Страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.7 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{-4}$:

а) на отрезке $[\frac{1}{2}; 1];

б) на луче $(-\infty; -2];

в) на полуинтервале $(-3; -1];

г) на луче $[3; +\infty).

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{-4}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^4}$. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Поскольку $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, значения функции всегда положительны.

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции:

$y' = (x^{-4})' = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.

• При $x > 0$, $x^5 > 0$, следовательно, $y' < 0$. Это означает, что функция строго убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• При $x < 0$, $x^5 < 0$, следовательно, $y' > 0$. Это означает, что функция строго возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) на отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$

Данный отрезок полностью лежит в промежутке $(0; +\infty)$, где функция $y = x^{-4}$ является строго убывающей. Для непрерывной убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его левой точке, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-4} = \frac{1}{(1/2)^4} = \frac{1}{1/16} = 16$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{-4} = \frac{1}{1^4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $16$.

б) на луче $(-\infty; -2]$

Данный луч полностью лежит в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция $y = x^{-4}$ является строго возрастающей. Для возрастающей функции на луче вида $(-\infty; a]$ наибольшее значение, если оно существует, достигается в правой конечной точке $x=a$.

Найдем наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$.

Чтобы найти наименьшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^4} = 0$.

Функция стремится к нулю, но никогда его не достигает, так как $y(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, на данном луче наименьшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $\frac{1}{16}$.

в) на полуинтервале $(-3; -1]$

Данный полуинтервал полностью лежит в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция $y = x^{-4}$ является строго возрастающей. Следовательно, наибольшее значение достигается в самой правой точке промежутка, которая в него включена.

Найдем наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(-1) = (-1)^{-4} = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$.

Левая граница $x=-3$ не включена в полуинтервал. При $x$, стремящемся к $-3$ справа, значения функции стремятся к $y(-3)$:

$\lim_{x \to -3^+} y(x) = y(-3) = (-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81}$.

Поскольку $x$ может быть сколь угодно близко к $-3$, но не равен ему, значение $\frac{1}{81}$ является точной нижней гранью (инфимумом) значений функции, но не достигается. Таким образом, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $1$.

г) на луче $[3; +\infty)$

Данный луч полностью лежит в промежутке $(0; +\infty)$, где функция $y = x^{-4}$ является строго убывающей. Для убывающей функции на луче вида $[a; +\infty)$ наибольшее значение, если оно существует, достигается в левой начальной точке $x=a$.

Найдем наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(3) = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.

Чтобы найти наименьшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$.

$\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^4} = 0$.

Функция стремится к нулю, но никогда его не достигает. Следовательно, на данном луче наименьшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение $\frac{1}{81}$.

13.8 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{-5}$:

а) на отрезке $[-2; -1];

б) на луче $(-\infty; -\frac{1}{2}];

в) на полуинтервале $(\frac{1}{2}; 4];

г) на луче $[2; +\infty)$.

Для решения задачи проанализируем функцию $y = x^{-5}$, которую можно записать как $y = \frac{1}{x^5}$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции, чтобы определить промежутки монотонности:

$y' = (x^{-5})' = -5x^{-5-1} = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

Поскольку $x^6 > 0$ для любого $x \neq 0$, производная $y' = -\frac{5}{x^6}$ всегда отрицательна на всей области определения. Это означает, что функция $y = x^{-5}$ является строго убывающей на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

а) на отрезке [-2; -1]

Данный отрезок $[-2; -1]$ полностью находится в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция строго убывает. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в точке $a$, а наименьшее — в точке $b$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^{-5} = \frac{1}{(-1)^5} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -1$, наибольшее значение $y_{наиб} = -\frac{1}{32}$.

б) на луче $(-\infty; -\frac{1}{2}]$

Данный луч $(-\infty; -\frac{1}{2}]$ находится в промежутке $(-\infty; 0)$, где функция строго убывает. Следовательно, наименьшее значение будет достигаться в самой правой точке промежутка, то есть при $x = -\frac{1}{2}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^{-5} = (-2)^5 = -32$.

