Страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.18 Функция $y = f(x)$ задана на множестве всех целых чисел с помощью следующего правила: каждому числу $x$ ставится в соответствие цифра единиц квадрата числа $x$. Найдите:

а) $f(73)$;

б) $f(-6)$;

в) $f(-3)$;

г) $f(12)$.

По условию, функция $y = f(x)$ ставит в соответствие каждому целому числу $x$ цифру единиц его квадрата, то есть $x^2$.

а) $f(73)$
Чтобы найти значение $f(73)$, необходимо найти последнюю цифру числа $73^2$. Цифра единиц квадрата числа определяется только цифрой единиц самого числа. Последняя цифра числа 73 — это 3. Возведем эту цифру в квадрат: $3^2 = 9$. Цифра единиц числа 9 — это 9. Следовательно, $f(73) = 9$.
Ответ: 9

б) $f(-6)$
Чтобы найти значение $f(-6)$, необходимо найти последнюю цифру числа $(-6)^2$. Возводим -6 в квадрат: $(-6)^2 = 36$. Последняя цифра числа 36 — это 6. Следовательно, $f(-6) = 6$.
Ответ: 6

в) $f(-3)$
Чтобы найти значение $f(-3)$, необходимо найти последнюю цифру числа $(-3)^2$. Возводим -3 в квадрат: $(-3)^2 = 9$. Последняя цифра числа 9 — это 9. Следовательно, $f(-3) = 9$.
Ответ: 9

г) $f(12)$
Чтобы найти значение $f(12)$, необходимо найти последнюю цифру числа $12^2$. Возводим 12 в квадрат: $12^2 = 144$. Последняя цифра числа 144 — это 4. Следовательно, $f(12) = 4$. Альтернативно, можно было взять последнюю цифру числа 12, то есть 2, и возвести ее в квадрат: $2^2 = 4$.
Ответ: 4

9.19 Функция $y = f(x)$ задана на множестве всех целых чисел с помощью следующего правила: каждому числу $x$ ставится в соответствие цифра единиц квадрата числа $x$. Найдите область значений этой функции.

По условию, функция $y = f(x)$ сопоставляет каждому целому числу $x$ цифру единиц его квадрата $x^2$. Область определения функции — множество всех целых чисел ($\mathbb{Z}$). Нам необходимо найти область значений функции, то есть множество всех возможных значений, которые может принимать $y$.

Цифра, на которую оканчивается квадрат целого числа ($x^2$), определяется исключительно цифрой, на которую оканчивается само число $x$. Любое целое число может оканчиваться на одну из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Проанализируем, на какую цифру будет оканчиваться квадрат числа в каждом из этих случаев.

• Если последняя цифра числа $x$ равна 0, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $0^2 = 0$. Значение функции: 0.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 1, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $1^2 = 1$. Значение функции: 1.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 2, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $2^2 = 4$. Значение функции: 4.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 3, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $3^2 = 9$. Значение функции: 9.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 4, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $4^2 = 16$, то есть 6. Значение функции: 6.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 5, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $5^2 = 25$, то есть 5. Значение функции: 5.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 6, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $6^2 = 36$, то есть 6. Значение функции: 6.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 7, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $7^2 = 49$, то есть 9. Значение функции: 9.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 8, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $8^2 = 64$, то есть 4. Значение функции: 4.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 9, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $9^2 = 81$, то есть 1. Значение функции: 1.

Соберем все уникальные значения, которые может принимать функция $f(x)$. Это цифры: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Таким образом, область значений функции $E(f)$ — это множество, состоящее из этих цифр.

Ответ: $E(f) = \{0, 1, 4, 5, 6, 9\}$.

Постройте график функции:

9.20 a) $y=[x], x \in [0; 6];$

б) $y=[x], x \in (-6; 0).$

Построим график функции $y = [x]$ на отрезке $x \in [0; 6]$.

Функция $y = [x]$ (целая часть числа, или антье) определяется как наибольшее целое число, не превосходящее $x$. График этой функции является ступенчатым.

Разобьем отрезок $[0; 6]$ на единичные промежутки и определим значение функции на каждом из них:
При $x \in [0; 1)$, то есть $0 \le x < 1$, целая часть $[x] = 0$, следовательно, $y = 0$.
При $x \in [1; 2)$, то есть $1 \le x < 2$, целая часть $[x] = 1$, следовательно, $y = 1$.
При $x \in [2; 3)$, то есть $2 \le x < 3$, целая часть $[x] = 2$, следовательно, $y = 2$.
При $x \in [3; 4)$, то есть $3 \le x < 4$, целая часть $[x] = 3$, следовательно, $y = 3$.
При $x \in [4; 5)$, то есть $4 \le x < 5$, целая часть $[x] = 4$, следовательно, $y = 4$.
При $x \in [5; 6)$, то есть $5 \le x < 6$, целая часть $[x] = 5$, следовательно, $y = 5$.
При $x = 6$, целая часть $[x] = 6$, следовательно, $y = 6$. Это отдельная точка.

