Страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает:

10.4 a) $y = -5x;$

б) $y = 5 - 2x;$

в) $y = -7x + 1;$

г) $y = 4 - \frac{x}{3}.$

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Для доказательства мы будем использовать это определение и свойства числовых неравенств.

а) $y = -5x$

Пусть $x_1$ и $x_2$ – два произвольных числа из области определения функции, причем $x_1 < x_2$.
Сравним значения функции в этих точках: $y(x_1) = -5x_1$ и $y(x_2) = -5x_2$.
Начнем с неравенства $x_1 < x_2$. Умножим обе его части на отрицательное число $-5$. По свойству числовых неравенств, при умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$-5x_1 > -5x_2$.
Это означает, что $y(x_1) > y(x_2)$.
Поскольку для любого $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, данная функция является убывающей.
Ответ: Доказано, что функция $y = -5x$ является убывающей.

б) $y = 5 - 2x$

Пусть $x_1$ и $x_2$ – два произвольных числа, для которых выполняется $x_1 < x_2$.
Сравним значения $y(x_1) = 5 - 2x_1$ и $y(x_2) = 5 - 2x_2$.
Начнем с неравенства $x_1 < x_2$. Умножим обе части на $-2$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$-2x_1 > -2x_2$.
Теперь прибавим к обеим частям неравенства число 5. Это преобразование не меняет знак неравенства:
$5 - 2x_1 > 5 - 2x_2$.
Таким образом, мы получили, что $y(x_1) > y(x_2)$.
Следовательно, функция является убывающей.
Ответ: Доказано, что функция $y = 5 - 2x$ является убывающей.

в) $y = -7x + 1$

Пусть $x_1 < x_2$.
Сравним значения $y(x_1) = -7x_1 + 1$ и $y(x_2) = -7x_2 + 1$.
Из неравенства $x_1 < x_2$ после умножения на $-7$ получаем:
$-7x_1 > -7x_2$.
Прибавив к обеим частям 1, сохраняем знак неравенства:
$-7x_1 + 1 > -7x_2 + 1$.
Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, что доказывает, что функция является убывающей.
Ответ: Доказано, что функция $y = -7x + 1$ является убывающей.

г) $y = 4 - \frac{x}{3}$

Данную функцию можно представить в виде $y = -\frac{1}{3}x + 4$.
Пусть $x_1 < x_2$.
Сравним значения $y(x_1) = 4 - \frac{x_1}{3}$ и $y(x_2) = 4 - \frac{x_2}{3}$.
Умножим обе части неравенства $x_1 < x_2$ на отрицательное число $-\frac{1}{3}$. Знак неравенства изменится:
$-\frac{1}{3}x_1 > -\frac{1}{3}x_2$.
Прибавим к обеим частям число 4. Знак неравенства не изменится:
$4 - \frac{1}{3}x_1 > 4 - \frac{1}{3}x_2$, что равносильно $4 - \frac{x_1}{3} > 4 - \frac{x_2}{3}$.
Таким образом, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция является убывающей.
Ответ: Доказано, что функция $y = 4 - \frac{x}{3}$ является убывающей.

10.5 а) $y = -x^3$;

б) $y = -3x^3$;

в) $y = -\frac{x^3}{5}$;

г) $y = -x^3 + 7.

а) $y = -x^3$

1. Найдём область определения функции. Так как данная функция является многочленом, её область определения — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции для определения промежутков монотонности.
$y' = (-x^3)' = -3x^2$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю.
$-3x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Проанализируем знак производной.
Выражение $y' = -3x^2$ является неположительным (то есть $y' \le 0$) для любого значения $x$, так как $x^2 \ge 0$. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Во всех остальных точках ($x \ne 0$) производная отрицательна ($y' < 0$).
Так как производная функции неположительна на всей области определения и обращается в нуль лишь в одной точке, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = -3x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$y' = (-3x^3)' = -3 \cdot (3x^2) = -9x^2$.

