Страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте определение числовой функции одной переменной.

1. Числовая функция одной переменной — это такое правило или закон соответствия $f$, по которому каждому числу $x$ из некоторого заданного числового множества $X$ ставится в соответствие единственное число $y$.

Для описания функции используются следующие основные понятия и обозначения:

• Множество $X$, для всех элементов которого задано правило соответствия, называется областью определения функции. Оно обозначается как $D(f)$ или $D(y)$.
• Переменная $x$, принимающая значения из множества $D(f)$, называется независимой переменной или аргументом функции.
• Переменная $y$, значение которой однозначно определяется значением $x$ по правилу $f$, называется зависимой переменной или значением функции.
• Функциональную зависимость принято записывать в виде $y = f(x)$. Эта запись говорит о том, что $y$ является функцией от $x$, где $f$ — это само правило соответствия.
• Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$, называется областью значений (или множеством значений) функции. Оно обозначается как $E(f)$ или $E(y)$. Формально, $E(f) = \{y \mid y = f(x), x \in D(f)\}$.

Слово «числовая» означает, что и область определения $D(f)$, и область значений $E(f)$ являются числовыми множествами (как правило, подмножествами множества действительных чисел $\mathbb{R}$). «Одной переменной» означает, что значение функции зависит только от одного аргумента $x$.

Более формально, числовую функцию одной переменной можно определить как отображение $f$ некоторого подмножества действительных чисел $X$ в множество действительных чисел $\mathbb{R}$. Это записывается как $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, где $X = D(f)$.

Ответ: Числовая функция одной переменной $y=f(x)$ — это правило $f$, по которому каждому числу $x$ из множества $D(f)$ (области определения) сопоставляется единственное число $y$. Множество всех таких чисел $y$ называется областью значений функции $E(f)$.

2. Что такое естественная область определения функции? Укажите естественную область определения функции:

а) $y = x^2$;

б) $y = \sqrt{x}$;

в) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Естественная область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x$), при которых данная функция имеет смысл (определена). То есть, это все значения $x$, для которых можно выполнить все математические операции, указанные в формуле функции, и получить в результате действительное число.
Основные условия, которые накладывают ограничения на область определения:

• Если в выражении есть дробь, её знаменатель не может быть равен нулю.
• Если в выражении есть корень четной степени (например, квадратный), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
• Если в выражении есть логарифм, то выражение под его знаком должно быть строго положительным.

а) Для функции $y = x^2$.
Это полиномиальная (квадратичная) функция. Операция возведения в квадрат определена для любого действительного числа $x$. Ограничений на переменную $x$ нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{x}$.
Функция содержит арифметический квадратный корень. Область определения арифметического квадратного корня — это множество неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:
$x \ge 0$.
Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

в) Для функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Эта функция определена, если одновременно выполняются два условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\sqrt{x} \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля: $x > 0$.
Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$.

3. Дана функция $y = x^2$, $x \in [1; 3]$. Какова её область определения? Какова её область значений?

Область определения

Область определения функции (обозначается как $D(y)$ или $D(f)$) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. В данном случае, в условии задачи уже указано, что аргумент $x$ принадлежит отрезку $[1; 3]$. Это и есть область определения для рассматриваемой функции.

Ответ: $D(y) = [1; 3]$.

Область значений

Область значений функции (обозначается как $E(y)$ или $E(f)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$ на её области определения.

Наша функция — это $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=x^2$ является монотонно возрастающей. Так как заданный отрезок $x \in [1; 3]$ полностью входит в этот промежуток, то на отрезке $[1; 3]$ функция также монотонно возрастает.

Это означает, что наименьшее значение функция примет в наименьшей точке области определения, а наибольшее значение — в наибольшей.

1. Найдем наименьшее значение функции на отрезке $[1; 3]$. Для этого подставим $x = 1$ в формулу функции:
$y_{min} = 1^2 = 1$.

2. Найдем наибольшее значение функции на отрезке $[1; 3]$. Для этого подставим $x = 3$ в формулу функции:
$y_{max} = 3^2 = 9$.

Поскольку функция непрерывна и монотонна на заданном отрезке, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[1; 9]$.

Ответ: $E(y) = [1; 9]$.

4. Что такое график функции одной переменной?

Графиком функции одной переменной $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, абсциссы которых ($x$) являются допустимыми значениями аргумента (то есть, принадлежат области определения функции), а ординаты ($y$) — соответствующими им значениями функции.