График будет состоять из набора горизонтальных отрезков. Каждый отрезок на промежутке $[n; n+1)$ начинается с закрашенной точки (включая левый конец) и заканчивается выколотой точкой (исключая правый конец). Последняя точка $(6, 6)$ является изолированной и закрашенной.

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков: $y=0$ при $x \in [0; 1)$, $y=1$ при $x \in [1; 2)$, $y=2$ при $x \in [2; 3)$, $y=3$ при $x \in [3; 4)$, $y=4$ при $x \in [4; 5)$, $y=5$ при $x \in [5; 6)$, и отдельной точки $(6, 6)$.

Построим график функции $y = [x]$ на интервале $x \in (-6; 0)$.

Функция $y = [x]$ (целая часть числа) определяется как наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Разобьем интервал $(-6; 0)$ на единичные промежутки и определим значение функции на каждом из них:
При $x \in (-6; -5)$, то есть $-6 < x < -5$, целая часть $[x] = -6$, следовательно, $y = -6$.
При $x \in [-5; -4)$, то есть $-5 \le x < -4$, целая часть $[x] = -5$, следовательно, $y = -5$.
При $x \in [-4; -3)$, то есть $-4 \le x < -3$, целая часть $[x] = -4$, следовательно, $y = -4$.
При $x \in [-3; -2)$, то есть $-3 \le x < -2$, целая часть $[x] = -3$, следовательно, $y = -3$.
При $x \in [-2; -1)$, то есть $-2 \le x < -1$, целая часть $[x] = -2$, следовательно, $y = -2$.
При $x \in [-1; 0)$, то есть $-1 \le x < 0$, целая часть $[x] = -1$, следовательно, $y = -1$.

График будет состоять из набора горизонтальных отрезков. На промежутке $(-6; -5)$ отрезок будет иметь выколотые точки на обоих концах: $(-6, -6)$ и $(-5, -6)$. Для остальных промежутков вида $[n; n+1)$ отрезок начинается с закрашенной точки и заканчивается выколотой. Поскольку $x=0$ не входит в область определения, последняя точка $(0, -1)$ выколота.

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков: $y=-6$ при $x \in (-6; -5)$, $y=-5$ при $x \in [-5; -4)$, $y=-4$ при $x \in [-4; -3)$, $y=-3$ при $x \in [-3; -2)$, $y=-2$ при $x \in [-2; -1)$, и $y=-1$ при $x \in [-1; 0)$.

9.21 a) $y = \sqrt{[x]}$;

б) $y = [\sqrt{x}].

a) $y = \sqrt{[x]}$

В этой задаче $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ (функция «пол», или «антье»), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[3.7] = 3$, $[5] = 5$, $[-1.2] = -2$.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ [x] \ge 0 $$ Поскольку $[x]$ является целым числом, это означает, что $[x]$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \dots$. Условие $[x] \ge 0$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Построение графика и область значений.
Функция является кусочно-постоянной (ступенчатой). Значение $y$ постоянно на каждом интервале вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое неотрицательное число. Рассмотрим несколько таких интервалов:
- При $x \in [0, 1)$, имеем $[x] = 0$, следовательно, $y = \sqrt{0} = 0$.
- При $x \in [1, 2)$, имеем $[x] = 1$, следовательно, $y = \sqrt{1} = 1$.
- При $x \in [2, 3)$, имеем $[x] = 2$, следовательно, $y = \sqrt{2}$.
- При $x \in [3, 4)$, имеем $[x] = 3$, следовательно, $y = \sqrt{3}$.
- При $x \in [4, 5)$, имеем $[x] = 4$, следовательно, $y = \sqrt{4} = 2$.
В общем случае, для любого целого неотрицательного числа $n$, на промежутке $x \in [n, n+1)$ функция принимает постоянное значение $y = \sqrt{n}$. График функции состоит из набора горизонтальных отрезков. Для каждого интервала $[n, n+1)$ левая точка $(n, \sqrt{n})$ включается в график, а правая точка $(n+1, \sqrt{n})$ — не включается.

