Страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на чётность и постройте её график:

11.31 а) $y=x^2+2|x|-1$;
б) $y=\frac{3}{|x|}$;
в) $y=-x^2-3|x|+4$;
г) $y=-\frac{4}{|x|}$.

a) $y = x^2 + 2|x| - 1$

Исследование на чётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
2. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^2 + 2|-x| - 1 = x^2 + 2|x| - 1$.
3. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Построение графика:
Поскольку функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Это позволяет нам построить график для $x \ge 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси Oy.
При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 2x - 1$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдём несколько точек для этой части графика:
- при $x = 0$, $y = 0^2 + 2(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- при $x = 1$, $y = 1^2 + 2(1) - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- при $x = 2$, $y = 2^2 + 2(2) - 1 = 7$. Точка $(2, 7)$.
Строим эту часть графика для $x \ge 0$. Затем отражаем её симметрично относительно оси Oy, получая вторую часть графика для $x < 0$. Например, точка $(1, 2)$ перейдёт в $(-1, 2)$. Итоговый график состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке $(0, -1)$, являющейся точкой минимума функции.

Ответ: Функция является чётной. График симметричен относительно оси Oy и представляет собой объединение двух ветвей парабол, сходящихся в точке минимума $(0, -1)$.

б) $y = \frac{3}{|x|}$

Исследование на чётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат, так как $x \ne 0$.
2. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = \frac{3}{|-x|} = \frac{3}{|x|}$.
3. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Построение графика:
Так как функция чётная, её график симметричен относительно оси Oy. Построим его для $x > 0$ и отразим.
При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = \frac{3}{x}$.
Это гипербола, расположенная в I координатной четверти. Оси координат являются её асимптотами. Найдём несколько точек:
- при $x = 1$, $y = 3$. Точка $(1, 3)$.
- при $x = 3$, $y = 1$. Точка $(3, 1)$.
- при $x = 0.5$, $y = 6$. Точка $(0.5, 6)$.
Строим эту ветвь гиперболы. Затем отражаем её симметрично относительно оси Oy, чтобы получить вторую ветвь в II координатной четверти. Точка $(1, 3)$ перейдёт в $(-1, 3)$.

Ответ: Функция является чётной. График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

в) $y = -x^2 - 3|x| + 4$

Исследование на чётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
2. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = -(-x)^2 - 3|-x| + 4 = -x^2 - 3|x| + 4$.
3. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Построение графика:
График функции симметричен относительно оси Oy. Построим его для $x \ge 0$.
При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -x^2 - 3x + 4$.
Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдём ключевые точки:
- Пересечение с осью Oy (вершина итогового графика): при $x = 0$, $y = -0^2 - 3(0) + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
- Пересечение с осью Ox: решим уравнение $-x^2 - 3x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни $x = 1$ и $x = -4$. Для $x \ge 0$ подходит корень $x=1$. Точка $(1, 0)$.
Строим часть параболы для $x \ge 0$, которая начинается в точке $(0, 4)$ и проходит через точку $(1, 0)$. Затем отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Точка $(1, 0)$ перейдёт в $(-1, 0)$. Итоговый график состоит из двух ветвей парабол с общей вершиной в точке $(0, 4)$, которая является точкой максимума функции.

Ответ: Функция является чётной. График симметричен относительно оси Oy, состоит из двух ветвей парабол с общей вершиной в точке максимума $(0, 4)$.

г) $y = -\frac{4}{|x|}$

Исследование на чётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как $x \ne 0$. Область симметрична.
2. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = -\frac{4}{|-x|} = -\frac{4}{|x|}$.
3. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Построение графика:
График функции симметричен относительно оси Oy. Построим его для $x > 0$.
При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -\frac{4}{x}$.
Это гипербола, расположенная в IV координатной четверти. Оси координат — её асимптоты. Найдём несколько точек:
- при $x = 1$, $y = -4$. Точка $(1, -4)$.
- при $x = 2$, $y = -2$. Точка $(2, -2)$.
- при $x = 4$, $y = -1$. Точка $(4, -1)$.
Строим эту ветвь гиперболы. Затем отражаем её симметрично относительно оси Oy, получая вторую ветвь в III координатной четверти. Точка $(1, -4)$ перейдёт в $(-1, -4)$.

Ответ: Функция является чётной. График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

11.32 a) $y = -x |x|;$

б) $y = \frac{2x^3}{|x|};$

В) $y = 2x |x|;$

Г) $y = -\frac{0,5x^5}{|x^3|}.$

а) $y = -x|x|$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо раскрыть модуль $|x|$. По определению модуля:

• Если $x \geq 0$, то $|x| = x$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$.

