Страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.20 Докажите, что функция убывает:

а) $y = -x^3 - 2x;$

б) $y = x^6 - 0.5x, x \le 0;$

в) $y = x^4 - 5x, x \le 0;$

г) $y = -3x^5 - x.$

Для доказательства того, что функция является убывающей, достаточно показать, что ее производная меньше или равна нулю на всей области определения (или на заданном промежутке).

а) $y = -x^3 - 2x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 - 2x)' = -3x^2 - 2$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $-3x^2 \le 0$.

Следовательно, выражение для производной $y' = -3x^2 - 2$ будет всегда отрицательным, так как $-3x^2 - 2 \le -2$.

Так как производная $y' < 0$ на всей области определения, функция $y = -x^3 - 2x$ убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Доказано.

б) $y = x^6 - 0,5x, x \le 0$

Функция рассматривается на промежутке $(-\infty; 0]$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^6 - 0,5x)' = 6x^5 - 0,5$.

Проанализируем знак производной на заданном промежутке $x \le 0$.

Если $x \le 0$, то $x^5 \le 0$ (так как степень нечетная). Тогда $6x^5 \le 0$.

Следовательно, $y' = 6x^5 - 0,5 \le 0 - 0,5 = -0,5$.

Так как производная $y' < 0$ на промежутке $(-\infty; 0]$, функция $y = x^6 - 0,5x$ убывает при $x \le 0$.

Ответ: Доказано.

в) $y = x^4 - 5x, x \le 0$

Функция рассматривается на промежутке $(-\infty; 0]$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^4 - 5x)' = 4x^3 - 5$.

Проанализируем знак производной на заданном промежутке $x \le 0$.

Если $x \le 0$, то $x^3 \le 0$ (так как степень нечетная). Тогда $4x^3 \le 0$.

Следовательно, $y' = 4x^3 - 5 \le 0 - 5 = -5$.

Так как производная $y' < 0$ на промежутке $(-\infty; 0]$, функция $y = x^4 - 5x$ убывает при $x \le 0$.

Ответ: Доказано.

г) $y = -3x^5 - x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (-3x^5 - x)' = -15x^4 - 1$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$ (так как степень четная), то $-15x^4 \le 0$.

Следовательно, выражение для производной $y' = -15x^4 - 1$ будет всегда отрицательным, так как $-15x^4 - 1 \le -1$.

Так как производная $y' < 0$ на всей области определения, функция $y = -3x^5 - x$ убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Доказано.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

10.21 а) $y = x^2 + 4x - 3$;

б) $y = -4x^2 - 12x + 1$;

в) $y = 9x^2 + 6x - 5$;

г) $y = -x^2 + 8x - 12$.

а) $y = x^2 + 4x - 3$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля. Следовательно, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Для нахождения ординаты вершины, которая и является наименьшим значением функции, подставим $x_v = -2$ в уравнение функции:

$y_v = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7$.

Альтернативный способ — выделение полного квадрата:

$y = x^2 + 4x - 3 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 3 = (x + 2)^2 - 7$.

Поскольку выражение $(x + 2)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $x = -2$. Следовательно, наименьшее значение всей функции равно $0 - 7 = -7$.

Ответ: наименьшее значение функции $-7$; наибольшего значения не существует.

б) $y = -4x^2 - 12x + 1$

Это квадратичная функция с коэффициентом $a = -4$, который меньше нуля. Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция имеет наибольшее значение в вершине и не имеет наименьшего значения.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-4)} = -\frac{-12}{-8} = -\frac{3}{2}$.

Ордината вершины (наибольшее значение функции) находится подстановкой $x_v$ в уравнение:

$y_v = y(-\frac{3}{2}) = -4(-\frac{3}{2})^2 - 12(-\frac{3}{2}) + 1 = -4(\frac{9}{4}) + 18 + 1 = -9 + 18 + 1 = 10$.