Область значений функции — это множество значений, которые она принимает: $E(y) = \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \dots \}$, то есть $E(y) = \{\sqrt{n} \mid n \in \mathbb{Z}, n \ge 0\}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{[x]}$ является ступенчатой функцией, определённой при $x \ge 0$. Он состоит из горизонтальных отрезков; на каждом промежутке $[n, n+1)$, где $n$ — целое неотрицательное число, функция постоянна и равна $y = \sqrt{n}$.

б) $y = [\sqrt{x}]$

В этой функции сначала вычисляется квадратный корень из $x$, а затем от результата берётся целая часть.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ x \ge 0 $$ Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Построение графика и область значений.
Эта функция также является кусочно-постоянной (ступенчатой). Значение $y$ меняется, когда $\sqrt{x}$ становится равным целому числу. Пусть $y=k$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число. Тогда по определению целой части: $$ k \le \sqrt{x} < k+1 $$ Поскольку все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат: $$ k^2 \le x < (k+1)^2 $$ Это неравенство определяет, на каком промежутке по оси $x$ функция принимает значение $k$.
Рассмотрим значения $y$ для разных $k$:
- Если $y = 0$, то $0 \le \sqrt{x} < 1$, откуда $0 \le x < 1$.
- Если $y = 1$, то $1 \le \sqrt{x} < 2$, откуда $1 \le x < 4$.
- Если $y = 2$, то $2 \le \sqrt{x} < 3$, откуда $4 \le x < 9$.
- Если $y = 3$, то $3 \le \sqrt{x} < 4$, откуда $9 \le x < 16$.
В общем случае, для любого целого неотрицательного числа $k$, функция принимает постоянное значение $y = k$ на промежутке $x \in [k^2, (k+1)^2)$. График функции состоит из набора горизонтальных отрезков. Для каждого $k \ge 0$ на промежутке $[k^2, (k+1)^2)$ левая точка $(k^2, k)$ включается в график, а правая точка $((k+1)^2, k)$ — не включается. Длина этих отрезков увеличивается: $(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$.

Область значений функции — это множество всех неотрицательных целых чисел: $E(y) = \{0, 1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{Z}_{\ge 0}$.

Ответ: График функции $y = [\sqrt{x}]$ является ступенчатой функцией, определённой при $x \ge 0$. Он состоит из горизонтальных отрезков; на каждом промежутке $[k^2, (k+1)^2)$, где $k$ — целое неотрицательное число, функция постоянна и равна $y = k$.

Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает:

10.1 а) $y=5x;$

б) $y=2x+3;$

в) $y=2x-3;$

г) $y=\frac{x}{2}+4.$

Для доказательства того, что функция является возрастающей, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Воспользуемся свойствами числовых неравенств.

а) $y = 5x$

Пусть $x_2 > x_1$. Нам нужно доказать, что $y(x_2) > y(x_1)$. Выразим значения функции: $y_1 = 5x_1$ и $y_2 = 5x_2$. Возьмем исходное неравенство $x_2 > x_1$ и умножим обе его части на положительное число 5. Согласно свойству числовых неравенств, при умножении на положительное число знак неравенства не меняется: $5x_2 > 5x_1$ Так как $y_2 = 5x_2$ и $y_1 = 5x_1$, мы получаем: $y_2 > y_1$ Это доказывает, что функция $y = 5x$ является возрастающей.
Ответ: Доказано, что функция возрастает.

б) $y = 2x + 3$

Пусть $x_2 > x_1$. Нам нужно доказать, что $y(x_2) > y(x_1)$. Значения функции: $y_1 = 2x_1 + 3$ и $y_2 = 2x_2 + 3$. Начнем с неравенства $x_2 > x_1$. 1. Умножим обе части на положительное число 2. Знак неравенства сохранится: $2x_2 > 2x_1$ 2. Прибавим к обеим частям неравенства число 3. Знак неравенства также сохранится: $2x_2 + 3 > 2x_1 + 3$ Следовательно, мы получили $y_2 > y_1$. Это доказывает, что функция $y = 2x + 3$ является возрастающей.
Ответ: Доказано, что функция возрастает.

в) $y = 2x - 3$

Пусть $x_2 > x_1$. Нам нужно доказать, что $y(x_2) > y(x_1)$. Значения функции: $y_1 = 2x_1 - 3$ и $y_2 = 2x_2 - 3$. Начнем с неравенства $x_2 > x_1$. 1. Умножим обе части на положительное число 2. Знак неравенства сохранится: $2x_2 > 2x_1$ 2. Вычтем из обеих частей неравенства число 3 (что эквивалентно прибавлению -3). Знак неравенства сохранится: $2x_2 - 3 > 2x_1 - 3$ Следовательно, мы получили $y_2 > y_1$. Это доказывает, что функция $y = 2x - 3$ является возрастающей.
Ответ: Доказано, что функция возрастает.

