Страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.12 Решите графически уравнение:

а) $|x| = (x - 1)^2 - 1;$

б) $\sqrt{x + 3} = -1 - x;$

в) $|x| = -(x + 2)^2 + 2;$

г) $\sqrt{x - 1} = 3 - x.$

а) $|x| = (x-1)^2 - 1$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = |x|$ и $y_2 = (x-1)^2 - 1$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y_1 = |x|$ — это объединение двух лучей: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2. График функции $y_2 = (x-1)^2 - 1$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$, а ветви направлены вверх. Парабола проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Первая точка пересечения — начало координат $(0, 0)$. Для нахождения второй точки заметим, что при $x=3$ получаем $y_1 = |3| = 3$ и $y_2 = (3-1)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Следовательно, вторая точка пересечения — $(3, 3)$.

Абсциссы точек пересечения — это $x=0$ и $x=3$.

Ответ: $0; 3$.

б) $\sqrt{x+3} = -1-x$

Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \sqrt{x+3}$ и $y_2 = -1-x$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x+3}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Ox. Область определения функции: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. График начинается в точке $(-3, 0)$ и проходит через точки $(-2, 1)$ и $(1, 2)$.

2. График функции $y_2 = -1-x$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек, например, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Построим графики. Мы видим, что они пересекаются в одной точке. Из графиков видно, что координаты точки пересечения — $(-2, 1)$.

Проверим: при $x=-2$ левая часть уравнения равна $\sqrt{-2+3} = \sqrt{1} = 1$, а правая часть равна $-1-(-2) = -1+2 = 1$. Равенство верно.

Абсцисса точки пересечения равна -2.

Ответ: $-2$.

в) $|x| = -(x+2)^2 + 2$

Решим уравнение графически, построив в одной системе координат графики функций $y_1 = |x|$ и $y_2 = -(x+2)^2 + 2$. Абсциссы точек пересечения будут решениями.

1. График функции $y_1 = |x|$ — "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$.

2. График функции $y_2 = -(x+2)^2 + 2$ — это парабола, полученная из графика $y=-x^2$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$, а ветви направлены вниз.

Построим графики. Графики пересекаются в двух точках.
— Проверим точку $(-1, 1)$: $y_1 = |-1| = 1$; $y_2 = -(-1+2)^2+2 = -1^2+2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ является точкой пересечения.
— Проверим точку $(-2, 2)$: $y_1 = |-2| = 2$; $y_2 = -(-2+2)^2+2 = 0+2 = 2$. Точка $(-2, 2)$, вершина параболы, также является точкой пересечения.

Абсциссы точек пересечения равны -1 и -2.

Ответ: $-2; -1$.

г) $\sqrt{x-1} = 3-x$

Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \sqrt{x-1}$ и $y_2 = 3-x$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x-1}$ — это верхняя ветвь параболы, полученная из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox. Область определения: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. График начинается в точке $(1, 0)$ и проходит через точки $(2, 1)$ и $(5, 2)$.

2. График функции $y_2 = 3-x$ — это прямая линия, проходящая через точки $(3, 0)$ и $(0, 3)$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке с координатами $(2, 1)$.

Проверим: при $x=2$ левая часть равна $\sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$, а правая часть равна $3-2=1$. Равенство верно.

Абсцисса точки пересечения равна 2.

Ответ: $2$.

9.13 Функция задана формулой $s = 2t^2 + 4t$, где $s$ — путь (в км) и $t$ — время (в ч).

а) Найдите $s(1)$, $s(2,5)$, $s(4)$;

б) найдите $t$, если $s = 240$ км;

в) найдите $s$, если $t = 45$ мин;

г) найдите $t$ (в мин), если $s = 645$ м.

Функция зависимости пути $s$ (в км) от времени $t$ (в ч) задана формулой $s(t) = 2t^2 + 4t$.

а) Найдите s(1), s(2,5), s(4);

Для нахождения значений функции $s$ подставим соответствующие значения времени $t$ в часах в заданную формулу.

При $t = 1$ ч:

$s(1) = 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = 2 \cdot 1 + 4 = 2 + 4 = 6$ км.