Рассмотрим эти два случая:

1. При $x \geq 0$, функция принимает вид:

$y = -x \cdot (x) = -x^2$

2. При $x < 0$, функция принимает вид:

$y = -x \cdot (-x) = x^2$

Объединив оба случая, мы можем записать функцию $y = -x|x|$ в кусочно-заданном виде:

$y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

б) $y = \frac{2x^3}{|x|}$

Область определения данной функции исключает значение $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($|x| \neq 0$).

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Подставим в уравнение:

$y = \frac{2x^3}{x} = 2x^2$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Подставим в уравнение:

$y = \frac{2x^3}{-x} = -2x^2$

Таким образом, функция может быть записана в виде:

$y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x > 0 \\ -2x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x > 0 \\ -2x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

в) $y = 2x|x|$

Для упрощения выражения раскроем модуль $|x|$.

1. При $x \geq 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = 2x \cdot (x) = 2x^2$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = 2x \cdot (-x) = -2x^2$

Объединив оба случая, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -2x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -2x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

г) $y = -\frac{0,5x^5}{|x^3|}$

Область определения функции: знаменатель $|x^3|$ не должен быть равен нулю, что означает $x \neq 0$.

Раскроем модуль $|x^3|$. Знак выражения $x^3$ совпадает со знаком $x$.

1. При $x > 0$, имеем $x^3 > 0$, следовательно $|x^3| = x^3$. Подставим в уравнение:

$y = -\frac{0,5x^5}{x^3} = -0,5x^{5-3} = -0,5x^2$

2. При $x < 0$, имеем $x^3 < 0$, следовательно $|x^3| = -x^3$. Подставим в уравнение:

$y = -\frac{0,5x^5}{-x^3} = \frac{0,5x^5}{x^3} = 0,5x^{5-3} = 0,5x^2$

Таким образом, функция может быть записана в виде:

$y = \begin{cases} -0,5x^2, & \text{если } x > 0 \\ 0,5x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -0,5x^2, & \text{если } x > 0 \\ 0,5x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

11.33 a) $y = \sqrt{|x|};$

б) $y = -\sqrt{|x|} + 2;$

В) $y = -\sqrt{|x|};$

Г) $y = \sqrt{|x|} - 3.$

а) $y = \sqrt{|x|}$

Это функция, построенная на основе базовой функции квадратного корня. Разберем ее свойства и построим график.

1. Область определения: Выражение под корнем $|x|$ должно быть неотрицательным. Модуль любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), поэтому функция определена для всех действительных чисел. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Арифметический квадратный корень всегда дает неотрицательный результат. Минимальное значение $|x|$ равно 0 (при $x=0$), значит минимальное значение $y$ равно $\sqrt{0}=0$. С ростом $|x|$ значение $y$ неограниченно возрастает. Таким образом, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Четность: Проверим функцию на четность. $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$. Поскольку $y(-x)=y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

4. Построение графика: Так как функция четная, достаточно построить ее для $x \ge 0$ и затем отразить полученную часть симметрично относительно оси OY. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y=\sqrt{x}$. Это известная функция, график которой — ветвь параболы, выходящая из начала координат. Найдем несколько точек: (0, 0), (1, 1), (4, 2). Построив эту ветвь и отразив ее относительно оси OY, получим вторую ветвь для $x < 0$. График состоит из двух ветвей, выходящих из точки (0,0) и направленных вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY и выходящих из точки (0, 0). Для $x \ge 0$ график совпадает с $y=\sqrt{x}$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[0; +\infty)$. Функция четная.

б) $y = -\sqrt{|x|} + 2$

График этой функции можно получить из графика функции $y = -\sqrt{|x|}$ (см. пункт в) путем сдвига вверх на 2 единицы.

1. Получение графика:

• Начнем с графика $y = \sqrt{|x|}$ (из пункта а).
• Отразим его симметрично относительно оси абсцисс (OX), чтобы получить график $y = -\sqrt{|x|}$. Его ветви будут направлены вниз из точки (0,0).
• Сдвинем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (OY).

2. Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{|x|} \ge 0$, то $-\sqrt{|x|} \le 0$. Следовательно, $-\sqrt{|x|} + 2 \le 2$. Область значений $E(y) = (-\infty; 2]$.
• Четность: $y(-x) = -\sqrt{|-x|} + 2 = -\sqrt{|x|} + 2 = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Вершина: Максимальное значение достигается в точке $x=0$, $y(0) = -\sqrt{|0|} + 2 = 2$. Вершина графика находится в точке (0, 2).
• Нули функции (пересечение с OX): $-\sqrt{|x|} + 2 = 0 \implies \sqrt{|x|} = 2 \implies |x| = 4 \implies x = \pm 4$. Точки пересечения с осью OX: (4, 0) и (-4, 0).

