Страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.20 Определите число решений системы уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y = 4, \\ y = \sqrt[3]{x-1}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = 2, \\ y = \sqrt[3]{x+2}. \end{cases}$

a)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y = 4 \\ y = \sqrt[3]{x} - 1 \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = 4 - x^2$ и $y = \sqrt[3]{x} - 1$.

График $y = 4 - x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 4)$, ветви которой направлены вниз.

График $y = \sqrt[3]{x} - 1$ — это график функции кубического корня, сдвинутый на 1 единицу вниз. Эта функция монотонно возрастает на всей числовой оси.

Для нахождения точек пересечения приравняем выражения для $y$: $4 - x^2 = \sqrt[3]{x} - 1$.

Это уравнение эквивалентно $5 - x^2 = \sqrt[3]{x}$. Решим его графически, анализируя пересечение функций $f(x) = 5 - x^2$ и $g(x) = \sqrt[3]{x}$.

1. При $x > 0$: функция $f(x)$ убывает, а функция $g(x)$ возрастает. Следовательно, на этом промежутке может быть не более одной точки пересечения. Проверим значения функций в некоторых точках:

• При $x = 1$: $f(1) = 5 - 1^2 = 4$, $g(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. Имеем $f(1) > g(1)$.
• При $x = 2$: $f(2) = 5 - 2^2 = 1$, $g(2) = \sqrt[3]{2} \approx 1.26$. Имеем $f(2) < g(2)$.

Поскольку функции непрерывны и на концах отрезка $[1, 2]$ разность $f(x) - g(x)$ принимает значения разных знаков, то на интервале $(1, 2)$ существует ровно одна точка пересечения.

2. При $x < 0$: обе функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастают. Рассмотрим разность $H(x) = f(x) - g(x) = 5 - x^2 - \sqrt[3]{x}$.

• При $x = -1$: $H(-1) = 5 - (-1)^2 - \sqrt[3]{-1} = 5 - 1 - (-1) = 5$.
• При $x = -8$: $H(-8) = 5 - (-8)^2 - \sqrt[3]{-8} = 5 - 64 - (-2) = -57$.

Так как функция $H(x)$ непрерывна и на промежутке $(-8, -1)$ принимает значения разных знаков ($H(-8) < 0$ и $H(-1) > 0$), на этом интервале есть по крайней мере один корень. Анализ производной показывает, что на промежутке $(-\infty, 0)$ функция имеет только один локальный экстремум (максимум), поэтому корень на этом промежутке ровно один.

Таким образом, существует одна точка пересечения при $x > 0$ и одна при $x < 0$. Всего система имеет два решения.

Ответ: 2.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} xy = 2 \\ y = \sqrt[3]{x} + 2 \end{cases} $

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = 2/x$ и $y = \sqrt[3]{x} + 2$.

График $y = 2/x$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

График $y = \sqrt[3]{x} + 2$ — это график функции кубического корня, сдвинутый на 2 единицы вверх. Эта функция монотонно возрастает.

Чтобы найти число решений, рассмотрим функцию $F(x) = (\sqrt[3]{x} + 2) - \frac{2}{x}$ и найдем число ее корней. Заметим, что $x \ne 0$.

Найдем производную функции $F(x)$: $F'(x) = (\sqrt[3]{x} + 2 - 2x^{-1})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} - (-1) \cdot 2x^{-2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{2}{x^2}$.

При любом $x \ne 0$, оба слагаемых в производной положительны: $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0$ и $\frac{2}{x^2} > 0$. Следовательно, $F'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция $F(x)$ строго возрастает на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Рассмотрим поведение функции на этих интервалах:
1. На интервале $(0, +\infty)$:
$\lim_{x \to 0^+} F(x) = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt[3]{x} + 2 - \frac{2}{x}) = 0 + 2 - \infty = -\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} F(x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x} + 2 - \frac{2}{x}) = +\infty + 2 - 0 = +\infty$.
Поскольку функция $F(x)$ непрерывна и возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ на этом интервале, она пересекает ось абсцисс ровно один раз.

