Страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.28 Найдя промежутки монотонности функции $y = f(x)$, сравните $f(a)$ и $f(b)$, если:

а) $f(x) = 3,7x^2 - 7,4x - 9, a = 2,9, b = 3,1$;

б) $f(x) = -4,1x^2 - 16,4x + 3, a = -1,8, b = -1,3$;

в) $f(x) = 1,9x^2 + 5,7x + 4, a = -5,2, b = -2,2$;

г) $f(x) = -3,3x^2 + 3,3x, a = 0,55, b = 0,53$.

Для решения задачи необходимо для каждой квадратичной функции $y = f(x) = kx^2 + mx + n$ найти координату вершины параболы $x_0 = -\frac{m}{2k}$. Знак коэффициента $k$ определяет направление ветвей параболы и, соответственно, характер монотонности функции.

• Если $k > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, \infty)$.
• Если $k < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, \infty)$.

После определения промежутков монотонности можно сравнить значения функции $f(a)$ и $f(b)$, определив, на каком из этих промежутков находятся точки $a$ и $b$.

а) $f(x) = 3,7x^2 - 7,4x - 9$, $a = 2,9$, $b = 3,1$

Это квадратичная функция, коэффициент при $x^2$ равен $k = 3,7$. Так как $k > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{-7,4}{2 \cdot 3,7} = \frac{7,4}{7,4} = 1$.

Следовательно, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Сравним $f(a)$ и $f(b)$. Имеем $a = 2,9$ и $b = 3,1$. Оба эти значения лежат на промежутке $[1, \infty)$, так как $1 < 2,9 < 3,1$. На этом промежутке функция возрастает. Поскольку $a < b$, то и $f(a) < f(b)$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty, 1]$, возрастает на $[1, \infty)$; $f(2,9) < f(3,1)$.

б) $f(x) = -4,1x^2 - 16,4x + 3$, $a = -1,8$, $b = -1,3$

Это квадратичная функция, коэффициент при $x^2$ равен $k = -4,1$. Так как $k < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{-16,4}{2 \cdot (-4,1)} = -\frac{-16,4}{-8,2} = -2$.

Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty, -2]$ и убывает на промежутке $[-2, \infty)$.

Сравним $f(a)$ и $f(b)$. Имеем $a = -1,8$ и $b = -1,3$. Оба эти значения лежат на промежутке $[-2, \infty)$, так как $-2 < -1,8 < -1,3$. На этом промежутке функция убывает. Поскольку $a < b$, то $f(a) > f(b)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty, -2]$, убывает на $[-2, \infty)$; $f(-1,8) > f(-1,3)$.

в) $f(x) = 1,9x^2 + 5,7x + 4$, $a = -5,2$, $b = -2,2$

Это квадратичная функция, коэффициент при $x^2$ равен $k = 1,9$. Так как $k > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{5,7}{2 \cdot 1,9} = -\frac{5,7}{3,8} = -1,5$.

Следовательно, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, -1,5]$ и возрастает на промежутке $[-1,5, \infty)$.

Сравним $f(a)$ и $f(b)$. Имеем $a = -5,2$ и $b = -2,2$. Оба эти значения лежат на промежутке $(-\infty, -1,5]$, так как $-5,2 < -2,2 < -1,5$. На этом промежутке функция убывает. Поскольку $a < b$, то $f(a) > f(b)$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty, -1,5]$, возрастает на $[-1,5, \infty)$; $f(-5,2) > f(-2,2)$.

г) $f(x) = -3,3x^2 + 3,3x$, $a = 0,55$, $b = 0,53$

Это квадратичная функция, коэффициент при $x^2$ равен $k = -3,3$. Так как $k < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{3,3}{2 \cdot (-3,3)} = -\frac{1}{-2} = 0,5$.

Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty, 0,5]$ и убывает на промежутке $[0,5, \infty)$.

Сравним $f(a)$ и $f(b)$. Имеем $a = 0,55$ и $b = 0,53$. Оба эти значения лежат на промежутке $[0,5, \infty)$, так как $0,5 < 0,53 < 0,55$. На этом промежутке функция убывает. В данном случае $b < a$. Поскольку функция убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно $f(b) > f(a)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 0,5]$, убывает на $[0,5, \infty)$; $f(0,55) < f(0,53)$.