При $t = 2,5$ ч:

$s(2,5) = 2 \cdot (2,5)^2 + 4 \cdot 2,5 = 2 \cdot 6,25 + 10 = 12,5 + 10 = 22,5$ км.

При $t = 4$ ч:

$s(4) = 2 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 = 2 \cdot 16 + 16 = 32 + 16 = 48$ км.

Ответ: $s(1) = 6$ км, $s(2,5) = 22,5$ км, $s(4) = 48$ км.

б) найдите t, если s = 240 км;

Подставим значение пути $s = 240$ км в формулу и решим получившееся квадратное уравнение относительно $t$.

$240 = 2t^2 + 4t$

$2t^2 + 4t - 240 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$t^2 + 2t - 120 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 22}{2}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

$t_2 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Поскольку время $t$ не может быть отрицательной величиной, выбираем положительный корень $t = 10$. Время измеряется в часах.

Ответ: $t = 10$ ч.

в) найдите s, если t = 45 мин;

Сначала необходимо перевести время из минут в часы, так как в формуле $t$ измеряется в часах.

$t = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0,75$ ч.

Теперь подставим это значение времени в формулу для нахождения пути $s$.

$s = 2 \cdot (0,75)^2 + 4 \cdot 0,75 = 2 \cdot 0,5625 + 3 = 1,125 + 3 = 4,125$ км.

Ответ: $s = 4,125$ км.

г) найдите t (в мин), если s = 645 м.

Сначала приведем все величины к единицам измерения, используемым в формуле: путь $s$ в километры. Затем найдем время $t$ в часах и переведем его в минуты.

Переведем путь из метров в километры:

$s = 645 \text{ м} = \frac{645}{1000} \text{ км} = 0,645$ км.

Подставим значение $s$ в исходную формулу:

$0,645 = 2t^2 + 4t$

$2t^2 + 4t - 0,645 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-0,645) = 16 + 8 \cdot 0,645 = 16 + 5,16 = 21,16$

Найдем корни уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{21,16}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 4,6}{4}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{-4 - 4,6}{4} = \frac{-8,6}{4} = -2,15$

$t_2 = \frac{-4 + 4,6}{4} = \frac{0,6}{4} = 0,15$

Время $t$ не может быть отрицательным, поэтому выбираем $t = 0,15$ ч.

Теперь переведем полученное время из часов в минуты, как требуется в условии задачи.

$t = 0,15 \text{ ч} = 0,15 \cdot 60 \text{ мин} = 9$ мин.

Ответ: $t = 9$ мин.

9.14 Функция задана формулой $V = \frac{1}{3}Sh$, где $V$ — объём пирамиды (в м³),

S — площадь её основания (в м²), h — высота пирамиды (в м).

а) Выразите каждую переменную через две другие;

б) найдите значение V, если $s = 2$ м², $h = 140$ см;

в) найдите значение S, если $V = 45$ дм³, $h = 0,4$ м;

г) найдите значение h, если $V = 5$ м³, $S = 2500$ см².

а) Выразите каждую переменную через две другие;

Исходная формула для объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3}Sh$.

Чтобы выразить площадь основания $S$, нужно умножить обе части уравнения на 3, а затем разделить на высоту $h$:

$3V = Sh$

$S = \frac{3V}{h}$

Чтобы выразить высоту $h$, нужно в уравнении $3V = Sh$ разделить обе части на площадь основания $S$:

$h = \frac{3V}{S}$

Ответ: $S = \frac{3V}{h}$; $h = \frac{3V}{S}$.

б) найдите значение V, если S = 2 м², h = 140 см;

Для вычисления объёма $V$ в м³ все исходные данные должны быть в соответствующих единицах системы СИ (метры для длины, квадратные метры для площади).

Площадь основания $S = 2 \text{ м²}$ уже дана в нужных единицах.

Высоту $h$ нужно перевести из сантиметров в метры. Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то:

$h = 140 \text{ см} = \frac{140}{100} \text{ м} = 1.4 \text{ м}$.

Теперь подставим значения в исходную формулу:

$V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1.4 = \frac{2.8}{3} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15} \text{ м}^3$.

Ответ: $V = \frac{14}{15} \text{ м}^3$.