3. Найдём критические точки.
$-9x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Проанализируем знак производной.
Производная $y' = -9x^2$ неположительна ($y' \le 0$) для всех $x$ из области определения. Равенство нулю достигается только при $x=0$. Следовательно, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = -\frac{x^3}{5}$

1. Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$y' = \left(-\frac{1}{5}x^3\right)' = -\frac{1}{5} \cdot 3x^2 = -\frac{3}{5}x^2$.

3. Найдём критические точки.
$-\frac{3}{5}x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Проанализируем знак производной.
Производная $y' = -\frac{3}{5}x^2$ неположительна ($y' \le 0$) для всех $x \in R$. Равенство нулю достигается только при $x=0$. Таким образом, функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = -x^3 + 7$

1. Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$y' = (-x^3 + 7)' = -3x^2 + 0 = -3x^2$.

3. Найдём критические точки.
$-3x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Проанализируем знак производной.
Производная $y' = -3x^2$ совпадает с производной из пункта а). Она неположительна ($y' \le 0$) для всех действительных $x$. Это означает, что функция монотонно убывает на всей своей области определения. Слагаемое $+7$ лишь сдвигает график функции вверх на 7 единиц, не влияя на её монотонность.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

10.6 a) $y = x^2, x \le 0$;

б) $y = -2x^2, x \ge 0$;

в) $y = \frac{3}{x}, x > 0$;

г) $y = \frac{3}{x}, x < 0$.

а) Исходная функция $y = x^2$ задана на промежутке $x \le 0$. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить $x$ через $y$. Перед этим определим область значений исходной функции. Поскольку $x$ принимает неположительные значения ($x \le 0$), его квадрат $x^2$ будет принимать неотрицательные значения ($x^2 \ge 0$). Таким образом, область значений функции $y = x^2$ при $x \le 0$ есть промежуток $y \ge 0$.
Теперь выразим $x$ из уравнения $y = x^2$. Получаем $x = \pm\sqrt{y}$. Согласно условию $x \le 0$, мы должны выбрать знак "минус". Следовательно, $x = -\sqrt{y}$.
Для получения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$: $y = -\sqrt{x}$.
Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $x \ge 0$. Областью значений обратной функции является область определения исходной функции, то есть $y \le 0$.
Ответ: $y = -\sqrt{x}$.

б) Исходная функция $y = -2x^2$ задана на промежутке $x \ge 0$. Определим область значений этой функции. Поскольку $x \ge 0$, то $x^2 \ge 0$, а выражение $-2x^2$ будет принимать неположительные значения, то есть $-2x^2 \le 0$. Таким образом, область значений функции $y = -2x^2$ при $x \ge 0$ есть промежуток $y \le 0$.
Выразим $x$ из уравнения $y = -2x^2$. Получаем $x^2 = -\frac{y}{2}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{-\frac{y}{2}}$. Так как по условию $x \ge 0$, мы должны выбрать знак "плюс": $x = \sqrt{-\frac{y}{2}}$.
Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \sqrt{-\frac{x}{2}}$.
Область определения обратной функции: $x \le 0$. Область значений обратной функции: $y \ge 0$.
Ответ: $y = \sqrt{-\frac{x}{2}}$.

в) Исходная функция $y = \frac{3}{x}$ задана на промежутке $x > 0$. Так как числитель (3) положителен и знаменатель $x$ положителен, то и значение функции $y$ будет положительным. Таким образом, область значений функции есть промежуток $y > 0$.
Выразим $x$ из уравнения $y = \frac{3}{x}$. Умножив обе части на $x$ (что возможно, так как $x \ne 0$), получим $xy = 3$. Отсюда $x = \frac{3}{y}$.
Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \frac{3}{x}$.
Область определения обратной функции ($x > 0$) совпадает с областью значений исходной, а область значений ($y > 0$) - с областью определения исходной.
Ответ: $y = \frac{3}{x}$.