Другими словами, график — это визуальное представление функциональной зависимости в виде линии или набора точек. Он наглядно показывает, как меняется значение функции при изменении её аргумента. Для построения графика функции одной переменной чаще всего используется прямоугольная декартова система координат, состоящая из двух взаимно перпендикулярных осей: горизонтальной оси абсцисс (Ox), по которой откладываются значения независимой переменной $x$, и вертикальной оси ординат (Oy), по которой откладываются значения зависимой переменной $y$.

Процесс построения графика включает в себя следующие шаги:
1. Найти область определения функции.
2. Выбрать несколько значений аргумента $x$ из этой области.
3. Для каждого выбранного значения $x$ вычислить соответствующее значение функции $y = f(x)$.
4. Каждую полученную пару чисел $(x, y)$ отметить как точку на координатной плоскости.
5. Соединить полученные точки плавной линией, если функция является непрерывной. Эта линия и будет являться графиком функции.

Например, для построения графика функции $y = x^2$ можно составить таблицу значений:
Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 = 4$; точка $(-2, 4)$.
Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$; точка $(-1, 1)$.
Если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$.
Если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$; точка $(1, 1)$.
Если $x = 2$, то $y = 2^2 = 4$; точка $(2, 4)$.
Отметив эти точки на плоскости и соединив их, мы получим кривую, известную как парабола, которая и является графиком данной функции. График позволяет легко исследовать свойства функции: находить нули, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и т.д.

Ответ: График функции одной переменной $y = f(x)$ — это множество всех точек плоскости с координатами $(x, f(x))$, где $x$ принимает все значения из области определения функции.

5. Как по графику функции найти область её значений? Приведите пример.

Как по графику функции найти область её значений?

Область значений функции, которая обозначается как $E(f)$ или $E(y)$, — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (ордината). Чтобы найти область значений функции по её графику, необходимо определить, какие значения по оси $OY$ «покрываются» графиком.

Простой алгоритм для нахождения области значений по графику:

1. Представьте, что вы «сплющиваете» (проецируете) весь график на вертикальную ось $OY$.
2. Тот участок или участки оси $OY$, на которые попала проекция графика, и составляют область значений функции.

На практике это означает следующее:

• Нужно найти самую нижнюю точку графика. Её координата по оси $Y$ будет наименьшим значением функции, $y_{min}$. Если график уходит вниз в бесконечность, то наименьшего значения не существует.
• Нужно найти самую высокую точку графика. Её координата по оси $Y$ будет наибольшим значением функции, $y_{max}$. Если график уходит вверх в бесконечность, то наибольшего значения не существует.
• Область значений — это все числа на оси $Y$ между $y_{min}$ и $y_{max}$ (включая или не включая границы, в зависимости от того, достигает ли их график). Например, если есть $y_{min}$, а вверх график уходит в бесконечность, то область значений будет $[y_{min}, +\infty)$. Если есть только $y_{max}$, а вниз график уходит в бесконечность, то область значений — $(-\infty, y_{max}]$.
• Если на графике есть «выколотые» точки, то соответствующие им значения по оси $Y$ нужно исключить из области значений.

Ответ: Чтобы найти область значений функции по её графику, необходимо спроецировать график на ось ординат ($OY$). Полученное на оси множество (отрезок, интервал, луч или их объединение) является областью значений. Это равносильно нахождению всех значений $y$ от наименьшего ($y_{min}$) до наибольшего ($y_{max}$), которые принимает функция.

Приведите пример.

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 2x + 3$. Её график — это парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз.

2. Найдём вершину параболы. Это будет самая высокая точка графика. Координата $x$ вершины находится по формуле $x_0 = -b / (2a)$.
$x_0 = -2 / (2 \cdot (-1)) = 1$.

3. Найдём координату $y$ вершины, подставив $x_0 = 1$ в уравнение функции:
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

4. Вершина параболы находится в точке $(1, 4)$. Так как ветви направлены вниз, это точка максимума. Наибольшее значение функции $y_{max} = 4$.

5. Поскольку ветви параболы уходят вниз неограниченно, наименьшего значения у функции не существует.

6. Таким образом, график функции «занимает» на оси $OY$ все значения от $4$ и до минус бесконечности.

На графике видно, что самая высокая точка имеет координату $y=4$, а вниз график простирается бесконечно.

Ответ: Область значений для функции $y = -x^2 + 2x + 3$ есть промежуток $E(y) = (-\infty, 4]$.