Наибольшего значения на этом луче не существует. При $x \to -\infty$, значение функции $y = \frac{1}{x^5}$ стремится к 0, но никогда не достигает его. Таким образом, множество значений функции на этом луче - это полуинтервал $[-32; 0)$, который не имеет максимального элемента.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -32$, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале $(\frac{1}{2}; 4]$

Данный полуинтервал $(\frac{1}{2}; 4]$ находится в промежутке $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Наименьшее значение будет достигаться в самой правой точке промежутка, то есть при $x=4$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = 4^{-5} = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024}$.

Наибольшего значения на этом полуинтервале не существует, так как левая граница $x = \frac{1}{2}$ не включена. При $x$, стремящемся к $\frac{1}{2}$ справа, значения функции стремятся к $y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-5} = 2^5 = 32$, но не достигают этого значения. Множество значений функции - $[\frac{1}{1024}; 32)$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = \frac{1}{1024}$, наибольшего значения не существует.

г) на луче $[2; +\infty)$

Данный луч $[2; +\infty)$ находится в промежутке $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Следовательно, наибольшее значение будет достигаться в самой левой точке промежутка, то есть при $x=2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Наименьшего значения на этом луче не существует. При $x \to +\infty$, значение функции $y = \frac{1}{x^5}$ стремится к 0, но никогда не достигает его. Множество значений функции на этом луче - это полуинтервал $(0; \frac{1}{32}]$, который не имеет минимального элемента.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{1}{32}$, наименьшего значения не существует.

13.9 Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = x$ и $y = \frac{1}{x^3}$;

б) $y = x^{-4}$ и $y = -2$;

в) $y = x^{-7}$ и $y = -x$;

г) $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = |x|$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x$ и $y = \frac{1}{x^3}$, приравняем их правые части. Область определения функции $y = \frac{1}{x^3}$ — все действительные числа, кроме $x=0$.
$x = \frac{1}{x^3}$
Умножим обе части уравнения на $x^3$ (при условии, что $x \neq 0$):
$x \cdot x^3 = 1$
$x^4 = 1$
Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в любое из исходных уравнений, например, в $y = x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1$. Первая точка пересечения: $(1, 1)$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1$. Вторая точка пересечения: $(-1, -1)$.
Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^{-4}$ и $y = -2$, приравняем их правые части.
$x^{-4} = -2$
Запишем $x^{-4}$ в виде дроби:
$\frac{1}{x^4} = -2$
Выражение $x^4$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$. Поскольку по области определения $x \neq 0$, то $x^4$ всегда строго положительно. Следовательно, левая часть уравнения, $\frac{1}{x^4}$, также всегда положительна. Правая часть уравнения — отрицательное число. Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому у данного уравнения нет действительных решений.
Ответ: точек пересечения нет.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^{-7}$ и $y = -x$, приравняем их правые части.
$x^{-7} = -x$
Запишем $x^{-7}$ в виде дроби, при этом $x \neq 0$:
$\frac{1}{x^7} = -x$
Умножим обе части на $x^7$:
$1 = -x \cdot x^7$
$1 = -x^8$
$x^8 = -1$
Степень $x^8$ для любого действительного числа $x$ является неотрицательным числом ($x^8 \ge 0$). Уравнение $x^8 = -1$ не имеет действительных решений.
Ответ: точек пересечения нет.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = |x|$, приравняем их правые части. Область определения $x \neq 0$.
$\frac{1}{x^2} = |x|$
Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем рассмотреть два случая для раскрытия модуля.
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{x^2} = x$
$1 = x^3$
Отсюда $x = 1$. Найдем соответствующий $y$: $y = |1| = 1$. Первая точка пересечения: $(1, 1)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{x^2} = -x$
$1 = -x^3$
$x^3 = -1$
Отсюда $x = -1$. Найдем соответствующий $y$: $y = |-1| = 1$. Вторая точка пересечения: $(-1, 1)$.
Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 1)$.

13.10 Решите графически уравнение:

а) $x^{-5} = x$;

б) $\frac{1}{x^4} = x^2$;

В) $\frac{1}{x^7} = x$;

Г) $x^{-4} = \sqrt{x}$.