в) найдите значение S, если V = 45 дм³, h = 0,4 м;

Для вычисления площади $S$ в м² необходимо привести все величины к единицам СИ.

Высота $h = 0.4 \text{ м}$ уже дана в метрах.

Объём $V$ нужно перевести из кубических дециметров в кубические метры. Поскольку $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, то $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.

$V = 45 \text{ дм}^3 = \frac{45}{1000} \text{ м}^3 = 0.045 \text{ м}^3$.

Воспользуемся формулой для $S$, выведенной в пункте а):

$S = \frac{3V}{h} = \frac{3 \cdot 0.045}{0.4} = \frac{0.135}{0.4} = 0.3375 \text{ м}^2$.

Ответ: $S = 0.3375 \text{ м}^2$.

г) найдите значение h, если V = 5 м³, S = 2500 см².

Для вычисления высоты $h$ в метрах приведем все данные к единицам СИ.

Объём $V = 5 \text{ м}^3$ уже дан в нужных единицах.

Площадь $S$ нужно перевести из квадратных сантиметров в квадратные метры. Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10000 \text{ см}^2$.

$S = 2500 \text{ см}^2 = \frac{2500}{10000} \text{ м}^2 = \frac{1}{4} \text{ м}^2 = 0.25 \text{ м}^2$.

Воспользуемся формулой для $h$, выведенной в пункте а):

$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot 5}{0.25} = \frac{15}{0.25} = 15 \cdot 4 = 60 \text{ м}$.

Ответ: $h = 60 \text{ м}$.

9.15 Задайте формулой $y = ax^2 + bx + c$ функцию, график которой изображён:

а) на рис. 37;

б) на рис. 38;

в) на рис. 39;

г) на рис. 40.

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

а) График функции — парабола, заданная уравнением $y = ax^2 + bx + c$. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Это означает, что уравнение можно записать в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины. Подставив координаты вершины, получаем: $y = a(x - 0)^2 - 1$ или $y = ax^2 - 1$. Чтобы найти коэффициент $a$, выберем на графике точку, через которую проходит парабола, например, точку $(1, 1)$. Подставим её координаты в уравнение: $1 = a \cdot 1^2 - 1$. Отсюда $1 = a - 1$, следовательно $a = 2$. Таким образом, искомая формула: $y = 2x^2 - 1$.

Ответ: $y = 2x^2 - 1$.

б) График функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Используем вершинную формулу параболы: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Подставив координаты вершины, получаем: $y = a(x - (-1))^2 - 1$ или $y = a(x + 1)^2 - 1$. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике точку, например, $(0, -3)$. Подставим её координаты в уравнение: $-3 = a(0 + 1)^2 - 1$. Отсюда $-3 = a - 1$, следовательно $a = -2$. Теперь запишем уравнение в виде $y = ax^2 + bx + c$.
$y = -2(x + 1)^2 - 1 = -2(x^2 + 2x + 1) - 1 = -2x^2 - 4x - 2 - 1 = -2x^2 - 4x - 3$.
Искомая формула: $y = -2x^2 - 4x - 3$.

Ответ: $y = -2x^2 - 4x - 3$.

в) График функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$. Уравнение параболы: $y = a(x - 0)^2 + 4$ или $y = ax^2 + 4$. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике точку, например, $(1, 1)$. Подставим её координаты в уравнение: $1 = a \cdot 1^2 + 4$. Отсюда $1 = a + 4$, следовательно $a = -3$. Таким образом, искомая формула: $y = -3x^2 + 4$.

Ответ: $y = -3x^2 + 4$.

г) График функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$. Уравнение параболы: $y = a(x - 2)^2 + 0$ или $y = a(x - 2)^2$. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике точку, например, $(3, 3)$. Подставим её координаты в уравнение: $3 = a(3 - 2)^2$. Отсюда $3 = a \cdot 1^2$, следовательно $a = 3$. Теперь запишем уравнение в виде $y = ax^2 + bx + c$.
$y = 3(x - 2)^2 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12$.
Искомая формула: $y = 3x^2 - 12x + 12$.

Ответ: $y = 3x^2 - 12x + 12$.