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{|x|}$, отраженный относительно оси OX и сдвинутый на 2 единицы вверх по оси OY. Вершина графика в точке (0, 2), ветви направлены вниз. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 2]$. Функция четная.

в) $y = -\sqrt{|x|}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{|x|}$ (пункт а) путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (OX).

1. Свойства функции:

• Область определения: Как и у $y = \sqrt{|x|}$, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Поскольку $\sqrt{|x|} \ge 0$, то $-\sqrt{|x|} \le 0$. Область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Четность: $y(-x) = -\sqrt{|-x|} = -\sqrt{|x|} = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Вершина: Максимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$. Вершина графика находится в точке (0, 0).

2. Построение графика: График полностью аналогичен графику из пункта а), но его ветви направлены не вверх, а вниз.

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{|x|}$, отраженный относительно оси OX. Вершина графика в точке (0, 0), ветви направлены вниз. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0]$. Функция четная.

г) $y = \sqrt{|x|} - 3$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{|x|}$ (пункт а) путем сдвига вниз на 3 единицы.

1. Получение графика: Берем график $y = \sqrt{|x|}$ и сдвигаем его на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (OY).

2. Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{|x|} \ge 0$, то $\sqrt{|x|} - 3 \ge -3$. Область значений $E(y) = [-3; +\infty)$.
• Четность: $y(-x) = \sqrt{|-x|} - 3 = \sqrt{|x|} - 3 = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Вершина: Минимальное значение достигается в точке $x=0$, $y(0) = \sqrt{|0|} - 3 = -3$. Вершина графика находится в точке (0, -3).
• Нули функции (пересечение с OX): $\sqrt{|x|} - 3 = 0 \implies \sqrt{|x|} = 3 \implies |x| = 9 \implies x = \pm 9$. Точки пересечения с осью OX: (9, 0) и (-9, 0).

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{|x|}$, сдвинутый на 3 единицы вниз по оси OY. Вершина графика в точке (0, -3), ветви направлены вверх. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-3; +\infty)$. Функция четная.

11.34 a) $y = \sqrt{(|x| - 3)^2 - 4}$;

б) $y = \sqrt{4 - x^2} + 1;

В) $y = 2 - \sqrt{(|x| - 1)^2}$;

Г) $y = \sqrt{1 - x^2} - 2.

а) $y = \sqrt{(|x| - 3)^2 - 4}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$(|x| - 3)^2 - 4 \ge 0$

$(|x| - 3)^2 \ge 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства:

$||x| - 3| \ge 2$

Это неравенство распадается на два случая:

1) $|x| - 3 \ge 2 \implies |x| \ge 5 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

2) $|x| - 3 \le -2 \implies |x| \le 1 \implies x \in [-1, 1]$.

Объединяя эти два случая, получаем область определения: $D(y) = (-\infty, -5] \cup [-1, 1] \cup [5, \infty)$.

2. Преобразуем уравнение.

Поскольку $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат:

$y^2 = (|x| - 3)^2 - 4$

$y^2 + 4 = (|x| - 3)^2$

$(|x| - 3)^2 - y^2 = 4$

$\frac{(|x| - 3)^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$

Рассмотрим случай $x \ge 0$. Уравнение принимает вид $\frac{(x - 3)^2}{2^2} - \frac{y^2}{2^2} = 1$. Это уравнение гиперболы с центром в точке $(3, 0)$ и полуосями $a=2, b=2$. Так как в исходной функции $y \ge 0$, мы рассматриваем только верхнюю ветвь этой гиперболы.

Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{(|-x| - 3)^2 - 4} = \sqrt{(|x| - 3)^2 - 4} = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. График для $x < 0$ является зеркальным отражением графика для $x > 0$.

3. Найдем область значений функции.

Из определения функции $y = \sqrt{\dots}$ следует, что $y \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается, когда подкоренное выражение равно нулю, то есть при $|x|=1$ и $|x|=5$ (точки $x = \pm 1, x = \pm 5$).

Когда $|x| \to \infty$, выражение $(|x| - 3)^2 - 4 \to \infty$, следовательно, $y \to \infty$.

Область значений: $E(y) = [0, \infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, -5] \cup [-1, 1] \cup [5, \infty)$. Область значений $E(y) = [0, \infty)$. График функции состоит из частей верхних ветвей двух гипербол, симметричных относительно оси Oy.