По заданной формуле $n$-го члена последовательности вычислите первые пять членов последовательности:

15.12 а) $a_n = 4n + 1;$

б) $c_n = -7n + 3;$

в) $b_n = 5n + 2;$

г) $a_n = -3n - 7.$

Для вычисления первых пяти членов каждой последовательности необходимо подставить значения $n=1, 2, 3, 4, 5$ в соответствующую формулу n-го члена.

а) Для последовательности $a_n = 4n + 1$:
Первый член ($n=1$): $a_1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5$
Второй член ($n=2$): $a_2 = 4 \cdot 2 + 1 = 8 + 1 = 9$
Третий член ($n=3$): $a_3 = 4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = 4 \cdot 4 + 1 = 16 + 1 = 17$
Пятый член ($n=5$): $a_5 = 4 \cdot 5 + 1 = 20 + 1 = 21$
Ответ: 5, 9, 13, 17, 21.

б) Для последовательности $c_n = -7n + 3$:
Первый член ($n=1$): $c_1 = -7 \cdot 1 + 3 = -7 + 3 = -4$
Второй член ($n=2$): $c_2 = -7 \cdot 2 + 3 = -14 + 3 = -11$
Третий член ($n=3$): $c_3 = -7 \cdot 3 + 3 = -21 + 3 = -18$
Четвертый член ($n=4$): $c_4 = -7 \cdot 4 + 3 = -28 + 3 = -25$
Пятый член ($n=5$): $c_5 = -7 \cdot 5 + 3 = -35 + 3 = -32$
Ответ: -4, -11, -18, -25, -32.

в) Для последовательности $b_n = 5n + 2$:
Первый член ($n=1$): $b_1 = 5 \cdot 1 + 2 = 5 + 2 = 7$
Второй член ($n=2$): $b_2 = 5 \cdot 2 + 2 = 10 + 2 = 12$
Третий член ($n=3$): $b_3 = 5 \cdot 3 + 2 = 15 + 2 = 17$
Четвертый член ($n=4$): $b_4 = 5 \cdot 4 + 2 = 20 + 2 = 22$
Пятый член ($n=5$): $b_5 = 5 \cdot 5 + 2 = 25 + 2 = 27$
Ответ: 7, 12, 17, 22, 27.

г) Для последовательности $a_n = -3n - 7$:
Первый член ($n=1$): $a_1 = -3 \cdot 1 - 7 = -3 - 7 = -10$
Второй член ($n=2$): $a_2 = -3 \cdot 2 - 7 = -6 - 7 = -13$
Третий член ($n=3$): $a_3 = -3 \cdot 3 - 7 = -9 - 7 = -16$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = -3 \cdot 4 - 7 = -12 - 7 = -19$
Пятый член ($n=5$): $a_5 = -3 \cdot 5 - 7 = -15 - 7 = -22$
Ответ: -10, -13, -16, -19, -22.

15.13 a) $a_n = \frac{1}{n+5};$

б) $d_n = \frac{-2}{3-4n};$

В) $c_n = \frac{3}{2n+4};$

Г) $a_n = \frac{-3}{4n-1}.$

а) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n+5}$. Требуется найти ее предел при $n \to \infty$.

Предел последовательности вычисляется как $\lim_{n \to \infty} a_n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+5}$

Рассмотрим поведение числителя и знаменателя при $n \to \infty$.
Числитель — это константа 1.
Знаменатель $n+5$ неограниченно возрастает (стремится к бесконечности), когда $n$ стремится к бесконечности.

Когда мы делим постоянное число на бесконечно большую величину, результат стремится к нулю. Таким образом:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+5} = 0$

Ответ: $0$

б) Дана последовательность, заданная формулой $d_n = \frac{-2}{3-4n}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} d_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-2}{3-4n}$

Для нахождения этого предела разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-2}{n}}{\frac{3}{n}-\frac{4n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-2}{n}}{\frac{3}{n}-4}$

Используем свойство пределов, согласно которому $\lim_{n \to \infty} \frac{c}{n^k} = 0$ для любой константы $c$ и $k>0$.

$\frac{\lim_{n \to \infty} (\frac{-2}{n})}{\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{n}) - \lim_{n \to \infty} 4} = \frac{0}{0-4} = \frac{0}{-4} = 0$

Ответ: $0$

в) Дана последовательность, заданная формулой $c_n = \frac{3}{2n+4}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2n+4}$

Числитель дроби — константа 3. Знаменатель $2n+4$ стремится к бесконечности при $n \to \infty$.

