Страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.1 Какая из точек A, B принадлежит графику функции $y = f(x)$, если:

a) $f(x) = x^{-4}$, $A\left(\frac{1}{2}; 16\right)$, $B\left(-2; \frac{1}{8}\right)$;

б) $f(x) = x^{5}$, $A(0; 0)$, $B(-1; -1)$;

в) $f(x) = x^{-6}$, $A\left(\sqrt{2}; \frac{1}{8}\right)$, $B\left(\frac{1}{2}; 64\right)$;

г) $f(x) = x^{-7}$, $A(-1; 1)$, $B(1; -1)?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0, y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить значение $x_0$ в функцию и проверить, равно ли полученное значение $f(x_0)$ значению $y_0$.

а) $f(x) = x^{-4}$, $A(\frac{1}{2}; 16)$, $B(-2; \frac{1}{8})$

Проверим точку A: подставим ее x-координату $x = \frac{1}{2}$ в функцию.
$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16$.
Значение функции совпадает с y-координатой точки A ($16=16$), следовательно, точка A принадлежит графику.

Проверим точку B: подставим ее x-координату $x = -2$ в функцию.
$f(-2) = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$.
Значение функции не совпадает с y-координатой точки B ($\frac{1}{16} \neq \frac{1}{8}$), следовательно, точка B не принадлежит графику.

Ответ: точка A.

б) $f(x) = x^{-5}$, $A(0; 0)$, $B(-1; -1)$

Проверим точку A: функция $f(x) = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$ не определена при $x=0$, так как это приводит к делению на ноль. Область определения функции не включает $x=0$. Следовательно, точка A не принадлежит графику функции.

Проверим точку B: подставим ее x-координату $x = -1$ в функцию.
$f(-1) = (-1)^{-5} = \frac{1}{(-1)^5} = \frac{1}{-1} = -1$.
Значение функции совпадает с y-координатой точки B ($-1=-1$), следовательно, точка B принадлежит графику.

Ответ: точка B.

в) $f(x) = x^{-6}$, $A(\sqrt{2}; \frac{1}{8})$, $B(\frac{1}{2}; 64)$

Проверим точку A: подставим ее x-координату $x = \sqrt{2}$ в функцию.
$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^{-6} = \frac{1}{(\sqrt{2})^6} = \frac{1}{(2^{1/2})^6} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Значение функции совпадает с y-координатой точки A ($\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$), следовательно, точка A принадлежит графику.

Проверим точку B: подставим ее x-координату $x = \frac{1}{2}$ в функцию.
$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-6} = 2^6 = 64$.
Значение функции совпадает с y-координатой точки B ($64=64$), следовательно, точка B также принадлежит графику.

Ответ: обе точки (A и B) принадлежат графику функции.

г) $f(x) = x^{-7}$, $A(-1; 1)$, $B(1; -1)$

Проверим точку A: подставим ее x-координату $x = -1$ в функцию.
$f(-1) = (-1)^{-7} = \frac{1}{(-1)^7} = \frac{1}{-1} = -1$.
Значение функции не совпадает с y-координатой точки A ($-1 \neq 1$), следовательно, точка A не принадлежит графику.

Проверим точку B: подставим ее x-координату $x = 1$ в функцию.
$f(1) = 1^{-7} = \frac{1}{1^7} = \frac{1}{1} = 1$.
Значение функции не совпадает с y-координатой точки B ($1 \neq -1$), следовательно, точка B не принадлежит графику.

Ответ: ни одна из точек не принадлежит графику функции.

Постройте и прочитайте график функции:

13.2 а) $y = \frac{1}{x^4}$;

б) $y = x^{-3}$;

в) $y = x^{-8}$;

г) $y = \frac{1}{x^5}$.

а) $y = \frac{1}{x^4}$

Функция может быть записана как $y = x^{-4}$. Это степенная функция с целым отрицательным четным показателем.
Построение графика: График функции состоит из двух ветвей. Так как функция четная ($y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$), ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поскольку $x^4 > 0$ для всех $x \ne 0$, то и $y > 0$, следовательно, ветви графика расположены в I и II координатных четвертях. При $x \to 0$, значение $y$ стремится к бесконечности ($y \to +\infty$), поэтому ось Oy является вертикальной асимптотой ($x=0$). При $x \to \pm\infty$, значение $y$ стремится к нулю ($y \to 0$), поэтому ось Ox является горизонтальной асимптотой ($y=0$). График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.
Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
7. Точки экстремума: отсутствуют.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy и имеющих асимптоты $x=0$ и $y=0$. Свойства функции перечислены выше.