2. На интервале $(-\infty, 0)$:
$\lim_{x \to -\infty} F(x) = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt[3]{x} + 2 - \frac{2}{x}) = -\infty + 2 - 0 = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^-} (\sqrt[3]{x} + 2 - \frac{2}{x}) = 0 + 2 - (-\infty) = +\infty$.
Поскольку функция $F(x)$ непрерывна и возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ на этом интервале, она также пересекает ось абсцисс ровно один раз.

Таким образом, существует одно решение при $x > 0$ и одно решение при $x < 0$. Всего система имеет два решения.

Ответ: 2.

14.21 Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \sqrt[3]{x - 3} + 2;$

б) $y = -\sqrt[3]{x};$

В) $y = \sqrt[3]{x} + 2;$

Г) $y = -\sqrt[3]{x} - 4.$

а) $y = \sqrt[3]{x-3} + 2$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).
2. Сдвинем график $y = \sqrt[3]{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Получим график функции $y = \sqrt[3]{x-3}$.
3. Сдвинем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получим искомый график функции $y = \sqrt[3]{x-3} + 2$.

Контрольные точки для построения:

• При $x = -5$, $y = \sqrt[3]{-5-3} + 2 = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$.
• При $x = 2$, $y = \sqrt[3]{2-3} + 2 = \sqrt[3]{-1} + 2 = -1 + 2 = 1$.
• При $x = 3$, $y = \sqrt[3]{3-3} + 2 = 0 + 2 = 2$. (Точка перегиба)
• При $x = 4$, $y = \sqrt[3]{4-3} + 2 = \sqrt[3]{1} + 2 = 1 + 2 = 3$.
• При $x = 11$, $y = \sqrt[3]{11-3} + 2 = \sqrt[3]{8} + 2 = 2 + 2 = 4$.

Прочитаем график (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как корень кубический извлекается из любого действительного числа.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\sqrt[3]{x-3} + 2 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x-3} = -2 \Rightarrow x-3 = (-2)^3 = -8 \Rightarrow x = -5$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > -5$; $y < 0$ при $x < -5$.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Экстремумы: локальных максимумов и минимумов нет.
• Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Центр симметрии графика — точка (3, 2).

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$; функция возрастает на всей области определения; нуль функции $x=-5$; $y>0$ при $x \in (-5; +\infty)$, $y<0$ при $x \in (-\infty; -5)$; функция общего вида.

б) $y = -\sqrt[3]{x}$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

Контрольные точки для построения:

• При $x = -8$, $y = -\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$.
• При $x = -1$, $y = -\sqrt[3]{-1} = -(-1) = 1$.
• При $x = 0$, $y = -\sqrt[3]{0} = 0$. (Точка перегиба)
• При $x = 1$, $y = -\sqrt[3]{1} = -1$.
• При $x = 8$, $y = -\sqrt[3]{8} = -2$.

Прочитаем график (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\sqrt[3]{x} = 0 \Rightarrow x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < 0$; $y < 0$ при $x > 0$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Четность, нечетность: функция нечетная, так как $y(-x) = -\sqrt[3]{-x} = -(-\sqrt[3]{x}) = \sqrt[3]{x}$ и $-y(x) = -(-\sqrt[3]{x}) = \sqrt[3]{x}$. Однако, $y(-x) = -y(x)$ не выполняется. Проверим еще раз: $y(x) = -\sqrt[3]{x}$. $y(-x) = -\sqrt[3]{-x} = -(-\sqrt[3]{x}) = \sqrt[3]{x}$. $-y(x) = -(-\sqrt[3]{x}) = \sqrt[3]{x}$. Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, что является определением нечетной функции. График симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ отражением относительно оси Ox. Свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$; функция убывает на всей области определения; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$, $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$; функция нечетная.

в) $y = \sqrt[3]{x} + 2$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Контрольные точки для построения:

• При $x = -8$, $y = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$.
• При $x = -1$, $y = \sqrt[3]{-1} + 2 = -1 + 2 = 1$.
• При $x = 0$, $y = \sqrt[3]{0} + 2 = 2$. (Точка перегиба)
• При $x = 1$, $y = \sqrt[3]{1} + 2 = 1 + 2 = 3$.
• При $x = 8$, $y = \sqrt[3]{8} + 2 = 2 + 2 = 4$.