г) Исходная функция $y = \frac{3}{x}$ задана на промежутке $x < 0$. Так как числитель (3) положителен, а знаменатель $x$ отрицателен, то значение функции $y$ будет отрицательным. Таким образом, область значений функции есть промежуток $y < 0$.
Процесс нахождения обратной функции алгебраически не отличается от предыдущего пункта. Выражаем $x$ через $y$: $x = \frac{3}{y}$.
Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{3}{x}$.
Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $x < 0$. Областью значений обратной функции является область определения исходной функции, то есть $y < 0$.
Ответ: $y = \frac{3}{x}$.

Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной:

10.7 а) $y = 7x + 2;$

б) $y = -3x + 1, x < 0;$

в) $y = 4x + 1, x > 0;$

г) $y = -2x + 5, 0 \leq x \leq 5.$

Функция $y = 7x + 2$ является линейной. Область определения функции не указана, поэтому по умолчанию считаем, что $x$ принадлежит множеству всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Угловой коэффициент $k=7$ положителен, следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения. При $x \to +\infty$, значение $y \to +\infty$. При $x \to -\infty$, значение $y \to -\infty$. Область значений функции — все действительные числа, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что не существует такого числа $M$, что $y \le M$ для всех $x$ (функция не ограничена сверху), и не существует такого числа $m$, что $y \ge m$ для всех $x$ (функция не ограничена снизу).

Ответ: функция не ограничена снизу, не ограничена сверху, не ограничена.

Функция $y = -3x + 1$ является линейной и задана на промежутке $x < 0$, то есть на интервале $(-\infty; 0)$. Угловой коэффициент $k=-3$ отрицателен, следовательно, функция является строго убывающей. Найдём поведение функции на границах области определения. При $x$, стремящемся к 0 слева ($x \to 0^-$), значение функции стремится к $y \to -3 \cdot 0 + 1 = 1$. Поскольку функция убывающая, все её значения на интервале $(-\infty; 0)$ будут больше 1. При $x \to -\infty$, значение $y = -3x + 1 \to +\infty$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (1; +\infty)$. Функция ограничена снизу, так как для всех $x < 0$ выполняется неравенство $y > 1$ (например, можно взять ограничивающее число $m=1$). Функция не ограничена сверху, так как её значения могут быть сколь угодно большими.

Ответ: функция ограничена снизу, не ограничена сверху, не ограничена.

Функция $y = 4x + 1$ является линейной и задана на промежутке $x > 0$, то есть на интервале $(0; +\infty)$. Угловой коэффициент $k=4$ положителен, следовательно, функция является строго возрастающей. Найдём поведение функции на границах области определения. При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$), значение функции стремится к $y \to 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Поскольку функция возрастающая, все её значения на интервале $(0; +\infty)$ будут больше 1. При $x \to +\infty$, значение $y = 4x + 1 \to +\infty$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (1; +\infty)$. Функция ограничена снизу, так как для всех $x > 0$ выполняется неравенство $y > 1$ (например, можно взять ограничивающее число $m=1$). Функция не ограничена сверху, так как её значения могут быть сколь угодно большими.

Ответ: функция ограничена снизу, не ограничена сверху, не ограничена.

Функция $y = -2x + 5$ является линейной и задана на отрезке $0 \le x \le 5$, то есть $x \in [0; 5]$. Угловой коэффициент $k=-2$ отрицателен, следовательно, функция является строго убывающей на своей области определения. Так как функция непрерывна и задана на замкнутом отрезке, она достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах этого отрезка. Наибольшее значение достигается в левой точке отрезка: $y_{max} = y(0) = -2 \cdot 0 + 5 = 5$. Наименьшее значение достигается в правой точке отрезка: $y_{min} = y(5) = -2 \cdot 5 + 5 = -10 + 5 = -5$. Область значений функции — отрезок $E(y) = [-5; 5]$. Так как все значения функции лежат в пределах от -5 до 5, то есть $-5 \le y \le 5$, функция является ограниченной и снизу (числом -5), и сверху (числом 5). Следовательно, функция является ограниченной.