Деление константы на бесконечно большую величину дает в пределе ноль. Проверим это, разделив числитель и знаменатель на $n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}}{\frac{2n}{n}+\frac{4}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}}{2+\frac{4}{n}}$

Применяя свойство пределов, получаем:

$\frac{\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{n})}{\lim_{n \to \infty} 2 + \lim_{n \to \infty} (\frac{4}{n})} = \frac{0}{2+0} = 0$

Ответ: $0$

г) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{-3}{4n-1}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-3}{4n-1}$

Как и в предыдущих случаях, числитель является константой (-3), а знаменатель $4n-1$ стремится к бесконечности при $n \to \infty$. Следовательно, предел последовательности равен нулю.

Для формального доказательства разделим числитель и знаменатель на $n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-3}{n}}{\frac{4n}{n}-\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-3}{n}}{4-\frac{1}{n}}$

Используя свойства пределов, имеем:

$\frac{\lim_{n \to \infty} (\frac{-3}{n})}{\lim_{n \to \infty} 4 - \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n})} = \frac{0}{4-0} = 0$

Ответ: $0$

15.14 а) $x_n = n^2 + 1;$

б) $y_n = -n^3 - 10;$

В) $z_n = -n^3 + 5;$

Г) $w_n = n^2 - 15.$

а) $x_n = n^2 + 1$

Дана числовая последовательность, n-й член которой задается формулой $x_n = n^2 + 1$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, $n=1, 2, 3, \ldots$). Исследуем эту последовательность на монотонность и ограниченность.

Исследование на монотонность.

Чтобы определить, является ли последовательность возрастающей или убывающей, сравним два соседних члена: $x_n$ и $x_{n+1}$. Для этого найдем разность $x_{n+1} - x_n$.

Сначала выразим $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = (n+1)^2 + 1 = (n^2 + 2n + 1) + 1 = n^2 + 2n + 2$.

Теперь вычислим разность: $x_{n+1} - x_n = (n^2 + 2n + 2) - (n^2 + 1) = n^2 + 2n + 2 - n^2 - 1 = 2n + 1$.

Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, выражение $2n + 1$ всегда будет положительным: $2n + 1 \ge 2(1) + 1 = 3 > 0$. Поскольку разность $x_{n+1} - x_n$ всегда положительна, каждый следующий член последовательности больше предыдущего ($x_{n+1} > x_n$). Значит, последовательность является строго возрастающей.

Исследование на ограниченность.

Ограниченность снизу: Поскольку последовательность строго возрастает, ее наименьшим членом является первый член $x_1$. Найдем его: $x_1 = 1^2 + 1 = 2$. Все члены последовательности будут больше или равны 2 ($x_n \ge 2$), следовательно, последовательность ограничена снизу.

Ограниченность сверху: Чтобы проверить, ограничена ли последовательность сверху, найдем ее предел при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + 1) = +\infty$. Так как предел равен бесконечности, последовательность неограниченно возрастает и не ограничена сверху.

Ответ: последовательность является строго возрастающей и ограниченной снизу.

б) $y_n = -n^3 - 10$

Исследуем последовательность, заданную формулой $y_n = -n^3 - 10$, где $n \in \mathbb{N}$.

Исследование на монотонность.

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$. $y_{n+1} = -(n+1)^3 - 10 = -(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 10 = -n^3 - 3n^2 - 3n - 11$.

$y_{n+1} - y_n = (-n^3 - 3n^2 - 3n - 11) - (-n^3 - 10) = -3n^2 - 3n - 1 = -(3n^2 + 3n + 1)$.

Для любого натурального $n \ge 1$ выражение в скобках $3n^2 + 3n + 1$ всегда положительно. Следовательно, вся разность $-(3n^2 + 3n + 1)$ всегда отрицательна. Так как $y_{n+1} - y_n < 0$, то $y_{n+1} < y_n$. Последовательность является строго убывающей.

Исследование на ограниченность.

Ограниченность сверху: Поскольку последовательность строго убывает, ее наибольшим членом является первый член $y_1$. $y_1 = -1^3 - 10 = -1 - 10 = -11$. Все члены последовательности меньше или равны -11 ($y_n \le -11$), следовательно, последовательность ограничена сверху.

Ограниченность снизу: Найдем предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} (-n^3 - 10) = -\infty$. Предел равен минус бесконечности, значит, последовательность не ограничена снизу.

Ответ: последовательность является строго убывающей и ограниченной сверху.

в) $z_n = -n^3 + 5$

Исследуем последовательность, заданную формулой $z_n = -n^3 + 5$, где $n \in \mathbb{N}$.

Исследование на монотонность.