Прочитаем график (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\sqrt[3]{x} + 2 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = -2 \Rightarrow x = (-2)^3 = -8$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > -8$; $y < 0$ при $x < -8$.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Четность, нечетность: функция общего вида. Центр симметрии графика — точка (0, 2).

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$; функция возрастает на всей области определения; нуль функции $x=-8$; $y>0$ при $x \in (-8; +\infty)$, $y<0$ при $x \in (-\infty; -8)$; функция общего вида.

г) $y = -\sqrt[3]{x} - 4$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Отразим его симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -\sqrt[3]{x}$.
3. Сдвинем полученный график на 4 единицы вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = -\sqrt[3]{x} - 4$.

Контрольные точки для построения:

• При $x = -8$, $y = -\sqrt[3]{-8} - 4 = 2 - 4 = -2$.
• При $x = -1$, $y = -\sqrt[3]{-1} - 4 = 1 - 4 = -3$.
• При $x = 0$, $y = -\sqrt[3]{0} - 4 = -4$. (Точка перегиба)
• При $x = 1$, $y = -\sqrt[3]{1} - 4 = -1 - 4 = -5$.
• При $x = 8$, $y = -\sqrt[3]{8} - 4 = -2 - 4 = -6$.

Прочитаем график (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\sqrt[3]{x} - 4 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = -4 \Rightarrow x = (-4)^3 = -64$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < -64$; $y < 0$ при $x > -64$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Четность, нечетность: функция общего вида. Центр симметрии графика — точка (0, -4).

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ отражением относительно оси Ox и сдвигом на 4 единицы вниз. Свойства: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$; функция убывает на всей области определения; нуль функции $x=-64$; $y>0$ при $x \in (-\infty; -64)$, $y<0$ при $x \in (-64; +\infty)$; функция общего вида.

14.22 Решите уравнение $f(x) = p$, если:

a) $f(x) = \sqrt[3]{x - 1}$, $p = 2$;

б) $f(x) = -\sqrt[3]{x + 2}$, $p = 3$.

а) Для решения уравнения $f(x) = p$ подставим заданные $f(x) = \sqrt[3]{x-1}$ и $p=2$. Получаем уравнение: $\sqrt[3]{x-1} = 2$
Чтобы избавиться от знака кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень: $(\sqrt[3]{x-1})^3 = 2^3$
$x-1 = 8$
Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $x = 8 + 1$
$x = 9$

Ответ: 9

б) Для решения уравнения $f(x) = p$ подставим заданные $f(x) = -\sqrt[3]{x+2}$ и $p=3$. Получаем уравнение: $-\sqrt[3]{x+2} = 3$
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минуса перед корнем: $\sqrt[3]{x+2} = -3$
Теперь возведем обе части уравнения в третью степень: $(\sqrt[3]{x+2})^3 = (-3)^3$
$x+2 = -27$
Перенесем 2 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $x = -27 - 2$
$x = -29$

Ответ: -29

14.23 Решите уравнение:

a) $ \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} = 6; $

б) $ 2\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 2 = 0. $

а)

Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} = 6$.

Данное уравнение можно свести к квадратному, если заметить, что $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 + t = 6$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + t - 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = -1$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -6$. Методом подбора находим корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = -3$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Для $t_1 = 2$:

$\sqrt[3]{x} = 2$

Возводим обе части уравнения в третью степень:

$x_1 = 2^3 = 8$

2. Для $t_2 = -3$:

$\sqrt[3]{x} = -3$

Возводим обе части уравнения в третью степень:

$x_2 = (-3)^3 = -27$

Таким образом, мы получили два корня.

Ответ: $8; -27$.

б)

Исходное уравнение: $2\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 2 = 0$.

Это уравнение также сводится к квадратному с помощью замены. Пусть $t = \sqrt[3]{x}$, тогда $\sqrt[3]{x^2} = t^2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$2t^2 - t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-1$ и $c=2$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$

Так как дискриминант $D = -15 < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $t$.