Ответ: функция ограничена снизу, ограничена сверху, ограничена.

10.8 a) $y = x^2$;

б) $y = \frac{1}{x}$, $x > 0$;

В) $y = \sqrt{x}$;

Г) $y = |x|$, $-4 \le x \le 8$.

а)

Дана функция $y = x^2$. Эта функция представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в начале координат $(0, 0)$. Поскольку область определения $x$ не ограничена, $x$ может принимать любые действительные значения. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Минимальное значение функции достигается в ее вершине, где $x=0$, и равно $y = 0^2 = 0$. При увеличении $|x|$, значение $y$ неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции включает все неотрицательные действительные числа.
Ответ: $y \ge 0$.

б)

Дана функция $y = \frac{1}{x}$ с ограничением $x > 0$. Это означает, что мы рассматриваем только правую ветвь гиперболы, которая целиком лежит в первой координатной четверти. Так как $x$ является положительным числом, то и $y$, как обратное к нему число, также всегда будет положительным. Когда $x$ стремится к нулю справа ($x \to 0+$), значение $y$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Когда $x$ стремится к бесконечности ($x \to +\infty$), значение $y$ стремится к нулю, но никогда его не достигает. Таким образом, область значений функции — это все строго положительные действительные числа.
Ответ: $y > 0$.

в)

Дана функция $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — все неотрицательные числа, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным ($x \ge 0$). По определению, арифметический квадратный корень из числа является неотрицательным. Минимальное значение функции достигается при наименьшем возможном значении $x$, то есть при $x=0$, и равно $y = \sqrt{0} = 0$. При увеличении $x$ значение $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные действительные числа.
Ответ: $y \ge 0$.

г)

Дана функция $y = |x|$ на отрезке $-4 \le x \le 8$. Функция модуля $y = |x|$ всегда возвращает неотрицательное значение. Её наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=0$. Поскольку точка $x=0$ входит в заданный отрезок $[-4, 8]$, наименьшее значение функции на этом отрезке равно 0. Наибольшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Сравним значения функции на концах отрезка:
При $x = -4$, $y = |-4| = 4$.
При $x = 8$, $y = |8| = 8$.
Наибольшее из этих значений — 8. Таким образом, на заданном отрезке функция принимает все значения от 0 (включительно) до 8 (включительно).
Ответ: $0 \le y \le 8$.

10.9 a) $y = -x^2 + 4x - 5, x \ge 0;$

б) $y = x^2 - 4x + 1, x \le 0;$

в) $y = 2x^2 - 6x + 3, x \ge 0;$

г) $y = -3x^2 + 6x + 2, x \le 0.$

а) $y = -x^2 + 4x - 5$, $x \ge 0$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функция достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -b/(2a)$:

$x_v = -4 / (2 \cdot (-1)) = 2$.

Абсцисса вершины $x_v = 2$ принадлежит заданному промежутку $x \ge 0$.

Найдем ординату вершины, которая является наибольшим значением функции:

$y_v = y(2) = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.

Поскольку вершина находится в рассматриваемой области, а ветви направлены вниз, то наибольшее значение функции на промежутке $[0, \infty)$ равно $-1$. Когда $x$ стремится к бесконечности, $y$ стремится к минус бесконечности. Следовательно, область значений функции — это все числа от $-\infty$ до $-1$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -1]$.

б) $y = x^2 - 4x + 1$, $x \le 0$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.

Абсцисса вершины $x_v = 2$ не принадлежит заданному промежутку $x \le 0$.

Вершина параболы находится правее рассматриваемого промежутка $(-\infty, 0]$. На всем этом промежутке функция является монотонно убывающей (так как она убывает для всех $x < x_v$).