а) Чтобы решить уравнение $x^{-5} = x$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = x^{-5}$ и $y = x$ и найти абсциссы их точек пересечения.

Функция $y = x^{-5}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^5}$. Это степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Её график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Функция $y = x$ — это линейная функция, её график — прямая, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Эта прямая также проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

При построении графиков видно, что они пересекаются в двух точках с координатами $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) Для графического решения уравнения $\frac{1}{x^4} = x^2$ построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{x^4}$ и $y = x^2$.

Функция $y = \frac{1}{x^4}$ или $y = x^{-4}$ — это степенная функция с четным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и II координатных четвертях, так как $x^4 > 0$ при любом $x \neq 0$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY) и проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Функция $y = x^2$ — это квадратичная функция, ее график — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Парабола также симметрична относительно оси OY и проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Графики обеих функций пересекаются в двух точках: $(1; 1)$ и $(-1; 1)$. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

в) Решим уравнение $\frac{1}{x^7} = x$ графическим методом. Для этого построим графики функций $y = \frac{1}{x^7}$ и $y = x$.

Функция $y = \frac{1}{x^7}$ (или $y = x^{-7}$) — степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Её график, как и у функции из пункта а), является гиперболой с ветвями в I и III четвертях, симметричной относительно начала координат. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Функция $y = x$ — это прямая, биссектриса I и III координатных четвертей, проходящая через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Очевидно, что графики пересекаются в точках $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Следовательно, решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

г) Чтобы решить уравнение $x^{-4} = \sqrt{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{-4}$ и $y = \sqrt{x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Для функции $y = x^{-4}$ (или $y = \frac{1}{x^4}$) $x \neq 0$. Для функции $y = \sqrt{x}$ необходимо, чтобы $x \ge 0$. Объединяя эти условия, получаем, что решение нужно искать при $x > 0$. Таким образом, нас интересует пересечение графиков только в I координатной четверти.

График функции $y = x^{-4}$ в I четверти — это ветвь кривой, проходящая через точку $(1; 1)$. Функция убывает на всей области определения $x > 0$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точку $(1; 1)$. Функция возрастает на всей своей области определения $x \ge 0$.

Поскольку одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает на интервале $(0; +\infty)$, они могут пересечься не более одного раза. Мы видим, что оба графика проходят через точку $(1; 1)$, которая и является их единственной точкой пересечения.

Абсцисса этой точки — единственное решение уравнения.

Ответ: $x = 1$.

13.11 Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = \frac{1}{x^5}, \\ y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^{-6}, \\ y = 3 - 2x^2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \frac{1}{x^8}, \\ y = x^4 - 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^{-7}, \\ y = \sqrt{x}. \end{cases}$

а) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{x^5} \\ y = 2 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков:

$ \frac{1}{x^5} = 2 $

Из этого уравнения следует, что $x^5$ не равно нулю. Умножим обе части на $x^5$:

$ 1 = 2x^5 $

Отсюда находим $x^5$:

$ x^5 = \frac{1}{2} $

Это уравнение имеет один действительный корень:

$ x = \sqrt[5]{\frac{1}{2}} $

Поскольку мы нашли единственное значение $x$, которому соответствует единственное значение $y=2$, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

б) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^{-6} \\ y = 3 - 2x^2 \end{cases} $

Перепишем первое уравнение как $y = \frac{1}{x^6}$. Приравняем правые части уравнений:

$ \frac{1}{x^6} = 3 - 2x^2 $

Заметим, что $x \ne 0$. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x \ne 0$, то $t > 0$. Уравнение примет вид:

$ \frac{1}{t^3} = 3 - 2t $

Умножим обе части на $t^3$ (поскольку $t > 0$, то $t^3 \ne 0$):

$ 1 = t^3(3 - 2t) $

$ 1 = 3t^3 - 2t^4 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2t^4 - 3t^3 + 1 = 0 $

Можно заметить, что $t=1$ является корнем, так как $2(1)^4 - 3(1)^3 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$. Разделим многочлен на $(t - 1)$:

$ (t - 1)(2t^3 - t^2 - t - 1) = 0 $

Теперь исследуем уравнение $2t^3 - t^2 - t - 1 = 0$ на наличие положительных корней. Пусть $g(t) = 2t^3 - t^2 - t - 1$.