Найдем разность $z_{n+1} - z_n$. $z_{n+1} = -(n+1)^3 + 5 = -(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 5 = -n^3 - 3n^2 - 3n + 4$.

$z_{n+1} - z_n = (-n^3 - 3n^2 - 3n + 4) - (-n^3 + 5) = -3n^2 - 3n - 1 = -(3n^2 + 3n + 1)$.

Как и в пункте б), разность $z_{n+1} - z_n$ всегда отрицательна для $n \in \mathbb{N}$. Следовательно, $z_{n+1} < z_n$, и последовательность является строго убывающей.

Исследование на ограниченность.

Ограниченность сверху: Так как последовательность строго убывает, она ограничена сверху своим первым членом $z_1$. $z_1 = -1^3 + 5 = -1 + 5 = 4$. Все члены последовательности $z_n \le 4$, значит, последовательность ограничена сверху.

Ограниченность снизу: Найдем предел при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} (-n^3 + 5) = -\infty$. Последовательность не ограничена снизу.

Ответ: последовательность является строго убывающей и ограниченной сверху.

г) $w_n = n^2 - 15$

Исследуем последовательность, заданную формулой $w_n = n^2 - 15$, где $n \in \mathbb{N}$.

Исследование на монотонность.

Найдем разность $w_{n+1} - w_n$. $w_{n+1} = (n+1)^2 - 15 = (n^2 + 2n + 1) - 15 = n^2 + 2n - 14$.

$w_{n+1} - w_n = (n^2 + 2n - 14) - (n^2 - 15) = n^2 + 2n - 14 - n^2 + 15 = 2n + 1$.

Как и в пункте а), разность $w_{n+1} - w_n = 2n + 1$ всегда положительна для $n \in \mathbb{N}$. Следовательно, $w_{n+1} > w_n$, и последовательность является строго возрастающей.

Исследование на ограниченность.

Ограниченность снизу: Так как последовательность строго возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $w_1$. $w_1 = 1^2 - 15 = 1 - 15 = -14$. Все члены последовательности $w_n \ge -14$, значит, последовательность ограничена снизу.

Ограниченность сверху: Найдем предел при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 - 15) = +\infty$. Последовательность не ограничена сверху.

Ответ: последовательность является строго возрастающей и ограниченной снизу.

Составьте одну из возможных формул $n$-го члена последовательности по первым пяти её членам:

1, 2, 3, 4, 5, ...;

б) -2, -1, 0, 1, 2, ...;

в) 6, 7, 8, 9, 10, ...;

г) -1, -2, -3, -4, -5, ....

а) 1, 2, 3, 4, 5, ...

Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. В данной последовательности каждый член равен своему порядковому номеру $n$.

Для $n=1$, $a_1 = 1$.

Для $n=2$, $a_2 = 2$.

Для $n=3$, $a_3 = 3$, и так далее.

Данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 1$. Формула n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ в данном случае принимает вид: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 1 = 1 + n - 1 = n$.

Следовательно, одна из возможных формул n-го члена этой последовательности: $a_n = n$.

Ответ: $a_n = n$.

б) –2, –1, 0, 1, 2, ...

Обозначим n-й член последовательности как $b_n$. Заметим, что каждый следующий член на 1 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия.

Первый член последовательности $b_1 = -2$.

Найдем разность прогрессии: $d = b_2 - b_1 = -1 - (-2) = 1$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения: $b_n = -2 + (n-1) \cdot 1 = -2 + n - 1 = n - 3$.

Проверим для $n=5$: $b_5 = 5 - 3 = 2$, что соответствует условию.

Ответ: $b_n = n - 3$.

в) 6, 7, 8, 9, 10, ...

Обозначим n-й член последовательности как $c_n$. Эта последовательность также является арифметической прогрессией, так как разность между соседними членами постоянна.

Первый член последовательности $c_1 = 6$.

Разность прогрессии $d = c_2 - c_1 = 7 - 6 = 1$.

Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения: $c_n = 6 + (n-1) \cdot 1 = 6 + n - 1 = n + 5$.

Проверим для $n=5$: $c_5 = 5 + 5 = 10$, что соответствует условию.

Ответ: $c_n = n + 5$.

г) –1, –2, –3, –4, –5, ...

Обозначим n-й член последовательности как $d_n$. Можно заметить, что члены этой последовательности — это натуральные числа, взятые с противоположным знаком.

Для $n=1$, $d_1 = -1$.

Для $n=2$, $d_2 = -2$.

Для $n=3$, $d_3 = -3$, и так далее.