Следовательно, наименьшее значение на промежутке $(-\infty, 0]$ функция принимает на его правой границе, то есть при $x = 0$.

$y(0) = 0^2 - 4(0) + 1 = 1$.

Когда $x$ стремится к минус бесконечности, $y$ стремится к плюс бесконечности. Таким образом, область значений функции — это все числа от $1$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [1, \infty)$.

в) $y = 2x^2 - 6x + 3$, $x \ge 0$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, он положительный). Наименьшее значение функция достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -(-6) / (2 \cdot 2) = 6/4 = 1.5$.

Абсцисса вершины $x_v = 1.5$ принадлежит заданному промежутку $x \ge 0$.

Найдем ординату вершины, которая является наименьшим значением функции:

$y_v = y(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 3 = 2(2.25) - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5$.

Поскольку вершина находится в рассматриваемой области, а ветви направлены вверх, то наименьшее значение функции на промежутке $[0, \infty)$ равно $-1.5$. Когда $x$ стремится к бесконечности, $y$ стремится к плюс бесконечности. Следовательно, область значений функции — это все числа от $-1.5$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [-1.5, \infty)$.

г) $y = -3x^2 + 6x + 2$, $x \le 0$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -3, он отрицательный). Наибольшее значение функция достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -6 / (2 \cdot (-3)) = -6 / (-6) = 1$.

Абсцисса вершины $x_v = 1$ не принадлежит заданному промежутку $x \le 0$.

Вершина параболы находится правее рассматриваемого промежутка $(-\infty, 0]$. На всем этом промежутке функция является монотонно возрастающей (так как она возрастает для всех $x < x_v$).

Следовательно, наибольшее значение на промежутке $(-\infty, 0]$ функция принимает на его правой границе, то есть при $x=0$.

$y(0) = -3(0)^2 + 6(0) + 2 = 2$.

Когда $x$ стремится к минус бесконечности, $y$ стремится к минус бесконечности. Таким образом, область значений функции — это все числа от $-\infty$ до $2$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 2]$.

10.10 Докажите ограниченность функции:

а) $y = \sqrt{15 - x^2}$;

б) $y = -\sqrt{16 - x^4}$.

а) $y = \sqrt{15 - x^2}$

Функция называется ограниченной, если ее множество значений является ограниченным множеством. Это означает, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех значений $x$ из области определения функции выполняется неравенство $m \le y(x) \le M$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$15 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 15$

$-\sqrt{15} \le x \le \sqrt{15}$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-\sqrt{15}; \sqrt{15}]$.

2. Найдем множество значений функции, чтобы определить ее границы.

С одной стороны, по определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно. Следовательно, $y = \sqrt{15 - x^2} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0. Наименьшее значение $y=0$ достигается при $15 - x^2 = 0$, то есть при $x = \pm\sqrt{15}$.

С другой стороны, найдем наибольшее значение функции. Функция $y$ принимает максимальное значение, когда подкоренное выражение $15 - x^2$ максимально. Выражение $15 - x^2$ максимально, когда вычитаемое $x^2$ минимально. Поскольку $x^2 \ge 0$, его минимальное значение равно 0, которое достигается при $x=0$.

Максимальное значение функции равно:

$y_{max} = y(0) = \sqrt{15 - 0^2} = \sqrt{15}$.

Таким образом, для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство:

$0 \le y \le \sqrt{15}$

Поскольку функция ограничена и снизу (числом 0), и сверху (числом $\sqrt{15}$), она является ограниченной.

Ответ: функция ограничена, так как ее множество значений $E(y) = [0; \sqrt{15}]$.

б) $y = -\sqrt{16 - x^4}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$16 - x^4 \ge 0$

$x^4 \le 16$

Так как $x^4 = (x^2)^2$, получаем $(x^2)^2 \le 16$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 \le 4$.