Также можно выделить полный квадрат:

$y = -4x^2 - 12x + 1 = -4(x^2 + 3x) + 1 = -4(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + 1 = -4((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 1 = -4(x + \frac{3}{2})^2 + 9 + 1 = -4(x + \frac{3}{2})^2 + 10$.

Выражение $-4(x + \frac{3}{2})^2$ всегда неположительно, его наибольшее значение равно $0$ (при $x = -\frac{3}{2}$). Значит, наибольшее значение функции составляет $0 + 10 = 10$.

Ответ: наибольшее значение функции $10$; наименьшего значения не существует.

в) $y = 9x^2 + 6x - 5$

Квадратичная функция, коэффициент $a = 9 > 0$. Ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение и не имеет наибольшего.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 9} = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3}$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции):

$y_v = y(-\frac{1}{3}) = 9(-\frac{1}{3})^2 + 6(-\frac{1}{3}) - 5 = 9(\frac{1}{9}) - 2 - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$.

Выделим полный квадрат для проверки:

$y = 9x^2 + 6x - 5 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 5 = (3x + 1)^2 - 6$.

Наименьшее значение выражения $(3x+1)^2$ равно $0$ и достигается при $x=-\frac{1}{3}$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $0 - 6 = -6$.

Ответ: наименьшее значение функции $-6$; наибольшего значения не существует.

г) $y = -x^2 + 8x - 12$

Квадратичная функция, коэффициент $a = -1 < 0$. Ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = \frac{8}{2} = 4$.

Ордината вершины (наибольшее значение функции):

$y_v = y(4) = -(4)^2 + 8(4) - 12 = -16 + 32 - 12 = 4$.

Выделим полный квадрат:

$y = -x^2 + 8x - 12 = -(x^2 - 8x) - 12 = -(x^2 - 8x + 16 - 16) - 12 = -((x - 4)^2 - 16) - 12 = -(x - 4)^2 + 16 - 12 = -(x - 4)^2 + 4$.

Наибольшее значение выражения $-(x-4)^2$ равно $0$ и достигается при $x=4$. Следовательно, наибольшее значение функции составляет $0 + 4 = 4$.

Ответ: наибольшее значение функции $4$; наименьшего значения не существует.

10.22 a) $y = |x| + 3, x \in [-5; 1];$

Б) $y = -|4x| + 1, x \in (-6; 2];$

В) $y = -|2x| - 1, x \in [-1; 1];$

Г) $y = |x| + 3, x \in [-5; 1).$

а)

Задана функция $y = |x| + 3$ на промежутке $x \in [-5; 1]$.
График этой функции получается из графика $y = |x|$ (V-образная кривая с вершиной в начале координат) путем сдвига на 3 единицы вверх по оси OY. Вершина графика функции $y = |x| + 3$ находится в точке $(0, 3)$, и это точка минимума.
Поскольку точка $x = 0$ принадлежит заданному промежутку $[-5; 1]$, наименьшее значение функции достигается именно в ней:
$y_{наим} = y(0) = |0| + 3 = 3$.
Наибольшее значение для непрерывной функции на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения функции на концах промежутка $x = -5$ и $x = 1$:
$y(-5) = |-5| + 3 = 5 + 3 = 8$.
$y(1) = |1| + 3 = 1 + 3 = 4$.
Сравнивая эти значения ($8$ и $4$), заключаем, что наибольшее значение функции на данном отрезке равно 8.
Таким образом, множество значений функции на отрезке $[-5; 1]$ есть отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[3; 8]$.

