Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.5 a) Рис. 29;

Puc. 29

б) рис. 30;

Puc. 30

в) рис. 31;

Puc. 31

г) рис. 32.

Puc. 32

а) Рис. 29;

На рисунке 29 изображен график линейной функции, общий вид которой $y = kx + b$.

Коэффициент $b$ равен ординате точки пересечения графика с осью $y$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, -2)$, следовательно, $b = -2$.

Уравнение принимает вид $y = kx - 2$.

Для нахождения углового коэффициента $k$ возьмем еще одну точку, через которую проходит прямая, например, $(-1, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$0 = k \cdot (-1) - 2$

$0 = -k - 2$

$k = -2$

Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = -2x - 2$.

Ответ: $y = -2x - 2$.

б) рис. 30;

На рисунке 30 изображен график квадратичной функции (парабола). Для нахождения уравнения удобно использовать формулу $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины параболы.

Из графика определяем координаты вершины: $x_v = -2$, $y_v = -2$.

Подставляем координаты вершины в уравнение: $y = a(x - (-2))^2 + (-2)$, что равносильно $y = a(x + 2)^2 - 2$.

Чтобы найти коэффициент $a$, возьмем любую другую точку на параболе, например, точку пересечения с осью $y$ с координатами $(0, 2)$. Подставим эти значения в уравнение:

$2 = a(0 + 2)^2 - 2$

$2 = a \cdot 4 - 2$

$4 = 4a$

$a = 1$

Следовательно, искомое уравнение: $y = (x + 2)^2 - 2$.

Ответ: $y = (x + 2)^2 - 2$.

в) рис. 31;

На рисунке 31 изображен график линейной функции вида $y = kx + b$.

График пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$, следовательно, $b = 2$.

Уравнение принимает вид $y = kx + 2$.

Для нахождения коэффициента $k$ возьмем другую точку на прямой, например, $(2, 5)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$5 = k \cdot 2 + 2$

$3 = 2k$

$k = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, уравнение прямой: $y = 1.5x + 2$.

Ответ: $y = 1.5x + 2$.

г) рис. 32.

На рисунке 32 изображен график квадратичной функции (парабола). Используем уравнение вида $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины параболы.

Из графика определяем координаты вершины: $x_v = 2$, $y_v = 4$.

Подставляем координаты вершины в уравнение: $y = a(x - 2)^2 + 4$.

Ветви параболы направлены вниз, значит, коэффициент $a$ отрицательный. Для нахождения $a$ возьмем другую точку на параболе, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$0 = a(0 - 2)^2 + 4$

$0 = a \cdot (-2)^2 + 4$

$0 = 4a + 4$

$-4 = 4a$

$a = -1$

Следовательно, искомое уравнение: $y = -(x - 2)^2 + 4$.

Ответ: $y = -(x - 2)^2 + 4$.

9.6 а) Рис. 33;

б) рис. 34;

в) рис. 35;

г) рис. 36.

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

а) На рис. 33 изображен график функции, являющейся гиперболой. Общий вид такой функции $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ – вертикальная асимптота, а $y=b$ – горизонтальная асимптота. Из графика видно, что вертикальной асимптотой является ось ординат ($x=0$), а горизонтальной асимптотой – ось абсцисс ($y=0$). Следовательно, $a=0$ и $b=0$. Формула функции принимает вид $y = \frac{k}{x}$. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с известными координатами, например, $(1; 2)$. Подставим эти значения в формулу:$2 = \frac{k}{1}$, откуда $k=2$.Для проверки возьмем еще одну точку с графика, например, $(2; 1)$. Подставив ее координаты в найденную формулу, получаем: $1 = \frac{2}{2}$, что является верным равенством.Таким образом, искомая формула функции: $y = \frac{2}{x}$.
Ответ: $y = \frac{2}{x}$

б) На рис. 34 изображен график функции, который является смещенной ветвью параболы. Это график функции вида $y = k\sqrt{x-a} + b$. Начальная точка (вершина) графика находится в точке с координатами $(-5; 2)$. Следовательно, $a=-5$ и $b=2$. Формула функции принимает вид $y = k\sqrt{x-(-5)} + 2 = k\sqrt{x+5} + 2$. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике другую точку с известными координатами, например, $(-4; 1,5)$, на которую указывают пунктирные линии. Подставим эти значения в формулу:$1,5 = k\sqrt{-4+5} + 2$
$1,5 = k\sqrt{1} + 2$
$1,5 = k + 2$
$k = 1,5 - 2 = -0,5 = -\frac{1}{2}$.Таким образом, искомая формула функции: $y = -\frac{1}{2}\sqrt{x+5} + 2$.Проверим по еще одной точке, которую легко определить по сетке, например, $(-1; 1)$:$1 = -\frac{1}{2}\sqrt{-1+5} + 2 = -\frac{1}{2}\sqrt{4} + 2 = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 2 = -1 + 2 = 1$. Равенство верное.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}\sqrt{x+5} + 2$

в) На рис. 35 изображен график функции вида $y = k\sqrt{x-a} + b$. Начальная точка (вершина) графика находится в точке с координатами $(-2; -1)$. Следовательно, $a=-2$ и $b=-1$. Формула функции принимает вид $y = k\sqrt{x-(-2)} - 1 = k\sqrt{x+2} - 1$. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике другую точку с известными координатами, например, $(-1; 0)$. Подставим эти значения в формулу:$0 = k\sqrt{-1+2} - 1$
$0 = k\sqrt{1} - 1$
$0 = k - 1$
$k = 1$.Таким образом, искомая формула функции: $y = \sqrt{x+2} - 1$.Проверим по еще одной точке, например, $(2; 1)$:$1 = \sqrt{2+2} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Равенство верное.
Ответ: $y = \sqrt{x+2} - 1$

г) На рис. 36 изображен график функции, являющейся гиперболой. Общий вид такой функции $y = \frac{k}{x-a} + b$. Из графика видно, что вертикальная асимптота проходит через $x=-1$, а горизонтальная асимптота – через $y=-1$. Следовательно, $a=-1$ и $b=-1$. Формула функции принимает вид $y = \frac{k}{x-(-1)} - 1 = \frac{k}{x+1} - 1$. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с известными координатами, например, $(0; -3)$. Подставим эти значения в формулу:$-3 = \frac{k}{0+1} - 1$
$-3 = k - 1$
$k = -3 + 1 = -2$.Таким образом, искомая формула функции: $y = \frac{-2}{x+1} - 1$.Проверим по еще одной точке, например, $(-2; 1)$:$1 = \frac{-2}{-2+1} - 1 = \frac{-2}{-1} - 1 = 2 - 1 = 1$. Равенство верное.
Ответ: $y = \frac{-2}{x+1} - 1$