Отсюда следует, что $-2 \le x \le 2$.

Область определения функции $D(y) = [-2; 2]$.

2. Найдем множество значений функции.

Выражение $\sqrt{16 - x^4}$ по определению арифметического корня всегда неотрицательно: $\sqrt{16 - x^4} \ge 0$.

Так как перед корнем стоит знак "минус", значения функции $y$ будут неположительными: $y = -\sqrt{16 - x^4} \le 0$. Это означает, что функция ограничена сверху числом 0. Наибольшее значение $y=0$ достигается при $16 - x^4 = 0$, то есть при $x = \pm2$.

Для нахождения нижней границы найдем минимальное значение функции. Функция $y$ принимает минимальное значение, когда выражение $\sqrt{16 - x^4}$ максимально. Это произойдет, когда подкоренное выражение $16 - x^4$ максимально. Выражение $16 - x^4$ максимально, когда вычитаемое $x^4$ минимально. Поскольку $x^4 \ge 0$, его минимальное значение равно 0, которое достигается при $x=0$.

Минимальное значение функции равно:

$y_{min} = y(0) = -\sqrt{16 - 0^4} = -\sqrt{16} = -4$.

Таким образом, для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство:

$-4 \le y \le 0$

Поскольку функция ограничена и снизу (числом -4), и сверху (числом 0), она является ограниченной.

Ответ: функция ограничена, так как ее множество значений $E(y) = [-4; 0]$.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

10.11 a) $y = 2x + 3, x \in [0; 1];$

б) $y = -2x^2, x \in [-1; 1];$

в) $y = -4x + 1, x \in (-\infty; 0];$

г) $y = \frac{1}{2}x^2, x \in (0; 2].$

а) Функция $y = 2x + 3$ является линейной. Её угловой коэффициент $k = 2 > 0$, следовательно, функция является возрастающей на всей числовой оси, а значит и на отрезке $[0; 1]$. В таком случае наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение при $x = 0$: $y_{наим} = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.
Наибольшее значение при $x = 1$: $y_{наиб} = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
Ответ: наименьшее значение функции равно 3, наибольшее значение равно 5.

б) Функция $y = -2x^2$ является квадратичной. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-2 < 0$). Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = 0$. Поскольку точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, в ней функция достигает своего наибольшего значения.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -2 \cdot 0^2 = 0$.
Наименьшее значение будет достигаться на концах отрезка, наиболее удаленных от вершины. Вычислим значения в точках $x=-1$ и $x=1$:
$y(-1) = -2(-1)^2 = -2$.
$y(1) = -2(1)^2 = -2$.
Следовательно, наименьшее значение функции равно -2.
Ответ: наименьшее значение функции равно -2, наибольшее значение равно 0.

в) Функция $y = -4x + 1$ является линейной. Её угловой коэффициент $k = -4 < 0$, следовательно, функция является убывающей на всей числовой оси, в том числе на промежутке $(-\infty; 0]$. Так как функция убывает, она не ограничена сверху на этом промежутке (при $x \to -\infty$, значение $y \to +\infty$), поэтому наибольшего значения не существует. Наименьшее значение функция принимает в самой правой точке области определения, то есть при $x=0$.
Вычислим это значение:
$y_{наим} = y(0) = -4 \cdot 0 + 1 = 1$.
Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшего значения не существует.

г) Функция $y = \frac{1}{2}x^2$ является квадратичной. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{2} > 0$). Вершина параболы находится в точке $x_v = 0$. На промежутке $(0; 2]$, который находится правее вершины, функция является возрастающей. Наибольшее значение достигается в правой границе промежутка, в точке $x=2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
Левая граница $x=0$ не включена в промежуток. При приближении $x$ к 0 справа, значение функции $y$ стремится к $y(0)=0$, но никогда его не достигает. Таким образом, у функции на данном промежутке нет наименьшего значения.
Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшего значения не существует.