Поскольку переменная $t$ должна быть действительным числом (как кубический корень из действительного числа $x$), а для нее не найдено действительных решений, то и исходное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: корней нет.

14.24 Решите неравенство:

а) $ \sqrt[3]{x} > 1 $;

б) $ \sqrt[3]{x} > 2 - x $;

в) $ \sqrt[3]{x} \le -2 $;

г) $ \sqrt[3]{x} \le -x - 2 $.

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} > 1$.

Область допустимых значений для $x$ не ограничена, так как кубический корень можно извлечь из любого действительного числа.

Функция $y = z^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому мы можем возвести обе части неравенства в третью степень, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{x})^3 > 1^3$

$x > 1$

Решением неравенства является интервал $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} > 2 - x$.

ОДЗ: $x$ — любое действительное число.

Рассмотрим функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и $g(x) = 2 - x$. Функция $f(x)$ является монотонно возрастающей, а функция $g(x)$ — монотонно убывающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $\sqrt[3]{x} = 2 - x$.

Подбором находим, что $x=1$ является корнем уравнения: $\sqrt[3]{1} = 1$ и $2 - 1 = 1$.

Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x > 1$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(1)$ и $g(x) < g(1)$, следовательно, $f(x) > g(x)$. То есть $\sqrt[3]{x} > 2 - x$ при $x > 1$.

Алгебраический метод:

Сделаем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = y^3$. Неравенство примет вид:

$y > 2 - y^3$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^3 + y - 2 > 0$

Найдем корни многочлена $P(y) = y^3 + y - 2$. Заметим, что $y=1$ является корнем, так как $1^3 + 1 - 2 = 0$. Разделим многочлен на $(y-1)$:

$(y^3 + y - 2) : (y - 1) = y^2 + y + 2$

Таким образом, неравенство можно записать в виде:

$(y-1)(y^2 + y + 2) > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $y^2 + y + 2$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $y^2 + y + 2$ всегда положительно при любом $y$.

Следовательно, знак произведения зависит только от знака множителя $(y-1)$. Неравенство сводится к:

$y - 1 > 0 \implies y > 1$

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[3]{x} > 1$

Возведем обе части в куб:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} \le -2$.

ОДЗ: $x$ — любое действительное число.

Возведем обе части неравенства в третью степень. Так как функция $y=z^3$ монотонно возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[3]{x})^3 \le (-2)^3$

$x \le -8$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, -8]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8]$.

Дано неравенство $\sqrt[3]{x} \le -x - 2$.

ОДЗ: $x$ — любое действительное число.

Сделаем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = y^3$. Неравенство примет вид:

$y \le -y^3 - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^3 + y + 2 \le 0$

Найдем корни многочлена $P(y) = y^3 + y + 2$. Подбором находим, что $y=-1$ является корнем: $(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Разделим многочлен на $(y+1)$:

$(y^3 + y + 2) : (y + 1) = y^2 - y + 2$

Неравенство можно переписать в виде:

$(y+1)(y^2 - y + 2) \le 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $y^2 - y + 2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $y^2 - y + 2$ всегда положительно при любом $y$.

Значит, знак произведения определяется знаком множителя $(y+1)$. Неравенство равносильно следующему:

$y + 1 \le 0 \implies y \le -1$

Выполним обратную замену:

$\sqrt[3]{x} \le -1$

Возведем обе части в третью степень:

$x \le (-1)^3$

$x \le -1$

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

14.25 Постройте и прочитайте график функции

$y = \begin{cases} \sqrt[3]{x}, \text{ если } x \le -1; \\ x^5, \text{ если } -1 < x < 1; \\ \sqrt[3]{x}, \text{ если } x \ge 1. \end{cases}$

Построение графика функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждый участок отдельно.

• При $x \le -1$ и $x \ge 1$ функция имеет вид $y = \sqrt[3]{x}$. Это график кубического корня. Для построения отметим контрольные точки: при $x=1, y=1$; при $x=8, y=2$; при $x=-1, y=-1$; при $x=-8, y=-2$.
• При $-1 < x < 1$ функция имеет вид $y = x^5$. Это степенная функция. График проходит через начало координат $(0,0)$. В точках $x=-1$ и $x=1$ значения функции стремятся к $-1$ и $1$ соответственно, так как $\lim_{x\to -1^+} x^5 = -1$ и $\lim_{x\to 1^-} x^5 = 1$.