г) $y = \frac{x}{2} + 4$

Пусть $x_2 > x_1$. Нам нужно доказать, что $y(x_2) > y(x_1)$. Значения функции: $y_1 = \frac{x_1}{2} + 4$ и $y_2 = \frac{x_2}{2} + 4$. Начнем с неравенства $x_2 > x_1$. 1. Разделим обе части на положительное число 2 (что эквивалентно умножению на $\frac{1}{2}$). Знак неравенства сохранится: $\frac{x_2}{2} > \frac{x_1}{2}$ 2. Прибавим к обеим частям неравенства число 4. Знак неравенства сохранится: $\frac{x_2}{2} + 4 > \frac{x_1}{2} + 4$ Следовательно, мы получили $y_2 > y_1$. Это доказывает, что функция $y = \frac{x}{2} + 4$ является возрастающей.
Ответ: Доказано, что функция возрастает.

10.2 a) $y = x^3;$

Б) $y = 2x^3;$

В) $y = x^3 + 1;$

Г) $y = \frac{x^3}{2}.$

а) $y = x^3$

1. Область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (x^3)' = 3x^2$.

3. Нахождение критических точек.
Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = 3x^2$ существует на всей области определения.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$3x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x = 0$.
Таким образом, имеется одна критическая точка $x=0$.

4. Определение промежутков монотонности.
Критическая точка $x=0$ разбивает числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.
Для любого $x \ne 0$, $x^2 > 0$, следовательно, производная $y' = 3x^2 > 0$.
Это означает, что функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она монотонно возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

5. Нахождение точек экстремума.
Для нахождения точек экстремума нужно проверить, меняет ли производная знак при переходе через критическую точку $x=0$. Так как производная $y' = 3x^2$ положительна как слева, так и справа от $x=0$, то в этой точке экстремума нет.

Ответ: функция $y = x^3$ возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.

б) $y = 2x^3$

1. Область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используя правило дифференцирования произведения на константу и степенной функции:
$y' = (2x^3)' = 2 \cdot (x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$.

3. Нахождение критических точек.
Производная $y' = 6x^2$ существует везде. Решим уравнение $y' = 0$:
$6x^2 = 0$
$x = 0$.
Критическая точка одна: $x=0$.

4. Определение промежутков монотонности.
Рассмотрим знак производной $y' = 6x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$, производная $y' \ge 0$ на всей числовой оси и равна нулю только при $x=0$.
Следовательно, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ и, в силу непрерывности, на всей области определения.

5. Нахождение точек экстремума.
При переходе через точку $x=0$ производная не меняет свой знак (остается неотрицательной). Следовательно, точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция $y = 2x^3$ возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.

в) $y = x^3 + 1$

1. Область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используем правило дифференцирования суммы:
$y' = (x^3 + 1)' = (x^3)' + (1)' = 3x^2 + 0 = 3x^2$.

3. Нахождение критических точек.
Производная $y' = 3x^2$ существует для всех $x$. Решим уравнение $y' = 0$:
$3x^2 = 0$
$x = 0$.
Имеется одна критическая точка $x=0$.

4. Определение промежутков монотонности.
Проанализируем знак производной $y' = 3x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $3x^2 \ge 0$ для любых $x$. Производная равна нулю только при $x=0$.
На промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ производная положительна, следовательно, функция возрастает. Так как функция непрерывна, она возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

5. Нахождение точек экстремума.
В точке $x=0$ производная не меняет знак. Таким образом, функция не имеет точек экстремума.

Ответ: функция $y = x^3 + 1$ возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.

г) $y = \frac{x^3}{2}$

1. Область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используем правило вынесения константы за знак производной:
$y' = \left(\frac{x^3}{2}\right)' = \frac{1}{2} (x^3)' = \frac{1}{2} \cdot 3x^2 = \frac{3}{2}x^2$.

3. Нахождение критических точек.
Производная $y' = \frac{3}{2}x^2$ существует для всех $x$. Решим уравнение $y' = 0$:
$\frac{3}{2}x^2 = 0$
$x = 0$.
Критическая точка $x=0$.

4. Определение промежутков монотонности.
Рассмотрим знак производной $y' = \frac{3}{2}x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, производная $y' \ge 0$ на всей числовой оси, обращаясь в ноль лишь в точке $x=0$.
Это означает, что функция является возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

5. Нахождение точек экстремума.
При переходе через критическую точку $x=0$ знак производной не изменяется. Следовательно, у функции нет точек экстремума.

