Страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.4 Выясните, является ли указанное ниже соответствие последовательностью. Если да, то составьте формулу $n$-го члена последовательности и найдите её первые пять членов:

а) каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат;

б) каждому натуральному числу ставится в соответствие его куб;

в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число 7;

г) каждому натуральному числу ставится в соответствие обратное число.

а) Да, данное соответствие является последовательностью. По определению, числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел. В данном случае каждому натуральному числу $n$ (которое является номером члена последовательности) ставится в соответствие одно конкретное число — его квадрат.
Формула $n$-го члена этой последовательности, обозначим ее $a_n$, имеет вид: $a_n = n^2$.
Первые пять членов последовательности:
$a_1 = 1^2 = 1$
$a_2 = 2^2 = 4$
$a_3 = 3^2 = 9$
$a_4 = 4^2 = 16$
$a_5 = 5^2 = 25$
Ответ: Да, является. Формула $n$-го члена: $a_n = n^2$. Первые пять членов: 1, 4, 9, 16, 25.

б) Да, данное соответствие является последовательностью, так как каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие единственное число, являющееся его кубом.
Формула $n$-го члена этой последовательности, обозначим ее $b_n$, имеет вид: $b_n = n^3$.
Первые пять членов последовательности:
$b_1 = 1^3 = 1$
$b_2 = 2^3 = 8$
$b_3 = 3^3 = 27$
$b_4 = 4^3 = 64$
$b_5 = 5^3 = 125$
Ответ: Да, является. Формула $n$-го члена: $b_n = n^3$. Первые пять членов: 1, 8, 27, 64, 125.

в) Да, данное соответствие является последовательностью. Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие одно и то же число 7. Такая последовательность называется стационарной или постоянной.
Формула $n$-го члена этой последовательности, обозначим ее $c_n$, имеет вид: $c_n = 7$.
Первые пять членов последовательности:
$c_1 = 7$
$c_2 = 7$
$c_3 = 7$
$c_4 = 7$
$c_5 = 7$
Ответ: Да, является. Формула $n$-го члена: $c_n = 7$. Первые пять членов: 7, 7, 7, 7, 7.

г) Да, данное соответствие является последовательностью. Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие обратное ему число. Так как $n$ — натуральное число, то оно никогда не равно нулю ($n \ge 1$), поэтому обратное число $\frac{1}{n}$ всегда определено.
Формула $n$-го члена этой последовательности, обозначим ее $d_n$, имеет вид: $d_n = \frac{1}{n}$.
Первые пять членов последовательности:
$d_1 = \frac{1}{1} = 1$
$d_2 = \frac{1}{2}$
$d_3 = \frac{1}{3}$
$d_4 = \frac{1}{4}$
$d_5 = \frac{1}{5}$
Ответ: Да, является. Формула $n$-го члена: $d_n = \frac{1}{n}$. Первые пять членов: 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$.

15.5 Назовите член последовательности ($y_n$), который:

a) следует за членом $y_{31}$, $y_n$, $y_{n+9}$, $y_{2n}$;

b) предшествует члену $y_{91}$, $y_{639}$, $y_{n-1}$, $y_{3n}$.

а) Чтобы найти член последовательности, который следует за данным членом, необходимо увеличить индекс (номер) этого члена на единицу. Общий вид для члена $y_k$, следующего за ним, — это $y_{k+1}$.

Исходя из этого правила, найдем искомые члены последовательности:

• Член, который следует за членом $y_{31}$, имеет индекс $31+1=32$. Это член $y_{32}$.

• Член, который следует за членом $y_n$, имеет индекс $n+1$. Это член $y_{n+1}$.

• Член, который следует за членом $y_{n+9}$, имеет индекс $(n+9)+1=n+10$. Это член $y_{n+10}$.

• Член, который следует за членом $y_{2n}$, имеет индекс $2n+1$. Это член $y_{2n+1}$.

Ответ: $y_{32}, y_{n+1}, y_{n+10}, y_{2n+1}$.

б) Чтобы найти член последовательности, который предшествует данному члену, необходимо уменьшить индекс (номер) этого члена на единицу. Общий вид для члена, предшествующего $y_k$, — это $y_{k-1}$ (при условии, что $k>1$).

Исходя из этого правила, найдем искомые члены последовательности:

• Член, который предшествует члену $y_{91}$, имеет индекс $91-1=90$. Это член $y_{90}$.

• Член, который предшествует члену $y_{639}$, имеет индекс $639-1=638$. Это член $y_{638}$.

• Член, который предшествует члену $y_{n-1}$, имеет индекс $(n-1)-1=n-2$. Это член $y_{n-2}$.

• Член, который предшествует члену $y_{3n}$, имеет индекс $3n-1$. Это член $y_{3n-1}$.

Ответ: $y_{90}, y_{638}, y_{n-2}, y_{3n-1}$.

15.6 Назовите все члены последовательности $($a_n$)$, которые расположены между членами:

а) $a_{638}$ и $a_{645}$;

б) $a_{1002}$ и $a_{1008}$;

в) $a_{n+3}$ и $a_{n+10}$;

г) $a_{n-2}$ и $a_{n+2}$.