Заметим, что $g(1) = 2 - 1 - 1 - 1 = -1$. При $t \to +\infty$, $g(t) \to +\infty$.

Поскольку функция $g(t)$ непрерывна и на интервале $(1, +\infty)$ меняет знак с минуса на плюс, по теореме о промежуточном значении на этом интервале существует как минимум один корень. Исследуем производную $g'(t) = 6t^2 - 2t - 1$. Положительный корень производной равен $t_c = \frac{1 + \sqrt{7}}{6} \approx 0.61$. При $t > t_c$, функция $g(t)$ монотонно возрастает. Так как $1 > t_c$, то на интервале $(1, +\infty)$ функция $g(t)$ строго возрастает, а значит, может иметь не более одного корня. Следовательно, существует ровно один корень $t_2 > 1$.

Итак, уравнение для $t$ имеет два положительных корня: $t_1 = 1$ и $t_2 > 1$.

Возвращаемся к замене $t = x^2$:

1. $x^2 = t_1 = 1 \implies x = \pm 1$. Это два решения.

2. $x^2 = t_2$ (где $t_2 > 1$) $\implies x = \pm \sqrt{t_2}$. Это еще два решения.

Всего система имеет 4 различных решения.

Ответ: 4.

в) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{x^8} \\ y = x^4 - 1 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$ \frac{1}{x^8} = x^4 - 1 $

Из первого уравнения $y = \frac{1}{x^8}$ следует, что $y$ должен быть положительным ($y > 0$), так как $x^8 > 0$ для любого $x \ne 0$. Тогда из второго уравнения $y = x^4 - 1$ также следует, что $x^4 - 1 > 0$, то есть $x^4 > 1$.

Сделаем замену $t = x^4$. Условие $x^4 > 1$ означает, что $t > 1$. Уравнение принимает вид:

$ \frac{1}{t^2} = t - 1 $

$ 1 = t^2(t - 1) \implies t^3 - t^2 - 1 = 0 $

Нам нужно найти количество корней этого уравнения при $t > 1$. Рассмотрим функцию $f(t) = t^3 - t^2 - 1$.

Ее производная $f'(t) = 3t^2 - 2t = t(3t - 2)$. При $t > 1$, производная $f'(t)$ всегда положительна. Это значит, что функция $f(t)$ строго возрастает на интервале $(1, +\infty)$.

Найдем значение функции на левой границе интервала: $f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = -1$.

Так как функция непрерывна, строго возрастает от отрицательного значения $f(1)=-1$ до $+\infty$ при $t \to +\infty$, она пересечет ось абсцисс ровно один раз. Следовательно, существует единственный корень $t_0$, и $t_0 > 1$.

Вернемся к замене $t = x^4$:

$ x^4 = t_0 $

Поскольку $t_0 > 0$, это уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm \sqrt[4]{t_0}$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2.

г) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^{-7} \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Перепишем систему как:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{x^7} \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из уравнения $y = \sqrt{x}$ следует, что $x \ge 0$. Из уравнения $y = \frac{1}{x^7}$ следует, что $x \ne 0$. Таким образом, ОДЗ для $x$ есть $x > 0$.

Приравняем правые части уравнений:

$ \frac{1}{x^7} = \sqrt{x} $

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и умножим обе части на $x^7$ (что возможно, так как $x > 0$):

$ 1 = x^{1/2} \cdot x^7 $

Используя свойство степеней, сложим показатели:

$ 1 = x^{7 + 1/2} = x^{15/2} $

Единственным положительным решением этого уравнения является $x=1$.

Это значение входит в ОДЗ. При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

Постройте и прочитайте график функции:

13.12 $y = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } x < 0; \\ 2x^2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Построение графика

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из двух частей, в зависимости от знака $x$.