Отсюда следует, что формула n-го члена: $d_n = -n$.

Также можно решить задачу, рассмотрев последовательность как арифметическую прогрессию. Первый член $d_1 = -1$, а разность $d = d_2 - d_1 = -2 - (-1) = -1$.

По формуле n-го члена: $d_n = d_1 + (n-1)d = -1 + (n-1) \cdot (-1) = -1 - n + 1 = -n$.

Ответ: $d_n = -n$.

15.16 a) $1, 3, 5, 7, 9, \dots;$

Б) $3, 6, 9, 12, 15, \dots;$

В) $4, 6, 8, 10, 12, \dots;$

Г) $4, 8, 12, 16, 20, \dots$

а)

Представлена последовательность чисел: 1, 3, 5, 7, 9, ... . Это последовательность нечетных чисел.

Заметим, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 2. Это означает, что мы имеем дело с арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$.

Общая формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в формулу значения $a_1=1$ и $d=2$:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.

Проверим формулу:

• Для $n=1$: $a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Верно.
• Для $n=2$: $a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Верно.
• Для $n=3$: $a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Верно.

Ответ: Формула n-го члена последовательности: $a_n = 2n - 1$.

б)

Представлена последовательность чисел: 3, 6, 9, 12, 15, ... . Это последовательность чисел, кратных 3.

Каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 3. Следовательно, это арифметическая прогрессия.

Первый член прогрессии $a_1 = 3$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6 - 3 = 3$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1=3$ и $d=3$:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot 3 = 3 + 3n - 3 = 3n$.

Проверим формулу:

• Для $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Верно.
• Для $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 2 = 6$. Верно.
• Для $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 3 = 9$. Верно.

Ответ: Формула n-го члена последовательности: $a_n = 3n$.

в)

Представлена последовательность чисел: 4, 6, 8, 10, 12, ... . Это последовательность четных чисел, начиная с 4.

Каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 2. Это также арифметическая прогрессия.

Первый член прогрессии $a_1 = 4$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6 - 4 = 2$.

Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1=4$ и $d=2$:

$a_n = 4 + (n-1) \cdot 2 = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$.

Проверим формулу:

• Для $n=1$: $a_1 = 2 \cdot 1 + 2 = 4$. Верно.
• Для $n=2$: $a_2 = 2 \cdot 2 + 2 = 6$. Верно.
• Для $n=3$: $a_3 = 2 \cdot 3 + 2 = 8$. Верно.

Ответ: Формула n-го члена последовательности: $a_n = 2n + 2$.

г)

Представлена последовательность чисел: 4, 8, 12, 16, 20, ... . Это последовательность чисел, кратных 4.

Каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 4. Это арифметическая прогрессия.

Первый член прогрессии $a_1 = 4$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 8 - 4 = 4$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1=4$ и $d=4$:

$a_n = 4 + (n-1) \cdot 4 = 4 + 4n - 4 = 4n$.

Проверим формулу:

• Для $n=1$: $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$. Верно.
• Для $n=2$: $a_2 = 4 \cdot 2 = 8$. Верно.
• Для $n=3$: $a_3 = 4 \cdot 3 = 12$. Верно.

Ответ: Формула n-го члена последовательности: $a_n = 4n$.

15.17 а) $1, 4, 9, 16, 25, ...;$

б) $4, 9, 16, 25, 36, ...;$

В) $2, 5, 10, 17, 26, ...;$

Г) $1, 8, 27, 64, 125, ....$

а) Данная последовательность $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ состоит из квадратов последовательных натуральных чисел, начиная с 1.
Первый член: $a_1 = 1^2 = 1$.
Второй член: $a_2 = 2^2 = 4$.
Третий член: $a_3 = 3^2 = 9$.
Четвертый член: $a_4 = 4^2 = 16$.
Пятый член: $a_5 = 5^2 = 25$.
Закономерность описывается формулой n-го члена: $a_n = n^2$.
Найдем следующие члены последовательности:
Шестой член: $a_6 = 6^2 = 36$.
Седьмой член: $a_7 = 7^2 = 49$.
Восьмой член: $a_8 = 8^2 = 64$.
Ответ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...