Проверим непрерывность функции в точках "стыка":

• В точке $x=-1$: значение слева $y(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1$. Предел справа $\lim_{x\to -1^+} x^5 = (-1)^5 = -1$. Так как значения совпадают, функция непрерывна в точке $x=-1$.
• В точке $x=1$: значение справа $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. Предел слева $\lim_{x\to 1^-} x^5 = 1^5 = 1$. Так как значения совпадают, функция непрерывна в точке $x=1$.

Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси. График представляет собой комбинацию трех кривых, плавно переходящих друг в друга.

Свойства функции (чтение графика)

1. Область определения:

   Функция определена для всех $x \le -1$, для всех $x$ в интервале $-1 < x < 1$ и для всех $x \ge 1$. Объединение этих множеств дает всю числовую ось.
   Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений:

   На промежутке $(-\infty, -1]$ значения функции покрывают промежуток $(-\infty, -1]$. На интервале $(-1, 1)$ значения функции покрывают интервал $(-1, 1)$. На промежутке $[1, +\infty)$ значения функции покрывают промежуток $[1, +\infty)$. Объединяя эти множества, получаем всю числовую ось.
   Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность/нечетность:

   Проверим, является ли функция нечетной, то есть выполняется ли равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения симметрична относительно нуля. Если $|x| \ge 1$, то $f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -f(x)$. Если $|x| < 1$, то $f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)$. Равенство выполняется для всех $x$ из области определения, следовательно, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
   Ответ: функция нечетная.

4. Нули функции:

   Найдем значения $x$, при которых $y=0$. На промежутках $x \le -1$ и $x \ge 1$ решаем уравнение $\sqrt[3]{x}=0$, откуда $x=0$. Это значение не входит в указанные промежутки. На интервале $-1 < x < 1$ решаем уравнение $x^5=0$, откуда $x=0$. Это значение входит в данный интервал.
   Ответ: $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства:

   Найдем промежутки, где функция положительна и где отрицательна. $y > 0$: при $x \ge 1$ из $\sqrt[3]{x} > 0$ и при $0 < x < 1$ из $x^5 > 0$. Объединяя, получаем $x \in (0; +\infty)$. $y < 0$: при $x \le -1$ из $\sqrt[3]{x} < 0$ и при $-1 < x < 0$ из $x^5 < 0$. Объединяя, получаем $x \in (-\infty; 0)$.
   Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

6. Монотонность:

   Найдем производную функции: $y' = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, & \text{если } |x| > 1; \\ 5x^4, & \text{если } |x| < 1. \end{cases}$ Производная $y' \ge 0$ на всей области определения (кроме точек $x=\pm 1$, где она не существует) и обращается в ноль только в точке $x=0$. Так как функция непрерывна, она монотонно возрастает на всей своей области определения.
   Ответ: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

7. Непрерывность:

   Каждая из функций, составляющих данную, непрерывна на своем интервале. Как было показано при построении графика, в точках "стыка" $x=-1$ и $x=1$ пределы слева и справа совпадают со значением функции в этих точках, поэтому функция непрерывна на всей числовой оси.
   Ответ: функция непрерывна на $\mathbb{R}$.

8. Экстремумы:

   Поскольку функция является монотонно возрастающей на всей области определения, у нее нет точек локального максимума или минимума.
   Ответ: экстремумов нет.

9. Выпуклость/вогнутость и точки перегиба:

   Найдем вторую производную: $y'' = \begin{cases} -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}, & \text{если } |x| > 1; \\ 20x^3, & \text{если } |x| < 1. \end{cases}$ Анализируем знак второй производной:

   • При $x \in (-\infty; -1)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
   • При $x \in (-1; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
   • При $x \in (0; 1)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
   • При $x \in (1; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

   В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, поэтому $(0;0)$ — точка перегиба. В точках $x=-1$ и $x=1$ также происходит смена направления выпуклости, но производная в этих точках не существует (левая и правая производные не равны), поэтому точки $(-1;-1)$ и $(1;1)$ являются точками излома графика.
   Ответ: график функции выпуклый вниз на $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$; выпуклый вверх на $(-1; 0)$ и $(1; +\infty)$. Точка перегиба: $(0;0)$.