б) $y = x^{-3}$

Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^3}$. Это степенная функция с целым отрицательным нечетным показателем.
Построение графика: График функции состоит из двух ветвей. Так как функция нечетная ($y(-x) = (-x)^{-3} = -x^{-3} = -y(x)$), ее график симметричен относительно начала координат. Если $x > 0$, то $y > 0$ (I четверть). Если $x < 0$, то $y < 0$ (III четверть). При $x \to 0$, $|y| \to \infty$, поэтому ось Oy является вертикальной асимптотой ($x=0$). При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$, поэтому ось Ox является горизонтальной асимптотой ($y=0$). График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.
Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Четность: функция нечетная.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
7. Точки экстремума: отсутствуют.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат и имеющих асимптоты $x=0$ и $y=0$. Свойства функции перечислены выше.

в) $y = x^{-8}$

Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^8}$. Это степенная функция с целым отрицательным четным показателем.
Построение графика: График этой функции похож на график функции $y = x^{-4}$. Он также состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$. Однако, по сравнению с $y=x^{-4}$, при $|x| < 1$ ветви графика $y=x^{-8}$ расположены выше (быстрее стремятся к бесконечности), а при $|x| > 1$ — ниже (быстрее стремятся к нулю).
Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
7. Точки экстремума: отсутствуют.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy и имеющих асимптоты $x=0$ и $y=0$. Свойства функции перечислены выше.

г) $y = \frac{1}{x^5}$

Функция может быть записана как $y = x^{-5}$. Это степенная функция с целым отрицательным нечетным показателем.
Построение графика: График этой функции похож на график функции $y = x^{-3}$. Он также состоит из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Однако, по сравнению с $y=x^{-3}$, при $|x| < 1$ ветви графика $y=x^{-5}$ расположены дальше от оси Ox (быстрее стремятся к бесконечности), а при $|x| > 1$ — ближе к оси Ox (быстрее стремятся к нулю).
Чтение графика (свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Четность: функция нечетная.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
7. Точки экстремума: отсутствуют.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат и имеющих асимптоты $x=0$ и $y=0$. Свойства функции перечислены выше.

13.3 a) $y = (x + 3)^{-4}$;

б) $y = \frac{1}{x^5} - 1$;

В) $y = \frac{1}{(x - 2)^7}$;

Г) $y = x^{-2} + 4$.

а) $y = (x + 3)^{-4}$
Для нахождения производной этой функции используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^{-4}$, а внутренняя функция $g(x) = u = x + 3$.
Производная внешней функции: $(u^{-4})' = -4u^{-5}$.
Производная внутренней функции: $(x + 3)' = 1$.
Собираем все вместе:
$y' = -4(x + 3)^{-4-1} \cdot (x + 3)'$
$y' = -4(x + 3)^{-5} \cdot 1$
$y' = -4(x + 3)^{-5}$
Это выражение также можно записать в виде дроби: $y' = -\frac{4}{(x+3)^5}$.
Ответ: $y' = -4(x+3)^{-5}$.

б) $y = \frac{1}{x^5} - 1$
Сначала преобразуем функцию, используя свойство степени с отрицательным показателем: $y = x^{-5} - 1$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования разности функций и правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а также то, что производная константы равна нулю.
$y' = (x^{-5} - 1)' = (x^{-5})' - (1)'$
$(x^{-5})' = -5 \cdot x^{-5-1} = -5x^{-6}$
$(1)' = 0$
Следовательно:
$y' = -5x^{-6} - 0 = -5x^{-6}$
В виде дроби это будет: $y' = -\frac{5}{x^6}$.
Ответ: $y' = -5x^{-6}$.

в) $y = \frac{1}{(x - 2)^7}$
Перепишем функцию, используя отрицательную степень: $y = (x - 2)^{-7}$.
Это сложная функция, поэтому применяем цепное правило. Здесь $u = x - 2$ и $n = -7$.
Производная внутренней функции: $(x - 2)' = 1$.
Применяем формулу производной сложной функции:
$y' = -7(x - 2)^{-7-1} \cdot (x - 2)'$
$y' = -7(x - 2)^{-8} \cdot 1$
$y' = -7(x - 2)^{-8}$
В виде дроби: $y' = -\frac{7}{(x - 2)^8}$.
Ответ: $y' = -7(x-2)^{-8}$.