б)

Задана функция $y = -|4x| + 1$ на промежутке $x \in (-6; 2]$.
График этой функции — перевернутая V-образная кривая. Он получается из графика $y = |x|$ следующими преобразованиями: сжатие к оси OY в 4 раза (график $y=|4x|$), отражение относительно оси OX (график $y=-|4x|$), и сдвиг на 1 единицу вверх по оси OY. Вершина графика находится в точке $(0, 1)$ и является точкой максимума.
Так как точка $x = 0$ входит в область определения $(-6; 2]$, то наибольшее значение функции равно ординате вершины:
$y_{наиб} = y(0) = -|4 \cdot 0| + 1 = 1$.
Наименьшее значение функция будет принимать на границах промежутка, наиболее удаленных от вершины. Проверим значения на границах:
На правой границе, в точке $x = 2$ (которая включена в промежуток):
$y(2) = -|4 \cdot 2| + 1 = -|8| + 1 = -8 + 1 = -7$.
На левой границе, $x = -6$, точка не включена в промежуток. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к $-6$ справа:
$\lim_{x \to -6^+} y(x) = -|4 \cdot (-6)| + 1 = -|-24| + 1 = -24 + 1 = -23$.
Это означает, что значения функции стремятся к $-23$, но никогда его не достигают. Наименьшее значение на промежутке $(-6, 2]$ не достигается, но значения функции ограничены снизу числом $-23$.
Таким образом, множество значений функции — это полуинтервал, включающий максимальное значение $1$ и стремящийся к $-23$.
Ответ: $(-23; 1]$.

в)

Задана функция $y = -|2x| - 1$ на промежутке $x \in [-1; 1]$.
График этой функции — перевернутая V-образная кривая. Он получается из графика $y = |x|$ путем сжатия к оси OY в 2 раза ($y=|2x|$), отражения относительно оси OX ($y=-|2x|$), и сдвига на 1 единицу вниз по оси OY. Вершина графика находится в точке $(0, -1)$ и является точкой максимума.
Поскольку $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, наибольшее значение функции достигается в этой точке:
$y_{наиб} = y(0) = -|2 \cdot 0| - 1 = -1$.
Наименьшее значение достигается на концах отрезка, так как они наиболее удалены от вершины $x = 0$. Так как отрезок $[-1; 1]$ симметричен относительно нуля, значения на его концах будут равны:
$y(-1) = -|2 \cdot (-1)| - 1 = -|-2| - 1 = -2 - 1 = -3$.
$y(1) = -|2 \cdot 1| - 1 = -|2| - 1 = -2 - 1 = -3$.
Наименьшее значение функции равно $-3$.
Следовательно, множество значений функции — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[-3; -1]$.

г)

Задана функция $y = |x| + 3$ на промежутке $x \in [-5; 1)$.
Как и в пункте а), это V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 3)$, которая является точкой минимума.
Поскольку $x = 0$ принадлежит промежутку $[-5; 1)$, наименьшее значение функции равно $y(0)=3$:
$y_{наим} = y(0) = |0| + 3 = 3$.
Наибольшее значение ищем на границах промежутка. Оно будет достигаться на той границе, которая наиболее удалена от точки минимума $x = 0$. Расстояние от $-5$ до $0$ равно 5, а от $1$ до $0$ равно 1. Следовательно, максимум ищем в окрестности $x = -5$.
Найдем значения на границах:
На левой границе, в точке $x = -5$ (которая включена в промежуток):
$y(-5) = |-5| + 3 = 5 + 3 = 8$.
На правой границе, $x = 1$, точка не включена. Найдем предел:
$\lim_{x \to 1^-} y(x) = |1| + 3 = 4$.
Наибольшее значение, которое функция принимает на данном промежутке, равно $8$. Наименьшее значение равно $3$. Так как функция непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.
Множество значений на отрезке $[-5, 0]$ есть $[3, 8]$. Множество значений на полуинтервале $[0, 1)$ есть $[3, 4)$. Объединение этих множеств дает $[3, 8]$.
Ответ: $[3; 8]$.

10.23 Представьте данную функцию в виде $y = f(x + l) + m$, опишите её свойства и постройте график:

а) $y = \frac{x + 4}{x + 2}$;

б) $y = \frac{2x - 3}{x - 2}$;

в) $y = -\frac{x + 3}{x - 1}$;

г) $y = \frac{5 - x}{x - 3}$.