14.26 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 2(x+4)^2, & \text{если } -6 \le x \le -2; \\ -x^3, & \text{если } -2 < x < 0; \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } 0 \le x \le 8. \end{cases}$

При каком значении параметра $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет:

a) два корня;

б) три корня;

в) четыре корня;

г) не имеет корней?

Для решения задачи сначала построим график функции $y = f(x)$. Функция задана кусочно, поэтому рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $-6 \le x \le -2$ функция задана формулой $y = 2(x+4)^2$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x = -4$. Координаты вершины: $y(-4) = 2(-4+4)^2 = 0$, то есть точка $(-4, 0)$. Вычислим значения функции на концах промежутка: $f(-6) = 2(-6+4)^2 = 8$ (точка $(-6, 8)$) и $f(-2) = 2(-2+4)^2 = 8$ (точка $(-2, 8)$). Все точки на этом участке, включая концы, принадлежат графику.

2. На промежутке $-2 < x < 0$ функция задана формулой $y = -x^3$. Это график кубической функции, симметричный графику $y=x^3$ относительно оси Ox. Найдем предельные значения на границах интервала (эти точки не включаются в данный участок графика, они "выколотые"): при $x \to -2$ справа, $y \to -(-2)^3 = 8$; при $x \to 0$ слева, $y \to -(0)^3 = 0$.

3. На промежутке $0 \le x \le 8$ функция задана формулой $y = \sqrt[3]{x}$. Это график функции кубического корня. На концах промежутка имеем: $f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$ (точка $(0, 0)$) и $f(8) = \sqrt[3]{8} = 2$ (точка $(8, 2)$). Эти точки принадлежат графику.

Соединив все части, получаем непрерывный график. Функция непрерывна в точках "стыка" $x=-2$ (так как $f(-2)=8$ и предел справа равен 8) и $x=0$ (так как $f(0)=0$ и предел слева равен 0). Область значений функции $E(f) = [0, 8]$.

Теперь определим, при каких значениях параметра $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет указанное количество корней. Это эквивалентно нахождению числа точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=p$.

а) два корня
Прямая $y=p$ пересекает график в двух точках в двух случаях:
1. Когда прямая проходит через два локальных минимума. Это происходит при $p=0$. Корни: $x=-4$ и $x=0$.
2. Когда прямая проходит через локальный максимум в точке $x=-2$ и точку на левой границе области определения $x=-6$. Это происходит при $p=8$. Корни: $x=-6$ и $x=-2$.
Ответ: $p \in \{0, 8\}$.

б) три корня
Три корня уравнение имеет, если прямая $y=p$ пересекает график в трех точках. Из анализа графика видно, что это происходит, когда прямая $y=p$ находится строго между уровнями $y=2$ и $y=8$. В этом диапазоне $2 < p < 8$ прямая пересекает параболу $y=2(x+4)^2$ в двух точках и кубическую кривую $y=-x^3$ в одной точке, что в сумме дает три корня.
Ответ: $p \in (2, 8)$.

в) четыре корня
Четыре корня уравнение имеет, если прямая $y=p$ пересекает график в четырех точках. Это происходит, когда прямая $y=p$ находится между уровнями $y=0$ и $y=2$, включая уровень $y=2$. При $0 < p \le 2$ прямая пересекает:
- параболу $y=2(x+4)^2$ в двух точках;
- кривую $y=-x^3$ в одной точке;
- кривую $y=\sqrt[3]{x}$ в одной точке.
Итого $2+1+1=4$ корня.
Ответ: $p \in (0, 2]$.

г) не имеет корней
Уравнение не имеет корней, если прямая $y=p$ не имеет общих точек с графиком функции. Поскольку область значений функции $E(f) = [0, 8]$, это происходит, когда $p$ находится за пределами этого отрезка.
Ответ: $p \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.