Ответ: функция $y = \frac{x^3}{2}$ возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.

10.3 a) $y = x^2, x \ge 0;$

б) $y = -\frac{1}{x}, x < 0;$

В) $y = -\frac{1}{x}, x > 0;$

Г) $y = -3x^2, x \le 0.$

а) Исходная функция задана уравнением $y = x^2$ на области определения $x \ge 0$.

Для нахождения обратной функции нужно выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Область определения исходной функции станет областью значений обратной, а область значений исходной — областью определения обратной.

1. Найдём область значений исходной функции. Так как по условию $x \ge 0$, то $y = x^2$ будет принимать все значения от $0$ включительно и больше. Таким образом, область значений функции: $y \in [0; +\infty)$.

2. Выразим $x$ из уравнения $y = x^2$. Получаем $x = \pm\sqrt{y}$. Поскольку по условию $x \ge 0$, мы выбираем арифметический (неотрицательный) корень: $x = \sqrt{y}$.

3. Теперь поменяем переменные $x$ и $y$ местами, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде $y = f^{-1}(x)$.

Получаем: $y = \sqrt{x}$.

Область определения обратной функции — это область значений исходной, то есть $x \ge 0$. Область значений обратной функции ($y \ge 0$) — это область определения исходной. Условия выполняются.

Ответ: $y = \sqrt{x}$

б) Исходная функция задана уравнением $y = -\frac{1}{x}$ на области определения $x < 0$.

1. Найдём область значений исходной функции. Если $x$ принимает отрицательные значения ($x < 0$), то $\frac{1}{x}$ также отрицательно. Следовательно, $y = -\frac{1}{x}$ будет положительным. При $x \to 0^-$ $y \to +\infty$, а при $x \to -\infty$ $y \to 0$. Таким образом, область значений функции: $y \in (0; +\infty)$, то есть $y > 0$.

2. Выразим $x$ из уравнения $y = -\frac{1}{x}$. Для этого сначала выразим $\frac{1}{x} = -y$, а затем $x = -\frac{1}{y}$.

3. Меняем переменные $x$ и $y$ местами:

$y = -\frac{1}{x}$.

Обратная функция имеет тот же вид, что и исходная. Однако её область определения — это область значений исходной функции, то есть $x > 0$.

Ответ: $y = -\frac{1}{x}$

в) Исходная функция задана уравнением $y = -\frac{1}{x^2}$ на области определения $x > 0$.

1. Найдём область значений исходной функции. Если $x > 0$, то $x^2 > 0$ и $\frac{1}{x^2} > 0$. Следовательно, $y = -\frac{1}{x^2}$ будет принимать только отрицательные значения. При $x \to 0^+$ $y \to -\infty$, а при $x \to +\infty$ $y \to 0$. Таким образом, область значений функции: $y \in (-\infty; 0)$, то есть $y < 0$.

2. Выразим $x$ из уравнения $y = -\frac{1}{x^2}$. Получаем $x^2 = -\frac{1}{y}$, откуда $x = \pm\sqrt{-\frac{1}{y}}$. Так как по условию $x > 0$, мы выбираем знак «+»: $x = \sqrt{-\frac{1}{y}}$.

3. Меняем переменные $x$ и $y$ местами:

$y = \sqrt{-\frac{1}{x}}$.

Область определения обратной функции — это область значений исходной: $x < 0$. Это условие также необходимо для того, чтобы выражение под корнем было положительным.

Ответ: $y = \sqrt{-\frac{1}{x}}$

г) Исходная функция задана уравнением $y = -3x^2$ на области определения $x \le 0$.

1. Найдём область значений исходной функции. Если $x \le 0$, то $x^2 \ge 0$. Следовательно, $y = -3x^2$ будет принимать неположительные значения. При $x=0$ $y=0$, а при $x \to -\infty$ $y \to -\infty$. Таким образом, область значений функции: $y \in (-\infty; 0]$, то есть $y \le 0$.

2. Выразим $x$ из уравнения $y = -3x^2$. Получаем $x^2 = -\frac{y}{3}$, откуда $x = \pm\sqrt{-\frac{y}{3}}$. Так как по условию $x \le 0$, мы выбираем знак «-»: $x = -\sqrt{-\frac{y}{3}}$.

3. Меняем переменные $x$ и $y$ местами:

$y = -\sqrt{-\frac{x}{3}}$.

Область определения обратной функции — это область значений исходной: $x \le 0$. Это условие также необходимо для того, чтобы выражение под корнем было неотрицательным.

Ответ: $y = -\sqrt{-\frac{x}{3}}$