г) $y = x^{-2} + 4$
Используем правило дифференцирования суммы функций: производная суммы равна сумме производных.
$y' = (x^{-2} + 4)' = (x^{-2})' + (4)'$
Находим производную каждого слагаемого. Для первого используем правило степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а второе слагаемое — константа, производная которой равна нулю.
$(x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3}$
$(4)' = 0$
Складываем результаты:
$y' = -2x^{-3} + 0 = -2x^{-3}$
В виде дроби: $y' = -\frac{2}{x^3}$.
Ответ: $y' = -2x^{-3}$.

13.4 a) $y = \frac{1}{(x+1)^4} + 1;$

Б) $y = (x-2)^{-5} + 3;$

В) $y = \frac{1}{(x-3)^7} - 2;$

Г) $y = (x+4)^{-2} - 1.$

а) Данная функция $y = \frac{1}{(x+1)^4} + 1$ является дробно-рациональной. Ее область определения — это множество всех значений переменной $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Чтобы найти точки, которые необходимо исключить, приравняем знаменатель к нулю:

$(x+1)^4 = 0$

Извлекая корень четвертой степени из обеих частей уравнения, получаем:

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Таким образом, функция не определена в точке $x = -1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $-1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

б) Функция $y = (x-2)^{-5} + 3$ содержит степень с отрицательным показателем. Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем функцию в виде:

$y = \frac{1}{(x-2)^5} + 3$

Это дробно-рациональная функция, знаменатель которой не должен быть равен нулю:

$(x - 2)^5 \neq 0$

Извлекая корень пятой степени, находим:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) Функция $y = \frac{1}{(x-3)^7} - 2$ является дробно-рациональной. Область ее определения находится из условия неравенства знаменателя нулю:

$(x - 3)^7 \neq 0$

Извлекая корень седьмой степени из обеих частей, получаем:

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Значит, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x = 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

г) В функции $y = (x+4)^{-2} - 1$ присутствует степень с отрицательным показателем. Преобразуем ее:

$y = \frac{1}{(x+4)^2} - 1$

Знаменатель полученной дроби не должен равняться нулю:

$(x + 4)^2 \neq 0$

Извлекая квадратный корень, находим:

$x + 4 \neq 0$

$x \neq -4$

Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме $-4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

13.5 Постройте график функции $y = (x - 2)^{-2}$. Найдите промежутки убывания и возрастания функции. Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот.

Исходная функция: $y = (x - 2)^{-2}$, которую можно переписать в виде $y = \frac{1}{(x-2)^2}$.

Постройте график функции

График функции $y = \frac{1}{(x-2)^2}$ получается из графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$ путем горизонтального сдвига на 2 единицы вправо.
Основные характеристики и шаги построения:
1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 2$).
2. Область значений функции: $E(y) = (0; +\infty)$, так как $(x-2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, следовательно $y$ всегда положителен.
3. Симметрия: Функция симметрична относительно вертикальной прямой $x=2$.
4. Асимптоты: У графика есть вертикальная асимптота $x=2$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
5. Контрольные точки: Для уточнения графика найдем координаты нескольких точек:
При $x=1$, $y = \frac{1}{(1-2)^2} = 1$. Точка $(1; 1)$.
При $x=3$, $y = \frac{1}{(3-2)^2} = 1$. Точка $(3; 1)$.
При $x=0$, $y = \frac{1}{(0-2)^2} = \frac{1}{4}$. Точка $(0; 0.25)$.
При $x=4$, $y = \frac{1}{(4-2)^2} = \frac{1}{4}$. Точка $(4; 0.25)$.
График представляет собой две ветви, расположенные в первом и втором квадрантах относительно смещенной системы координат с началом в точке $(2, 0)$. Обе ветви приближаются к асимптотам $x=2$ и $y=0$.