а) $y = \frac{x+4}{x+2}$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l) + m$.
Для того чтобы представить данную дробно-рациональную функцию в требуемом виде, выделим целую часть дроби. Для этого в числителе представим выражение так, чтобы оно содержало знаменатель:
$y = \frac{x+4}{x+2} = \frac{(x+2)+2}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} + \frac{2}{x+2} = 1 + \frac{2}{x+2}$.
Таким образом, мы получили функцию $y = \frac{2}{x+2} + 1$.
Это соответствует виду $y = f(x+l) + m$, где базовая функция $f(x) = \frac{2}{x}$, параметр $l=2$ (сдвиг влево на 2 единицы) и параметр $m=1$ (сдвиг вверх на 1 единицу).

2. Свойства функции.

- Область определения: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

- Область значений: Так как дробь $\frac{2}{x+2}$ не может быть равна нулю, $y$ не может быть равно $1$. $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

- Асимптоты: Вертикальная асимптота $x = -2$; горизонтальная асимптота $y = 1$.

- Монотонность: Коэффициент $k=2 > 0$, поэтому функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; -2)$ и на $(-2; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = \frac{0+4}{0+2} = 2$. Точка $(0; 2)$.
- с осью OX ($y=0$): $0 = 1 + \frac{2}{x+2} \Rightarrow \frac{2}{x+2} = -1 \Rightarrow x+2 = -2 \Rightarrow x=-4$. Точка $(-4; 0)$.

- Симметрия: График симметричен относительно точки пересечения асимптот $(-2; 1)$.

3. Построение графика.
График функции является гиперболой.
- В системе координат строим пунктирными линиями асимптоты: вертикальную прямую $x=-2$ и горизонтальную прямую $y=1$.
- Так как $k=2>0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами.
- Отмечаем на графике точки пересечения с осями координат: $(0; 2)$ и $(-4; 0)$.
- Для большей точности можно найти еще пару точек: например, при $x=-1$, $y=3$; при $x=-3$, $y=-1$.
- Соединяем точки плавными кривыми, которые приближаются к асимптотам.

Ответ: $y = \frac{2}{x+2} + 1$.

б) $y = \frac{2x-3}{x-2}$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l) + m$.
Выделим целую часть дроби:
$y = \frac{2x-3}{x-2} = \frac{2(x-2)+4-3}{x-2} = \frac{2(x-2)+1}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} + \frac{1}{x-2} = 2 + \frac{1}{x-2}$.
Полученная функция: $y = \frac{1}{x-2} + 2$.
Здесь $f(x) = \frac{1}{x}$, $l=-2$ (сдвиг вправо на 2 единицы), $m=2$ (сдвиг вверх на 2 единицы).

2. Свойства функции.

- Область определения: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

- Область значений: $y \neq 2$. $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

- Асимптоты: Вертикальная $x = 2$; горизонтальная $y = 2$.

- Монотонность: Коэффициент $k=1 > 0$, функция убывает на $(-\infty; 2)$ и на $(2; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = \frac{2(0)-3}{0-2} = 1.5$. Точка $(0; 1.5)$.
- с осью OX ($y=0$): $0 = \frac{2x-3}{x-2} \Rightarrow 2x-3=0 \Rightarrow x=1.5$. Точка $(1.5; 0)$.

- Симметрия: График симметричен относительно точки $(2; 2)$.

3. Построение графика.
- Строим асимптоты $x=2$ и $y=2$.
- Ветви гиперболы ($k=1>0$) расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.
- Отмечаем точки $(0; 1.5)$ и $(1.5; 0)$.
- Для точности находим доп. точки: при $x=3, y=3$; при $x=1, y=1$.
- Строим график, проводя кривые через точки, приближаясь к асимптотам.

Ответ: $y = \frac{1}{x-2} + 2$.