б) Данная последовательность $4, 9, 16, 25, 36, \dots$ состоит из квадратов последовательных натуральных чисел, начиная с 2.
Первый член: $a_1 = 2^2 = (1+1)^2 = 4$.
Второй член: $a_2 = 3^2 = (2+1)^2 = 9$.
Третий член: $a_3 = 4^2 = (3+1)^2 = 16$.
Закономерность описывается формулой n-го члена: $a_n = (n+1)^2$.
Найдем следующие члены последовательности:
Шестой член (соответствует $7^2$): $a_6 = (6+1)^2 = 7^2 = 49$.
Седьмой член (соответствует $8^2$): $a_7 = (7+1)^2 = 8^2 = 64$.
Восьмой член (соответствует $9^2$): $a_8 = (8+1)^2 = 9^2 = 81$.
Ответ: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

в) Данная последовательность $2, 5, 10, 17, 26, \dots$ представляет собой последовательность квадратов натуральных чисел, к каждому из которых прибавлена единица.
Первый член: $a_1 = 1^2 + 1 = 2$.
Второй член: $a_2 = 2^2 + 1 = 5$.
Третий член: $a_3 = 3^2 + 1 = 10$.
Четвертый член: $a_4 = 4^2 + 1 = 17$.
Пятый член: $a_5 = 5^2 + 1 = 26$.
Закономерность описывается формулой n-го члена: $a_n = n^2 + 1$.
Найдем следующие члены последовательности:
Шестой член: $a_6 = 6^2 + 1 = 36 + 1 = 37$.
Седьмой член: $a_7 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$.
Восьмой член: $a_8 = 8^2 + 1 = 64 + 1 = 65$.
Ответ: 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, ...

г) Данная последовательность $1, 8, 27, 64, 125, \dots$ состоит из кубов последовательных натуральных чисел, начиная с 1.
Первый член: $a_1 = 1^3 = 1$.
Второй член: $a_2 = 2^3 = 8$.
Третий член: $a_3 = 3^3 = 27$.
Четвертый член: $a_4 = 4^3 = 64$.
Пятый член: $a_5 = 5^3 = 125$.
Закономерность описывается формулой n-го члена: $a_n = n^3$.
Найдем следующие члены последовательности:
Шестой член: $a_6 = 6^3 = 216$.
Седьмой член: $a_7 = 7^3 = 343$.
Восьмой член: $a_8 = 8^3 = 512$.
Ответ: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, ...

15.18 Докажите, что число A является членом последовательности ($y_n$), если:

a) $y_n = \frac{2n + 3}{n + 1}$, $A = \frac{11}{5}$;

б) $y_n = 2^{3n - 11}$, $A = 128$;

в) $y_n = 3(n + 2)^{-2}$, $A = \frac{1}{12}$;

г) $y_n = (n - 2)^3 - 1$, $A = 342$.

Для того чтобы доказать, что число A является членом последовательности $(y_n)$, необходимо показать, что существует такое натуральное число $n$, при котором $y_n = A$. Для этого решим соответствующее уравнение для каждого случая.

а) $y_n = \frac{2n + 3}{n + 1}$, $A = \frac{11}{5}$

Составим и решим уравнение $y_n = A$:

$\frac{2n + 3}{n + 1} = \frac{11}{5}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением):

$5(2n + 3) = 11(n + 1)$

$10n + 15 = 11n + 11$

$15 - 11 = 11n - 10n$

$n = 4$

Поскольку мы нашли натуральное число $n=4$, это доказывает, что $A$ является членом последовательности. Это четвертый член последовательности.

Ответ: Число $A = \frac{11}{5}$ является 4-м членом последовательности.

б) $y_n = 2^{3n-11}$, $A = 128$

Составим и решим уравнение $y_n = A$:

$2^{3n-11} = 128$

Представим число 128 в виде степени с основанием 2: $128 = 2^7$.

$2^{3n-11} = 2^7$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3n - 11 = 7$

$3n = 7 + 11$

$3n = 18$

$n = \frac{18}{3}$

$n = 6$

Поскольку мы нашли натуральное число $n=6$, это доказывает, что $A$ является членом последовательности. Это шестой член последовательности.

Ответ: Число $A = 128$ является 6-м членом последовательности.

в) $y_n = 3(n + 2)^{-2}$, $A = \frac{1}{12}$

Составим и решим уравнение $y_n = A$. Сначала преобразуем выражение для $y_n$:

$y_n = \frac{3}{(n + 2)^2}$

Теперь решим уравнение:

$\frac{3}{(n + 2)^2} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$3 \cdot 12 = 1 \cdot (n + 2)^2$

$36 = (n + 2)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $n$ — натуральное число, $n+2$ всегда положительно, поэтому рассматриваем только положительный корень:

$n + 2 = \sqrt{36}$

$n + 2 = 6$

$n = 4$

Поскольку мы нашли натуральное число $n=4$, это доказывает, что $A$ является членом последовательности. Это четвертый член последовательности.