Является ли симметричным заданное множество:

11.1 а) $[-3; 3]$;

б) $(-\infty; +\infty)$;

в) $[-4; 1]$;

г) $[0; +\infty)$?

Множество $D$ называется симметричным относительно начала координат, если для любого элемента $x$, принадлежащего этому множеству, противоположный ему элемент $-x$ также принадлежит этому множеству. То есть, для симметричного множества должно выполняться условие: если $x \in D$, то и $-x \in D$.

а) Рассмотрим множество $[-3; 3]$.

Возьмем произвольное число $x$ из этого множества. Это означает, что выполняется двойное неравенство: $-3 \le x \le 3$.

Чтобы проверить, принадлежит ли множеству элемент $-x$, умножим все части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-3) \ge (-1) \cdot x \ge (-1) \cdot 3$

$3 \ge -x \ge -3$

Это неравенство эквивалентно записи $-3 \le -x \le 3$. Это означает, что число $-x$ также принадлежит множеству $[-3; 3]$.

Поскольку для любого $x \in [-3; 3]$ выполняется и условие $-x \in [-3; 3]$, данное множество является симметричным.

Ответ: да, является.

б) Рассмотрим множество $(-\infty; +\infty)$.

Это множество всех действительных чисел. Если взять любое действительное число $x$, то противоположное ему число $-x$ также является действительным числом. Следовательно, $-x$ также принадлежит множеству $(-\infty; +\infty)$.

Таким образом, для любого $x \in (-\infty; +\infty)$ выполняется условие $-x \in (-\infty; +\infty)$, и множество является симметричным.

Ответ: да, является.

в) Рассмотрим множество $[-4; 1]$.

Чтобы множество было симметричным, для каждого его элемента $x$ в множестве должен содержаться и элемент $-x$.

Проверим это условие. Возьмем, например, число $x = -4$, которое принадлежит множеству $[-4; 1]$. Противоположное ему число $-x = -(-4) = 4$.

Однако число $4$ не принадлежит множеству $[-4; 1]$, так как $4 > 1$.

Поскольку мы нашли элемент множества ($x=-4$), для которого противоположный элемент ($-x=4$) не принадлежит этому множеству, данное множество не является симметричным.

Ответ: нет, не является.

г) Рассмотрим множество $[0; +\infty)$.

Это множество всех неотрицательных чисел. Проверим условие симметричности.

Возьмем любое положительное число из этого множества, например, $x = 5$. Число $5 \in [0; +\infty)$.

Противоположное ему число $-x = -5$. Число $-5$ не принадлежит множеству $[0; +\infty)$, так как $-5 < 0$.

Условие симметричности не выполняется для любого положительного числа из этого множества (исключение составляет только $x=0$). Следовательно, данное множество не является симметричным.

Ответ: нет, не является.

11.2 a) $ [-6; 2) $;

б) $ (-\infty; 4) $;

в) $ (-12; 12] $;

г) $ (-\infty; 0) $?

а) [-6; 2]

Данный промежуток является числовым отрезком. Он включает в себя все действительные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-6 \le x \le 2$. Это означает, что число $x$ больше или равно -6 и одновременно меньше или равно 2.

Геометрически этот отрезок можно изобразить на числовой прямой. Точки -6 и 2, являющиеся концами отрезка, закрашены, так как они принадлежат данному промежутку (квадратные скобки указывают на включение границ).

Длина отрезка вычисляется как разность между его правым и левым концами: $L = 2 - (-6) = 2 + 6 = 8$.

Целые числа, принадлежащие данному отрезку: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: Промежуток [-6; 2] представляет собой отрезок на числовой оси, соответствующий неравенству $-6 \le x \le 2$. Его длина равна 8. Целые числа на отрезке: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

б) (-∞; 4)

Данный промежуток является открытым числовым лучом. Он включает в себя все действительные числа $x$, которые строго меньше 4. Это записывается неравенством $x < 4$.

Геометрически этот луч изображается на числовой прямой как часть прямой, расположенная левее точки 4. Сама точка 4 изображается "выколотой" (пустым кружком), так как она не принадлежит данному промежутку (круглая скобка указывает на исключение границы).