в) $y = -\frac{x+3}{x-1}$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l) + m$.
Преобразуем выражение:
$y = -\frac{x+3}{x-1} = -\frac{(x-1)+4}{x-1} = -(\frac{x-1}{x-1} + \frac{4}{x-1}) = -(1 + \frac{4}{x-1}) = -1 - \frac{4}{x-1}$.
Полученная функция: $y = \frac{-4}{x-1} - 1$.
Здесь $f(x) = \frac{-4}{x}$, $l=-1$ (сдвиг вправо на 1 единицу), $m=-1$ (сдвиг вниз на 1 единицу).

2. Свойства функции.

- Область определения: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

- Область значений: $y \neq -1$. $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

- Асимптоты: Вертикальная $x = 1$; горизонтальная $y = -1$.

- Монотонность: Коэффициент $k=-4 < 0$, функция возрастает на $(-\infty; 1)$ и на $(1; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = -\frac{0+3}{0-1} = 3$. Точка $(0; 3)$.
- с осью OX ($y=0$): $0 = -\frac{x+3}{x-1} \Rightarrow x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Точка $(-3; 0)$.

- Симметрия: График симметричен относительно точки $(1; -1)$.

3. Построение графика.
- Строим асимптоты $x=1$ и $y=-1$.
- Ветви гиперболы ($k=-4<0$) расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.
- Отмечаем точки $(0; 3)$ и $(-3; 0)$.
- Дополнительные точки: при $x=2, y=-5$; при $x=3, y=-3$.
- Строим график.

Ответ: $y = \frac{-4}{x-1} - 1$.

г) $y = \frac{5-x}{x-3}$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l) + m$.
Выполним преобразование:
$y = \frac{5-x}{x-3} = \frac{-(x-5)}{x-3} = \frac{-(x-3-2)}{x-3} = \frac{-(x-3)+2}{x-3} = -\frac{x-3}{x-3} + \frac{2}{x-3} = -1 + \frac{2}{x-3}$.
Полученная функция: $y = \frac{2}{x-3} - 1$.
Здесь $f(x) = \frac{2}{x}$, $l=-3$ (сдвиг вправо на 3 единицы), $m=-1$ (сдвиг вниз на 1 единицу).

2. Свойства функции.

- Область определения: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

- Область значений: $y \neq -1$. $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

- Асимптоты: Вертикальная $x = 3$; горизонтальная $y = -1$.

- Монотонность: Коэффициент $k=2 > 0$, функция убывает на $(-\infty; 3)$ и на $(3; +\infty)$.

- Точки пересечения с осями координат:
- с осью OY ($x=0$): $y = \frac{5-0}{0-3} = -\frac{5}{3}$. Точка $(0; -5/3)$.
- с осью OX ($y=0$): $0 = \frac{5-x}{x-3} \Rightarrow 5-x=0 \Rightarrow x=5$. Точка $(5; 0)$.

- Симметрия: График симметричен относительно точки $(3; -1)$.

3. Построение графика.
- Строим асимптоты $x=3$ и $y=-1$.
- Ветви гиперболы ($k=2>0$) расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот.
- Отмечаем точки $(0; -5/3)$ и $(5; 0)$.
- Дополнительные точки: при $x=4, y=1$; при $x=2, y=-3$.
- Строим график.

Ответ: $y = \frac{2}{x-3} - 1$.

10.24 Представьте данную функцию в виде $y = f(x + l) + m$, опишите её свойства и постройте график:

а) $y = \frac{x - 5}{4 - x}$, $x > 4$;

б) $y = \frac{2 - 3x}{2 + x}$, $x < -2$;

В) $y = \frac{x + 1}{x - 1}$, $x > 1$;

Г) $y = \frac{6 - 3x}{3 + x}$, $x < -3$.

а) $y = \frac{x-5}{4-x}$, $x > 4$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l)+m$.

