

1) $\sin(\alpha + \beta) - \sin\beta \cos\alpha;$

2) $\sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta);$

3) $\cos(\alpha - \beta) - \cos\alpha \cos\beta;$

4) $\cos\alpha \sin\beta + \sin(\alpha - \beta).$

1) Для упрощения выражения $sin(\alpha + \beta) - sin\beta cos\alpha$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$sin(\alpha + \beta) - sin\beta cos\alpha = (sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta) - sin\beta cos\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Заметим, что $sin\beta cos\alpha$ и $cos\alpha sin\beta$ это одно и то же произведение.

$sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta - cos\alpha sin\beta = sin\alpha cos\beta$

Члены $cos\alpha sin\beta$ и $-cos\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются.

Ответ: $sin\alpha cos\beta$.

2) Для упрощения выражения $sin\alpha sin\beta + cos(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$sin\alpha sin\beta + cos(\alpha + \beta) = sin\alpha sin\beta + (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$sin\alpha sin\beta + cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta = cos\alpha cos\beta$

Члены $sin\alpha sin\beta$ и $-sin\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются.

Ответ: $cos\alpha cos\beta$.

3) Для упрощения выражения $cos(\alpha - \beta) - cos\alpha cos\beta$ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$cos(\alpha - \beta) - cos\alpha cos\beta = (cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - cos\alpha cos\beta$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta - cos\alpha cos\beta = sin\alpha sin\beta$

Члены $cos\alpha cos\beta$ и $-cos\alpha cos\beta$ взаимно уничтожаются.

Ответ: $sin\alpha sin\beta$.

4) Для упрощения выражения $cos\alpha sin\beta + sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$cos\alpha sin\beta + sin(\alpha - \beta) = cos\alpha sin\beta + (sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$cos\alpha sin\beta + sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta = sin\alpha cos\beta$

Члены $cos\alpha sin\beta$ и $-cos\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются.

Ответ: $sin\alpha cos\beta$.

Найдите значения выражений (24.12—24.13):

24.12. 1) $sin(45^\circ - \alpha)$, если $\cos \alpha = -0,5$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$;

2) $sin(60^\circ + \alpha)$, если $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$;

3) $cos(60^\circ + \alpha)$, если $cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$;

4) $cos(30^\circ - \alpha)$, если $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1) sin(45° - a), если cos⁡a = -0,5 и 90° < a < 180°

Для решения воспользуемся формулой синуса разности: $sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ$.

$sin(45° - a) = sin45° cosa - cos45° sina$

Нам известны значения $sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cosa = -0,5 = -\frac{1}{2}$.

Необходимо найти $sina$. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2a + cos^2a = 1$.

$sin^2a = 1 - cos^2a = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Отсюда $sina = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как по условию угол $a$ находится во второй четверти ($90° < a < 180°$), синус этого угла положителен. Следовательно, $sina = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим все значения в исходную формулу:

$sin(45° - a) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

2) sin(60° + a), если sina = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и 90° < a < 180°

Применим формулу синуса суммы: $sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ$.

$sin(60° + a) = sin60° cosa + cos60° sina$

Нам известны значения $sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos60° = \frac{1}{2}$ и $sina = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем $cosa$. Из основного тригонометрического тождества:

$cos^2a = 1 - sin^2a = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $cosa = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Поскольку угол $a$ находится во второй четверти ($90° < a < 180°$), косинус этого угла отрицателен. Значит, $cosa = -\frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$sin(60° + a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$.

Ответ: $0$.

3) cos(60° + a), если cos⁡a = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и 90° < a < 180°

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ$.

$cos(60° + a) = cos60° cosa - sin60° sina$

Нам известны значения $cos60° = \frac{1}{2}$, $sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cosa = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем $sina$ из основного тригонометрического тождества:

$sin^2a = 1 - cos^2a = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $sina = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Так как угол $a$ находится во второй четверти ($90° < a < 180°$), синус этого угла положителен. Следовательно, $sina = \frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$cos(60° + a) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) cos(30° - a), если sina = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и 90° < a < 180°

Применим формулу косинуса разности: $cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ$.

$cos(30° - a) = cos30° cosa + sin30° sina$

Нам известны значения $cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin30° = \frac{1}{2}$ и $sina = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем $cosa$. Этот расчет аналогичен расчету в пункте 2. Из $sin^2a + cos^2a = 1$ получаем $cos^2a = \frac{1}{4}$.

Учитывая, что угол $a$ находится во второй четверти ($90° < a < 180°$), косинус отрицателен. Значит, $cosa = -\frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$cos(30° - a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$.

Ответ: $0$.