Найдите промежутки убывания и возрастания функции

Для нахождения промежутков монотонности исследуем знак первой производной функции.
$y' = \left( (x-2)^{-2} \right)' = -2(x-2)^{-3} \cdot (x-2)' = \frac{-2}{(x-2)^3}$.
Производная не равна нулю. Точка, в которой производная не определена, это $x=2$. Эта точка делит область определения на два интервала: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 2)$: выберем пробную точку $x=0$. $y'(0) = \frac{-2}{(0-2)^3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} > 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(2; +\infty)$: выберем пробную точку $x=3$. $y'(3) = \frac{-2}{(3-2)^3} = \frac{-2}{1} = -2 < 0$. Следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$ и убывает на промежутке $(2; +\infty)$.

Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот

Вертикальная асимптота находится в точке разрыва функции. Функция $y = \frac{1}{(x-2)^2}$ имеет разрыв при $x=2$. Найдем предел функции при приближении к этой точке:
$\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \left( \frac{1}{0^+} \right) = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота находится путем вычисления предела функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{(x-2)^2} = \left( \frac{1}{\infty} \right) = 0$.
Так как предел равен конечному числу, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: уравнение вертикальной асимптоты: $x=2$; уравнение горизонтальной асимптоты: $y=0$.

13.6 Постройте график функции $y = x^{-2} - 1$. Найдите область значений функции. Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот.

Постройте график функции $y = x^{-2} - 1$

Для построения графика функции $y = x^{-2} - 1$, которую можно переписать в виде $y = \frac{1}{x^2} - 1$, проанализируем ее свойства. График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$ путем его сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Основные характеристики функции:

1. Область определения: Знаменатель дроби $x^2$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность: Проверим функцию на четность: $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} - 1 = \frac{1}{x^2} - 1 = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат: С осью Oy пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения. Для нахождения точек пересечения с осью Ox (нулей функции) решим уравнение $y=0$: $\frac{1}{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

4. Асимптоты и поведение функции: При $x \to 0$, значение $y \to +\infty$. Это указывает на наличие вертикальной асимптоты $x=0$. При $x \to \pm\infty$, значение $y \to -1$. Это указывает на наличие горизонтальной асимптоты $y=-1$.

Для более точного построения найдем значения функции в нескольких дополнительных точках: Если $x = \pm 2$, то $y = \frac{1}{2^2} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -0.75$. Если $x = \pm 0.5$, то $y = \frac{1}{(0.5)^2} - 1 = \frac{1}{0.25} - 1 = 4 - 1 = 3$.

Итак, для построения графика необходимо: нарисовать оси координат; провести пунктиром асимптоты $x=0$ (ось Oy) и $y=-1$; отметить точки $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(-2; -0.75)$, $(2; -0.75)$, $(-0.5; 3)$, $(0.5; 3)$; соединить точки двумя плавными кривыми, симметричными относительно оси Oy, которые приближаются к асимптотам.

Ответ: График функции $y = x^{-2} - 1$ — это кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. Ветви расположены выше прямой $y=-1$, приближаясь к ней при $x \to \pm\infty$ (горизонтальная асимптота), и стремятся к $+\infty$ при $x \to 0$ (вертикальная асимптота $x=0$). График пересекает ось Ox в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

Найдите область значений функции

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x^2} - 1$. Поскольку $x$ в области определения не равен нулю ($x \neq 0$), выражение $x^2$ всегда строго больше нуля: $x^2 > 0$. Следовательно, обратная величина $\frac{1}{x^2}$ также будет всегда строго положительной: $\frac{1}{x^2} > 0$. Вычитая 1 из обеих частей этого неравенства, получаем: $\frac{1}{x^2} - 1 > 0 - 1$, то есть $y > -1$. При этом, когда $x$ стремится к нулю, значение $\frac{1}{x^2}$ может быть сколь угодно большим, а значит и $y$ может принимать сколь угодно большие положительные значения. Таким образом, область значений функции — это все числа, строго большие -1.

Ответ: Область значений функции $E(y) = (-1; +\infty)$.

Составьте уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот

Асимптоты — это прямые, к которым неограниченно приближается график функции.

Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота может существовать в точках разрыва функции. Для функции $y = \frac{1}{x^2} - 1$ точка разрыва — $x=0$. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к этой точке: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} - 1\right) = +\infty$. Так как предел равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Горизонтальная асимптота описывает поведение функции при $x \to \pm\infty$. Найдем предел функции на бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x^2} - 1\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2} - \lim_{x \to \pm\infty} 1 = 0 - 1 = -1$. Так как предел существует и конечен, прямая $y=-1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Уравнение вертикальной асимптоты: $x=0$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y=-1$.