б) $y = \sqrt{4 - x^2} + 1$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

$4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies |x| \le 2 \implies -2 \le x \le 2$.

Область определения: $D(y) = [-2, 2]$.

2. Преобразуем уравнение.

$y - 1 = \sqrt{4 - x^2}$

Так как квадратный корень неотрицателен, $y - 1 \ge 0$, то есть $y \ge 1$. Возведем обе части в квадрат:

$(y - 1)^2 = 4 - x^2$

$x^2 + (y - 1)^2 = 4$

$x^2 + (y - 1)^2 = 2^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R=2$. Учитывая условие $y \ge 1$, графиком функции является верхняя полуокружность.

3. Найдем область значений функции.

Минимальное значение $y$ достигается на концах интервала области определения, при $x = \pm 2$:

$y(-2) = y(2) = \sqrt{4 - (\pm 2)^2} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 1$.

Максимальное значение $y$ достигается при $x=0$:

$y(0) = \sqrt{4 - 0^2} + 1 = 2 + 1 = 3$.

Таким образом, область значений: $E(y) = [1, 3]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-2, 2]$. Область значений $E(y) = [1, 3]$. График функции — верхняя полуокружность с центром в $(0, 1)$ и радиусом 2.

в) $y = 2 - \sqrt{(|x| - 1)^2}$

1. Упростим выражение.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = 2 - ||x| - 1|$

2. Найдем область определения функции (ОДЗ).

Выражение $(|x|-1)^2$ неотрицательно при любом действительном значении $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

$D(y) = (-\infty, \infty)$.

3. Проанализируем функцию и найдем область значений.

Рассмотрим выражение $f(x) = ||x| - 1|$.

Минимальное значение $f(x)$ равно $0$. Это достигается, когда $|x| - 1 = 0$, то есть при $|x| = 1$ ($x = \pm 1$).

Максимальное значение $f(x)$ на отрезке $[-1, 1]$ достигается при $x=0$, $f(0)=| |0|-1 | = |-1|=1$.

При $|x| \to \infty$, $f(x) \to \infty$.

Теперь рассмотрим исходную функцию $y = 2 - f(x) = 2 - ||x| - 1|$.

Так как $f(x) \ge 0$, то $-f(x) \le 0$, и $y = 2 - f(x) \le 2$.

Максимальное значение $y=2$ достигается, когда $f(x)$ минимально, т.е. $f(x)=0$. Это происходит при $x = \pm 1$.

При $x \to \pm\infty$, $f(x) \to \infty$, следовательно $y = 2 - f(x) \to -\infty$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 2]$.

График функции имеет W-образную форму, перевернутую и сдвинутую вверх. Вершины находятся в точках $(-1, 2)$, $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, \infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty, 2]$.

г) $y = \sqrt{1 - x^2} - 2$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

$1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies |x| \le 1 \implies -1 \le x \le 1$.

Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.

2. Преобразуем уравнение.

$y + 2 = \sqrt{1 - x^2}$

Так как квадратный корень неотрицателен, $y + 2 \ge 0$, то есть $y \ge -2$. Возведем обе части в квадрат:

$(y + 2)^2 = 1 - x^2$

$x^2 + (y + 2)^2 = 1$

$x^2 + (y + 2)^2 = 1^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $R=1$. Учитывая условие $y \ge -2$, графиком функции является верхняя полуокружность.

3. Найдем область значений функции.

Минимальное значение $y$ достигается на концах интервала области определения, при $x = \pm 1$:

$y(-1) = y(1) = \sqrt{1 - (\pm 1)^2} - 2 = \sqrt{0} - 2 = -2$.

Максимальное значение $y$ достигается при $x=0$:

$y(0) = \sqrt{1 - 0^2} - 2 = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, область значений: $E(y) = [-2, -1]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$. Область значений $E(y) = [-2, -1]$. График функции — верхняя полуокружность с центром в $(0, -2)$ и радиусом 1.

12.1 Постройте график функции:

а) $y = x^3;$

б) $y = -x^3;$

в) $y = (x - 1)^3;$

г) $y = -x^3 + 1.$

а) $y = x^3$

Это основная функция, график которой называется кубической параболой.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Функция является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция возрастает на всей области определения. Отметим вычисленные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y=x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

б) $y = -x^3$

График этой функции можно получить из графика функции $y = x^3$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что для каждой точки $(x, y)$ на графике $y = x^3$, точка $(x, -y)$ будет лежать на графике $y = -x^3$.