Длина этого промежутка бесконечна, так как он не ограничен слева (символ $-∞$ обозначает минус бесконечность).

Целые числа, принадлежащие данному лучу: все целые числа, меньшие 4, то есть ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: Промежуток (-∞; 4) представляет собой открытый числовой луч, соответствующий неравенству $x < 4$. Его длина бесконечна. Целые числа на луче: все целые числа, меньшие 4.

в) (-12; 12]

Данный промежуток является полуинтервалом (или полуотрезком), открытым слева и замкнутым справа. Он включает в себя все действительные числа $x$, которые больше -12 и одновременно меньше или равны 12. Это соответствует двойному неравенству $-12 < x \le 12$.

Геометрически на числовой прямой левый конец -12 изображается "выколотой" точкой (круглая скобка), а правый конец 12 — закрашенной (квадратная скобка).

Длина полуинтервала вычисляется как разность между его правым и левым концами: $L = 12 - (-12) = 12 + 12 = 24$.

Целые числа, принадлежащие данному полуинтервалу: -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Ответ: Промежуток (-12; 12] представляет собой полуинтервал, соответствующий неравенству $-12 < x \le 12$. Его длина равна 24. Целые числа на полуинтервале: от -11 до 12 включительно.

г) (-∞; 0)?

Рассмотрим промежуток (-∞; 0), предполагая, что вопросительный знак в конце является опечаткой. Этот промежуток является открытым числовым лучом. Он включает в себя все действительные числа $x$, которые строго меньше 0 (то есть все отрицательные числа). Это записывается неравенством $x < 0$.

Геометрически этот луч изображается на числовой прямой как часть прямой, расположенная левее точки 0. Сама точка 0 изображается "выколотой", так как не принадлежит данному промежутку.

Длина этого промежутка бесконечна.

Целые числа, принадлежащие данному лучу: все отрицательные целые числа, то есть ..., -3, -2, -1.

Если вопросительный знак является частью задания, то он может подразумевать некий вопрос относительно данного промежутка в контексте остальных. Например, вопрос мог бы быть: "Какой из данных промежутков не содержит число 0?". В этом случае, промежутки а), б) и в) содержат 0, а промежуток г) (-∞; 0) — нет. Таким образом, он является ответом на такой гипотетический вопрос.

Ответ: Промежуток (-∞; 0) представляет собой открытый числовой луч, соответствующий неравенству $x < 0$. Он содержит все отрицательные действительные числа. Его длина бесконечна. Целые числа на луче: все отрицательные целые числа (..., -3, -2, -1).

11.3 Докажите, что функция является чётной:

а) $y = 3x^2 + x^4;$

б) $y = 4x^6 - x^2;$

в) $y = 2x^8 - x^6;$

г) $y = 5x^2 + x^{10}.$

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняются два условия:
1. Область определения функции симметрична относительно нуля (то есть если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Все данные функции являются многочленами, область определения которых — множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, поэтому первое условие для всех функций выполнено. Проверим для каждой функции выполнение второго условия.

а) $y = 3x^2 + x^4$
Обозначим функцию как $y(x) = 3x^2 + x^4$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = 3(-x)^2 + (-x)^4$.
Так как при возведении отрицательного числа в чётную степень результат является положительным, то $(-x)^2 = x^2$ и $(-x)^4 = x^4$.
Подставив это в выражение, получаем:
$y(-x) = 3x^2 + x^4$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция является чётной.

б) $y = 4x^6 - x^2$
Обозначим функцию как $y(x) = 4x^6 - x^2$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = 4(-x)^6 - (-x)^2$.
Поскольку степени 6 и 2 являются чётными, то $(-x)^6 = x^6$ и $(-x)^2 = x^2$.
Следовательно, выражение принимает вид:
$y(-x) = 4x^6 - x^2$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция является чётной.

в) $y = 2x^8 - x^6$
Обозначим функцию как $y(x) = 2x^8 - x^6$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = 2(-x)^8 - (-x)^6$.
Поскольку степени 8 и 6 являются чётными, то $(-x)^8 = x^8$ и $(-x)^6 = x^6$.
Таким образом, получаем:
$y(-x) = 2x^8 - x^6$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция является чётной.