1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = x^{-2}$, что эквивалентно $y = \frac{1}{x^2}$.
График этой функции — это ветвь кривой, расположенная во второй координатной четверти. Ось $y$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при стремлении $x$ к нулю слева ($x \to 0^-$) значение $y$ стремится к бесконечности ($y \to +\infty$). Ось $x$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при стремлении $x$ к минус бесконечности ($x \to -\infty$) значение $y$ стремится к нулю. Для построения найдем координаты нескольких точек:

• при $x=-2$, $y = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0.25$
• при $x=-1$, $y = \frac{1}{(-1)^2} = 1$
• при $x=-0.5$, $y = \frac{1}{(-0.5)^2} = \frac{1}{0.25} = 4$

2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$.
График этой функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Вершина параболы находится в точке $(0,0)$. Для построения найдем координаты нескольких точек:

• при $x=0$, $y = 2 \cdot 0^2 = 0$ (точка принадлежит графику)
• при $x=0.5$, $y = 2 \cdot (0.5)^2 = 0.5$
• при $x=1$, $y = 2 \cdot 1^2 = 2$
• при $x=2$, $y = 2 \cdot 2^2 = 8$

Объединив эти две части на одной координатной плоскости, получим искомый график функции.

Свойства функции (чтение графика)

1. Область определения функции

   Функция определена для всех действительных значений $x$, так как для $x<0$ используется формула $y=x^{-2}$, а для $x \ge 0$ — формула $y=2x^2$.
   Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений функции

   При $x<0$, $y=1/x^2 > 0$. При $x \ge 0$, $y=2x^2 \ge 0$. Объединяя значения с обоих промежутков, получаем, что функция принимает все неотрицательные значения.
   Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции

   Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$.
   Если $x<0$, то $y=1/x^2$ никогда не равно нулю.
   Если $x \ge 0$, то $2x^2 = 0$ при $x=0$.
   Ответ: $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства

   Найдем промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.
   $y>0$: при $x<0$ функция $y=1/x^2$ всегда положительна; при $x>0$ функция $y=2x^2$ также положительна. Таким образом, $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
   $y<0$: таких промежутков нет, так как обе части функции ($1/x^2$ и $2x^2$) принимают только неотрицательные значения.
   Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; нет промежутков, где $y<0$.

5. Промежутки монотонности

   При $x<0$ производная $y'=(x^{-2})' = -2x^{-3} = -2/x^3$. Так как $x<0$, то $x^3<0$, следовательно $y'>0$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$.
   При $x>0$ производная $y'=(2x^2)' = 4x$. Так как $x>0$, $y'>0$. Функция возрастает на $(0; +\infty)$. Так как функция непрерывна в точке $x=0$ справа ($y(0)=0$), то она возрастает на всем промежутке $[0; +\infty)$.
   Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$. Промежутков убывания нет.

6. Точки экстремума

   В точке $x=0$ значение функции $y(0)=0$. Для любого $x \neq 0$ из области определения $y(x) > 0$. Следовательно, $x=0$ является точкой глобального минимума.
   Точек максимума у функции нет.
   Ответ: $x_{min}=0$, $y_{min}=0$.

7. Четность и нечетность

   Область определения $D(y) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля. Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$. Возьмем, например, $x=1$ и $x=-1$.
   $y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.
   $y(-1) = (-1)^{-2} = 1$.
   Так как $y(-1) \neq y(1)$ и $y(-1) \neq -y(1)$, функция не является ни четной, ни нечетной.
   Ответ: функция общего вида.

8. Непрерывность и точки разрыва

   На промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ функция непрерывна как элементарная. Исследуем точку $x=0$.
   Значение функции в точке: $y(0) = 0$.
   Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$.
   Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} 2x^2 = 0$.
   Так как левосторонний предел равен бесконечности и не равен значению функции в точке, функция имеет разрыв в точке $x=0$. Это разрыв второго рода.
   Ответ: функция непрерывна на $(-\infty; 0) \cup [0; +\infty)$. В точке $x=0$ функция терпит разрыв второго рода.