Составим таблицу значений:

График также проходит через начало координат $(0, 0)$, но в отличие от $y=x^3$, эта функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: График функции $y = -x^3$ — это кубическая парабола, симметричная графику $y=x^3$ относительно оси Ox, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.

в) $y = (x - 1)^3$

График этой функции получается из графика базовой функции $y = x^3$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox). Поскольку мы имеем $f(x-a)$, где $a=1$, сдвиг происходит на 1 единицу вправо.

Центральная точка (точка перегиба), которая для $y=x^3$ была в $(0, 0)$, теперь смещается в точку $(1, 0)$.

Составим таблицу значений, отталкиваясь от новой центральной точки:

Чтобы построить график, мы берем график $y=x^3$ и сдвигаем его целиком на одну единицу вправо по оси Ox.

Ответ: График функции $y=(x-1)^3$ — это кубическая парабола $y=x^3$, сдвинутая на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

г) $y = -x^3 + 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = -x^3$ (рассмотренного в пункте б) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси Oy). Поскольку мы имеем $f(x)+b$, где $b=1$, сдвиг происходит на 1 единицу вверх.

Центральная точка (точка перегиба), которая для $y=-x^3$ была в $(0, 0)$, теперь смещается в точку $(0, 1)$.

Составим таблицу значений:

Для построения графика мы берем график $y=-x^3$ и сдвигаем его целиком на одну единицу вверх по оси Oy.

Ответ: График функции $y=-x^3+1$ — это кубическая парабола $y=-x^3$, сдвинутая на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

12.2 Постройте график функции $y = f(x)$, где $f(x) = (x+2)^3 - 1$. С помощью графика найдите:

а) $f(-1)$, $f(-3)$, $f(0)$;

б) корень уравнения $f(x) = -9$;

в) решение неравенства $f(x) < 0$;

г) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; 0]$.

Для построения графика функции $f(x) = (x+2)^3 - 1$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = x^3$.

1. Сначала строим график функции $y=x^3$.

2. Затем сдвигаем его на 2 единицы влево вдоль оси Ox, чтобы получить график функции $y=(x+2)^3$.

3. Наконец, сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график функции $f(x) = (x+2)^3 - 1$.

В результате этих преобразований центр симметрии графика, который для $y=x^3$ находился в точке $(0,0)$, сместится в точку $(-2, -1)$.

Для более точного построения графика найдем несколько ключевых точек, составив таблицу значений:

График функции — это возрастающая на всей области определения кривая (кубическая парабола), проходящая через вычисленные точки.

а) $f(-1), f(-3), f(0)$

Чтобы найти значения функции с помощью графика, нужно найти на оси абсцисс (Ox) точки $x = -1, x = -3, x = 0$ и определить, какие значения ординат (y) им соответствуют на графике.

• Для $x=-1$ находим на графике точку $(-1, 0)$. Следовательно, $f(-1) = 0$.
• Для $x=-3$ находим на графике точку $(-3, -2)$. Следовательно, $f(-3) = -2$.
• Для $x=0$ находим на графике точку $(0, 7)$. Следовательно, $f(0) = 7$.

Ответ: $f(-1) = 0, f(-3) = -2, f(0) = 7$.

б) корень уравнения $f(x) = -9$

Найти корень уравнения $f(x) = -9$ графически — значит найти абсциссу точки пересечения графика функции $y=f(x)$ и прямой $y=-9$. Из таблицы значений и по графику видно, что $y=-9$ при $x=-4$.

Проверим аналитически:
$(x+2)^3 - 1 = -9$
$(x+2)^3 = -8$
$x+2 = \sqrt[3]{-8}$
$x+2 = -2$
$x = -4$

Ответ: $x = -4$.

в) решение неравенства $f(x) < 0$

Решить неравенство $f(x) < 0$ графически — значит найти промежутки оси Ox, на которых график функции расположен ниже этой оси. График пересекает ось Ox в точке $x = -1$ (так как $f(-1)=0$). Левее этой точки значения функции отрицательны (график лежит ниже оси Ox).

Следовательно, неравенство выполняется при $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

г) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; 0]$

Рассмотрим поведение функции на отрезке $[-3; 0]$. Так как функция $f(x)=(x+2)^3 - 1$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, ее наименьшее значение на отрезке будет достигаться в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.

Наименьшее значение на отрезке: $y_{наим} = f(-3) = -2$.

Наибольшее значение на отрезке: $y_{наиб} = f(0) = 7$.

Это хорошо видно на графике: самая низкая точка на данном отрезке — это $(-3, -2)$, а самая высокая — $(0, 7)$.

Ответ: наименьшее значение равно -2 (при $x=-3$), наибольшее значение равно 7 (при $x=0$).