г) $y = 5x^2 + x^{10}$
Обозначим функцию как $y(x) = 5x^2 + x^{10}$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = 5(-x)^2 + (-x)^{10}$.
Поскольку степени 2 и 10 являются чётными, то $(-x)^2 = x^2$ и $(-x)^{10} = x^{10}$.
В результате получаем:
$y(-x) = 5x^2 + x^{10}$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция является чётной.

11.4 Докажите, что функция является нечётной:

а) $y = x^2(2x - x^3)$;

б) $y = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$;

в) $y = x(5 - x^2)$;

г) $y = \frac{3x}{x^6 + 2}$.

а) Для функции $y = x^2(2x - x^3)$ необходимо доказать, что она является нечётной. Функция является нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Обозначим $f(x) = x^2(2x - x^3)$. Упростим выражение: $f(x) = 2x^3 - x^5$.
1. Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 2(-x)^3 - (-x)^5 = 2(-x^3) - (-x^5) = -2x^3 + x^5$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(2x^3 - x^5) = -2x^3 + x^5$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, оба условия выполнены, и функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

б) Для функции $y = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$ проверим выполнение условий нечётной функции.
Обозначим $f(x) = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$.
1. Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $2x^3 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^4 + 1}{2(-x)^3} = \frac{x^4 + 1}{2(-x^3)} = -\frac{x^4 + 1}{2x^3}$.
Сравнивая полученное выражение с $-f(x) = -(\frac{x^4 + 1}{2x^3})$, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

в) Для функции $y = x(5 - x^2)$ проверим выполнение условий нечётной функции.
Обозначим $f(x) = x(5 - x^2)$. Упростим выражение: $f(x) = 5x - x^3$.
1. Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 5(-x) - (-x)^3 = -5x - (-x^3) = -5x + x^3$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(5x - x^3) = -5x + x^3$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

г) Для функции $y = \frac{3x}{x^6 + 2}$ проверим выполнение условий нечётной функции.
Обозначим $f(x) = \frac{3x}{x^6 + 2}$.
1. Найдём область определения. Знаменатель $x^6 + 2$ всегда положителен, так как $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, и следовательно $x^6 + 2 \ge 2$. Знаменатель никогда не обращается в ноль. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^6 + 2} = \frac{-3x}{x^6 + 2} = -\frac{3x}{x^6 + 2}$.
Сравнивая полученное выражение с $-f(x) = -(\frac{3x}{x^6+2})$, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

11.5 Докажите, что функция $y = x^2 + x$ не является ни чётной, ни нечётной.

Чтобы доказать, что функция $y(x) = x^2 + x$ не является ни чётной, ни нечётной, необходимо проверить, выполняются ли для неё соответствующие определения. Область определения данной функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля, что является необходимым условием для исследования функции на чётность и нечётность.

Функция является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.
Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$.
Теперь сравним $y(-x)$ с $y(x)$: равенство $x^2 - x = x^2 + x$ выполняется только при $-x = x$, то есть при $x=0$. Поскольку равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения, а не только для одной точки, функция не является чётной.
Для доказательства достаточно привести контрпример. Возьмём $x = 1$:
$y(1) = 1^2 + 1 = 2$
$y(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$
Так как $y(1) \neq y(-1)$, функция не является чётной.

Функция является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
Мы уже нашли, что $y(-x) = x^2 - x$. Найдём выражение для $-y(x)$:
$-y(x) = -(x^2 + x) = -x^2 - x$.
Теперь сравним $y(-x)$ с $-y(x)$: равенство $x^2 - x = -x^2 - x$ выполняется только при $x^2 = -x^2$, то есть при $x=0$. Поскольку равенство не выполняется для всех $x$ из области определения, функция не является нечётной.
Используем тот же контрпример $x=1$:
$y(-1) = 0$
$-y(1) = -(1^2+1) = -2$
Так как $y(-1) \neq -y(1)$, функция не является нечётной.

Поскольку функция не удовлетворяет ни условию чётности, ни условию нечётности, она является функцией общего вида.

Ответ: Доказано, что функция $y = x^2 + x$ не является ни чётной, ни нечётной.