9. Асимптоты

   Вертикальная асимптота: так как $\lim_{x \to 0^-} y(x) = +\infty$, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
   Горизонтальная асимптота: так как $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2} = 0$, прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} 2x^2 = +\infty$, поэтому горизонтальной асимптоты справа нет.
   Наклонных асимптот нет.
   Ответ: $x=0$ — вертикальная асимптота (при $x \to 0^-$); $y=0$ — горизонтальная асимптота (при $x \to -\infty$).

13.13 $y = \begin{cases} |x|, \text{если } x \le 1; \\ x^{-3}, \text{если } x > 1. \end{cases}$

Проведем полное исследование данной кусочно-заданной функции.

Функция задана как $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x \le 1 \\ x^{-3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

Область определения

Для $x \le 1$ функция $y=|x|$ определена для всех действительных $x$.

Для $x > 1$ функция $y=x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ определена для всех $x \neq 0$, что выполняется на данном интервале.

Таким образом, область определения функции — это объединение интервалов $(-\infty, 1]$ и $(1, \infty)$, то есть все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):

Поскольку $0 \le 1$, используем первую часть определения функции: $y(0) = |0| = 0$.

Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, 0)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):

Если $x \le 1$, то $|x|=0$, откуда $x=0$.

Если $x > 1$, то $x^{-3}=0$ или $\frac{1}{x^3}=0$, что не имеет решений.

Единственная точка пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$.

Ответ: График пересекает оси координат в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Четность и периодичность

Для проверки на четность/нечетность сравним $y(x)$ и $y(-x)$. Возьмем, например, $x=2$.

$y(2) = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.

$y(-2) = |-2| = 2$.

Поскольку $y(-2) \neq y(2)$ и $y(-2) \neq -y(2)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Функция не является периодической, так как ее поведение на разных участках оси $x$ различно.

Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

Непрерывность

На интервале $(-\infty, 1)$ функция $y=|x|$ непрерывна.

На интервале $(1, \infty)$ функция $y=x^{-3}$ непрерывна.

Исследуем непрерывность в точке "стыка" $x=1$:

Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} |x| = 1$.

Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} x^{-3} = 1^{-3} = 1$.

Значение функции в точке: $y(1) = |1| = 1$.

Так как односторонние пределы равны значению функции в точке, функция непрерывна в точке $x=1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

Асимптоты

Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как функция непрерывна на всей области определения.

Горизонтальные асимптоты:

При $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} x^{-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^3} = 0$.

Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.

При $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} |x| = +\infty$.

Горизонтальной асимптоты при $x \to -\infty$ нет.

Наклонные асимптоты:

Ищем асимптоту вида $y=kx+b$ при $x \to -\infty$.

$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x} = -1$.

$b = \lim_{x \to -\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to -\infty} (|x| - (-1)x) = \lim_{x \to -\infty} (-x+x) = 0$.

Следовательно, $y=-x$ — наклонная асимптота при $x \to -\infty$.

Ответ: Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$. Наклонная асимптота $y=-x$ при $x \to -\infty$.

Промежутки монотонности и экстремумы

Найдем производную функции. Удобно раскрыть модуль:

$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ x^{-3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Тогда производная $y'$ равна:

$y' = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 0 \\ 1, & \text{если } 0 < x < 1 \\ -3x^{-4}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Производная не существует в точках $x=0$ и $x=1$ (в этих точках левая и правая производные не равны), поэтому это критические точки. В других точках производная в ноль не обращается.

Определим знаки производной на интервалах:

При $x \in (-\infty, 0)$: $y' = -1 < 0$, функция убывает.

При $x \in (0, 1)$: $y' = 1 > 0$, функция возрастает.

При $x \in (1, \infty)$: $y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 1$.

Ответ: Функция возрастает на $[0; 1]$ и убывает на $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума $(0; 0)$, точка максимума $(1; 1)$.

Выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$y'' = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } 0 < x < 1 \\ 12x^{-5}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Анализируем знак второй производной:

На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$ вторая производная равна нулю, что соответствует прямолинейным участкам графика.

На интервале $(1, \infty)$ вторая производная $y'' = \frac{12}{x^5} > 0$, следовательно, на этом промежутке график функции выпуклый вниз (вогнутый).