а) Члены последовательности $(a_n)$, расположенные между $a_{638}$ и $a_{645}$, — это те члены, порядковые номера которых являются целыми числами, строго большими 638 и строго меньшими 645. Такими номерами являются 639, 640, 641, 642, 643 и 644.
Ответ: $a_{639}, a_{640}, a_{641}, a_{642}, a_{643}, a_{644}$.

б) Члены последовательности $(a_n)$, расположенные между $a_{1002}$ и $a_{1008}$, — это те члены, порядковые номера которых являются целыми числами, строго большими 1002 и строго меньшими 1008. Такими номерами являются 1003, 1004, 1005, 1006 и 1007.
Ответ: $a_{1003}, a_{1004}, a_{1005}, a_{1006}, a_{1007}$.

в) Члены последовательности $(a_n)$, расположенные между $a_{n+3}$ и $a_{n+10}$, — это члены $a_k$, где номер $k$ удовлетворяет неравенству $n+3 < k < n+10$. Поскольку $k$ должно быть целым числом, оно может принимать значения: $n+4, n+5, n+6, n+7, n+8, n+9$.
Ответ: $a_{n+4}, a_{n+5}, a_{n+6}, a_{n+7}, a_{n+8}, a_{n+9}$.

г) Члены последовательности $(a_n)$, расположенные между $a_{n-2}$ и $a_{n+2}$, — это члены $a_k$, где номер $k$ удовлетворяет неравенству $n-2 < k < n+2$. Поскольку $k$ должно быть целым числом, оно может принимать значения: $n-1, n, n+1$. (Это справедливо при условии, что $n-2 \ge 1$, то есть $n \ge 3$, чтобы все указанные члены существовали).
Ответ: $a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$.

15.7 Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных пяти. Укажите её шестой, девятый, двадцать первый, $n$-й члены.

Задача состоит в том, чтобы описать последовательность натуральных чисел, которые делятся на 5, и найти некоторые её члены.

Натуральные числа — это числа, используемые при счёте: 1, 2, 3, 4, 5, ... Числа, кратные пяти, — это те, которые делятся на 5 без остатка. Возрастающая последовательность таких чисел начинается с наименьшего натурального числа, кратного пяти.

Первый член последовательности: $1 \times 5 = 5$. Второй член последовательности: $2 \times 5 = 10$. Третий член последовательности: $3 \times 5 = 15$. Четвертый член последовательности: $4 \times 5 = 20$.

Таким образом, несколько начальных членов этой последовательности: 5, 10, 15, 20, ...

Мы видим, что каждый член последовательности получается умножением его порядкового номера ($n$) на 5. Следовательно, формула для $n$-го члена ($a_n$) этой последовательности имеет вид: $a_n = 5n$

Теперь, используя эту формулу, найдем конкретные члены последовательности.

шестой член
Для нахождения шестого члена подставляем $n = 6$ в общую формулу:
$a_6 = 5 \times 6 = 30$.
Ответ: 30

девятый член
Для нахождения девятого члена подставляем $n = 9$ в общую формулу:
$a_9 = 5 \times 9 = 45$.
Ответ: 45

двадцать первый член
Для нахождения двадцать первого члена подставляем $n = 21$ в общую формулу:
$a_{21} = 5 \times 21 = 105$.
Ответ: 105

n-й член
Как было установлено ранее, формула для нахождения произвольного $n$-го члена последовательности натуральных чисел, кратных пяти, выглядит следующим образом:
$a_n = 5n$.
Ответ: $5n$

15.8 Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите её восьмой, десятый, тридцать седьмой, $n$-й члены.

Возрастающая последовательность всех натуральных чисел, кратных семи, представляет собой арифметическую прогрессию. Первый член этой последовательности ($a_1$) равен 7, а разность прогрессии ($d$) также равна 7. Формула для нахождения $n$-го члена такой последовательности ($a_n$) имеет вид: $a_n = 7n$.

Несколько начальных членов

Для нахождения начальных членов последовательности будем подставлять в формулу $a_n = 7n$ значения $n = 1, 2, 3, 4, 5, \ldots$
Первый член: $a_1 = 7 \cdot 1 = 7$
Второй член: $a_2 = 7 \cdot 2 = 14$
Третий член: $a_3 = 7 \cdot 3 = 21$
Четвертый член: $a_4 = 7 \cdot 4 = 28$
Пятый член: $a_5 = 7 \cdot 5 = 35$
Таким образом, последовательность начинается с чисел 7, 14, 21, 28, 35 и так далее.
Ответ: 7, 14, 21, 28, 35, ...

Восьмой член

Чтобы найти восьмой член последовательности, подставим $n=8$ в общую формулу:
$a_8 = 7 \cdot 8 = 56$.
Ответ: 56.

Десятый член

Для нахождения десятого члена последовательности подставим $n=10$ в формулу:
$a_{10} = 7 \cdot 10 = 70$.
Ответ: 70.

Тридцать седьмой член

Для нахождения тридцать седьмого члена последовательности подставим $n=37$ в формулу:
$a_{37} = 7 \cdot 37 = 259$.
Ответ: 259.