Ответ: Число $A = \frac{1}{12}$ является 4-м членом последовательности.

г) $y_n = (n - 2)^3 - 1$, $A = 342$

Составим и решим уравнение $y_n = A$:

$(n - 2)^3 - 1 = 342$

Решим это уравнение относительно $n$:

$(n - 2)^3 = 342 + 1$

$(n - 2)^3 = 343$

Извлечем кубический корень из обеих частей. Так как $7^3 = 343$, получаем:

$n - 2 = 7$

$n = 7 + 2$

$n = 9$

Поскольку мы нашли натуральное число $n=9$, это доказывает, что $A$ является членом последовательности. Это девятый член последовательности.

Ответ: Число $A = 342$ является 9-м членом последовательности.

15.19 Является ли членом последовательности $(y_n)$ данное число $B$? Если является, то укажите номер соответствующего члена последовательности:

а) $y_n = -n^5 + 3$, $B = -240$;

б) $y_n = \frac{n^2 + 4n + 45}{n^2 + 25}$, $B = 1,8$;

в) $y_n = n^2 + 15n + 16$, $B = -40$;

г) $y_n = (\sqrt[3]{3})^{7n - 6}$, $B = 243$.

а) Чтобы определить, является ли число $B = -240$ членом последовательности $y_n = -n^5 + 3$, необходимо решить уравнение $y_n = B$ и проверить, является ли решение для $n$ натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).
$-n^5 + 3 = -240$
Перенесем 3 в правую часть:
$-n^5 = -240 - 3$
$-n^5 = -243$
Умножим обе части на -1:
$n^5 = 243$
Найдем $n$, извлекая корень пятой степени:
$n = \sqrt[5]{243}$
Поскольку $3^5 = 243$, то $n = 3$.
Так как $n=3$ является натуральным числом, число $B=-240$ является членом последовательности с номером 3.
Ответ: да, является, номер члена последовательности $n=3$.

б) Проверим, является ли число $B = 1,8$ членом последовательности $y_n = \frac{n^2 + 4n + 45}{n^2 + 25}$.
Составим уравнение $y_n = B$:
$\frac{n^2 + 4n + 45}{n^2 + 25} = 1,8$
Представим десятичную дробь 1,8 в виде обыкновенной: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
$\frac{n^2 + 4n + 45}{n^2 + 25} = \frac{9}{5}$
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$5(n^2 + 4n + 45) = 9(n^2 + 25)$
$5n^2 + 20n + 225 = 9n^2 + 225$
Вычтем 225 из обеих частей:
$5n^2 + 20n = 9n^2$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$9n^2 - 5n^2 - 20n = 0$
$4n^2 - 20n = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $4n$:
$4n(n - 5) = 0$
Это уравнение имеет два решения: $n = 0$ или $n = 5$.
Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n = 0$ не подходит. Корень $n=5$ является натуральным числом.
Ответ: да, является, номер члена последовательности $n=5$.

в) Проверим, является ли число $B = -40$ членом последовательности $y_n = n^2 + 15n + 16$.
Приравняем $y_n$ к $B$:
$n^2 + 15n + 16 = -40$
Перенесем -40 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$n^2 + 15n + 16 + 40 = 0$
$n^2 + 15n + 56 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$
Найдем корни уравнения:
$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}$
$n_1 = \frac{-15 - 1}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$n_2 = \frac{-15 + 1}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Оба полученных корня являются отрицательными числами, а номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным.
Ответ: нет, не является.

г) Проверим, является ли число $B = 243$ членом последовательности $y_n = (\sqrt[3]{3})^{7n-6}$.
Составим уравнение $y_n = B$:
$(\sqrt[3]{3})^{7n-6} = 243$
Чтобы решить это показательное уравнение, представим обе его части в виде степени с одинаковым основанием 3.
Левая часть: $(\sqrt[3]{3})^{7n-6} = (3^{1/3})^{7n-6} = 3^{\frac{7n-6}{3}}$.
Правая часть: $243 = 3^5$.
Теперь уравнение выглядит так:
$3^{\frac{7n-6}{3}} = 3^5$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\frac{7n-6}{3} = 5$
Умножим обе части на 3:
$7n - 6 = 15$
Прибавим 6 к обеим частям:
$7n = 21$
Разделим на 7:
$n = 3$
Поскольку $n=3$ является натуральным числом, число $B=243$ является членом последовательности.
Ответ: да, является, номер члена последовательности $n=3$.