Точек, в которых вторая производная меняет знак, нет. Точки $x=0$ и $x=1$ являются точками излома графика, а не точками перегиба.

Ответ: График выпуклый вниз на $(1; +\infty)$. На $(-\infty; 1)$ график состоит из двух прямолинейных участков. Точек перегиба нет.

Построение графика

Основываясь на проведенном исследовании, можно построить график функции:

1. Для $x \le 0$ строим луч $y=-x$, исходящий из точки $(0,0)$. Он совпадает со своей наклонной асимптотой.

2. Для $0 \le x \le 1$ строим отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(0,0)$ и $(1,1)$.

3. Для $x > 1$ строим кривую $y=1/x^3$, которая начинается в точке $(1,1)$ и асимптотически приближается к оси $Ox$ (своей горизонтальной асимптоте) при $x \to +\infty$. Этот участок является выпуклым вниз. Например, проходит через точку $(2, 1/8)$.

График имеет точки излома в $(0,0)$ (локальный минимум) и $(1,1)$ (локальный максимум).

13.14 $y = \begin{cases} -2(x + 1)^2 + 2, & \text{если } -2 \leq x \leq 0; \\ x^{-12}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции.

Функция задана как $y = \begin{cases} -2(x + 1)^2 + 2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ x^{-12}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Построение графика функции

График состоит из двух частей, определенных на разных промежутках.

1. Рассмотрим функцию $y = -2(x + 1)^2 + 2$ на отрезке $[-2, 0]$.

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при квадратичном члене равен -2 (отрицательный). Вершина параболы находится в точке с координатами $x_v = -1$, $y_v = 2$. Точка $(-1, 2)$ является точкой максимума функции на данном отрезке.

Найдем значения функции на границах отрезка:

• При $x = -2$: $y(-2) = -2(-2+1)^2 + 2 = -2(-1)^2 + 2 = -2 + 2 = 0$. График проходит через точку $(-2, 0)$.
• При $x = 0$: $y(0) = -2(0+1)^2 + 2 = -2(1)^2 + 2 = -2 + 2 = 0$. График проходит через точку $(0, 0)$.

Таким образом, на отрезке $[-2, 0]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-1, 2)$ и концами в точках $(-2, 0)$ и $(0, 0)$.

2. Рассмотрим функцию $y = x^{-12} = \frac{1}{x^{12}}$ на интервале $(0, +\infty)$.

Эта функция положительна и убывает на всем интервале. Проанализируем ее поведение на границах интервала:

• При $x \to 0^+$ (справа), $x^{12} \to 0$, следовательно, $y = \frac{1}{x^{12}} \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
• При $x \to +\infty$, $x^{12} \to +\infty$, следовательно, $y = \frac{1}{x^{12}} \to 0$. Прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.

Для более точного построения найдем контрольную точку: при $x=1$, $y(1) = 1^{-12} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.

В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

Определение количества общих точек графика с прямой y=m

Предполагаемая задача состоит в том, чтобы определить, при каких значениях параметра $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком функции ровно две общие точки. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения $m$.

• При $m > 2$: прямая $y=m$ пересекает только вторую часть графика ($y = 1/x^{12}$), так как максимальное значение на первой части равно 2. Это дает одну точку пересечения.
• При $m = 2$: прямая $y=2$ касается параболы в ее вершине $(-1, 2)$ (одна точка) и пересекает вторую часть графика в одной точке. Итого две точки пересечения.
• При $0 < m < 2$: прямая $y=m$ пересекает параболу в двух точках и вторую часть графика в одной точке. Итого три точки пересечения.
• При $m = 0$: прямая $y=0$ пересекает параболу в двух точках $(-2, 0)$ и $(0, 0)$. Со второй частью графика ($y>0$) пересечений нет. Итого две точки пересечения.
• При $m < 0$: прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком, так как значения функции на всей области определения неотрицательны ($y \ge 0$). Ноль точек пересечения.

Следовательно, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=0$ и $m=2$.

Ответ: $0; 2$.