$n$-й член

Формула для нахождения произвольного ($n$-го) члена последовательности натуральных чисел, кратных семи, была определена как произведение номера члена $n$ на 7.
Ответ: $a_n = 7n$.

15.9 Известно, что $(a_n)$ — возрастающая последовательность кубов всех натуральных чисел. Найдите $a_1, a_2, a_3, a_4, a_n$.

По условию, последовательность $(a_n)$ — это возрастающая последовательность кубов всех натуральных чисел. Натуральные числа — это ряд $1, 2, 3, 4, \dots, n, \dots$. Так как последовательность возрастающая, её члены представляют собой кубы натуральных чисел, расположенные в порядке возрастания. Следовательно, n-й член последовательности $a_n$ равен кубу n-го натурального числа, то есть $n^3$.

$a_1$: Первый член последовательности $a_1$ равен кубу первого натурального числа (1).
$a_1 = 1^3 = 1$.
Ответ: $1$.

$a_2$: Второй член последовательности $a_2$ равен кубу второго натурального числа (2).
$a_2 = 2^3 = 8$.
Ответ: $8$.

$a_3$: Третий член последовательности $a_3$ равен кубу третьего натурального числа (3).
$a_3 = 3^3 = 27$.
Ответ: $27$.

$a_4$: Четвёртый член последовательности $a_4$ равен кубу четвёртого натурального числа (4).
$a_4 = 4^3 = 64$.
Ответ: $64$.

$a_n$: Общий (n-й) член последовательности $a_n$ равен кубу n-го натурального числа ($n$). Таким образом, формула для n-го члена последовательности имеет вид:
$a_n = n^3$.
Ответ: $a_n = n^3$.

15.10 Известно, что $(c_n)$ — возрастающая последовательность всех натуральных степеней числа 2. Найдите $c_1, c_2, c_3, c_4, c_n$.

По условию задачи, $(c_n)$ — это возрастающая последовательность, которая состоит из всех натуральных степеней числа 2. Натуральные степени числа 2 — это число 2, возведенное в степень, показатель которой является натуральным числом (1, 2, 3, 4, ...).

Запишем эти степени по порядку, начиная с наименьшего натурального показателя:

$2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots, 2^n, \dots$

Вычислив значения, получим последовательность:

$2, 4, 8, 16, \dots$

Так как это возрастающая последовательность, то ее члены $c_n$ будут соответствовать натуральным степеням числа 2 в порядке их возрастания.

c_1

Первый член последовательности $c_1$ соответствует первой натуральной степени числа 2.

$c_1 = 2^1 = 2$.

Ответ: $c_1 = 2$.

c_2

Второй член последовательности $c_2$ соответствует второй натуральной степени числа 2.

$c_2 = 2^2 = 4$.

Ответ: $c_2 = 4$.

c_3

Третий член последовательности $c_3$ соответствует третьей натуральной степени числа 2.

$c_3 = 2^3 = 8$.

Ответ: $c_3 = 8$.

c_4

Четвертый член последовательности $c_4$ соответствует четвертой натуральной степени числа 2.

$c_4 = 2^4 = 16$.

Ответ: $c_4 = 16$.

c_n

Общий (или $n$-й) член последовательности $c_n$ соответствует $n$-й натуральной степени числа 2. Таким образом, формула для нахождения любого члена последовательности $c_n$ имеет вид:

$c_n = 2^n$.

Ответ: $c_n = 2^n$.

15.11 Известно, что $(x_n)$ — возрастающая последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2.

Найдите $x_1$, $x_8$, $x_{45}$.

По условию, последовательность $(x_n)$ состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Такие числа можно представить в виде $x = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Поскольку последовательность $(x_n)$ возрастающая, ее члены будут соответствовать возрастающим значениям $k$. Найдем первые несколько членов последовательности:

• При $k=0$: $x_1 = 3 \cdot 0 + 2 = 2$
• При $k=1$: $x_2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$
• При $k=2$: $x_3 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$
• При $k=3$: $x_4 = 3 \cdot 3 + 2 = 11$

Мы видим, что $(x_n)$ — это арифметическая прогрессия, у которой первый член $x_1 = 2$ и разность $d = 5 - 2 = 3$.

Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. В нашем случае формула для $n$-го члена последовательности $(x_n)$ будет: $x_n = x_1 + (n-1)d = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$.

Теперь мы можем найти требуемые члены последовательности.

$x_1$

Это первый член последовательности. Как мы уже определили, наименьшее натуральное число, дающее остаток 2 при делении на 3, это 2.
Ответ: 2

$x_8$

Чтобы найти восьмой член последовательности, воспользуемся выведенной формулой $x_n = 3n - 1$, подставив $n=8$:
$x_8 = 3 \cdot 8 - 1 = 24 - 1 = 23$.
Ответ: 23

$x_{45}$

Чтобы найти сорок пятый член последовательности, воспользуемся той же формулой $x_n = 3n - 1$, подставив $n=45$:
$x_{45} = 3 \cdot 45 - 1 = 135 - 1 = 134$.
Ответ: 134