Выполним преобразование исходной дроби, выделив целую часть:

$y = \frac{x-5}{4-x} = \frac{x-5}{-(x-4)} = -\frac{(x-4)-1}{x-4} = -(\frac{x-4}{x-4} - \frac{1}{x-4}) = -(1 - \frac{1}{x-4}) = \frac{1}{x-4} - 1$.

Таким образом, функция представлена в виде $y = \frac{1}{x-4} - 1$. Это соответствует виду $y = f(x+l)+m$, где $f(x) = \frac{1}{x}$, $l=-4$, $m=-1$.

2. Свойства функции.

График функции является частью гиперболы $y=\frac{1}{x}$, смещенной на 4 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

• Область определения: $D(y) = (4; +\infty)$ (по условию).
• Асимптоты: вертикальная $x=4$ и горизонтальная $y=-1$.
• Область значений: При $x \to 4^+$, $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to -1$. Следовательно, $E(y) = (-1; +\infty)$.
• Монотонность: Производная $y' = -\frac{1}{(x-4)^2} < 0$ на всей области определения, значит, функция строго убывает на интервале $(4; +\infty)$.
• Нули функции: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{x-4} - 1 = 0 \Rightarrow x-4=1 \Rightarrow x=5$. Точка пересечения с осью Ox: $(5, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (4; 5)$; $y < 0$ при $x \in (5; +\infty)$.

3. Построение графика.

График представляет собой правую ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x-4} - 1$, расположенную в первой и четвертой четвертях относительно своих асимптот.

1. На координатной плоскости строим пунктирными линиями асимптоты: прямую $x=4$ и прямую $y=-1$.
2. Отмечаем точку пересечения с осью Ox: $(5, 0)$.
3. Находим еще одну точку для точности. Например, при $x=6$, $y = \frac{1}{6-4} - 1 = -0.5$. Точка $(6, -0.5)$.
4. Проводим кривую, которая при $x \to 4^+$ стремится к $+\infty$ вдоль асимптоты $x=4$, проходит через точки $(5, 0)$ и $(6, -0.5)$ и при $x \to +\infty$ приближается сверху к асимптоте $y=-1$.

Ответ: $y = \frac{1}{x-4}-1$.

б) $y = \frac{2-3x}{2+x}$, $x < -2$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l)+m$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{2-3x}{x+2} = \frac{-3x+2}{x+2} = \frac{-3(x+2)+6+2}{x+2} = \frac{-3(x+2)+8}{x+2} = -3 + \frac{8}{x+2} = \frac{8}{x+2} - 3$.

Функция представлена в виде $y = \frac{8}{x+2} - 3$. Это соответствует виду $y = f(x+l)+m$, где $f(x) = \frac{8}{x}$, $l=2$, $m=-3$.

2. Свойства функции.

График функции является частью гиперболы $y=\frac{8}{x}$, смещенной на 2 единицы влево и на 3 единицы вниз.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; -2)$ (по условию).
• Асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=-3$.
• Область значений: При $x \to -2^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to -3$. Следовательно, $E(y) = (-\infty; -3)$.
• Монотонность: Производная $y' = -\frac{8}{(x+2)^2} < 0$ на всей области определения, значит, функция строго убывает на интервале $(-\infty; -2)$.
• Нули функции: Уравнение $\frac{8}{x+2} - 3 = 0$ имеет корень $x=2/3$, который не входит в область определения. Нулей у функции нет.
• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = (-\infty; -3)$, то $y < 0$ на всей области определения.

3. Построение графика.

График представляет собой левую ветвь гиперболы $y = \frac{8}{x+2} - 3$, расположенную в третьей четверти относительно своих асимптот.

1. Строим асимптоты: $x=-2$ и $y=-3$.
2. Находим несколько точек. Например:
   • при $x=-3$, $y = \frac{8}{-3+2} - 3 = -11$. Точка $(-3, -11)$.
   • при $x=-4$, $y = \frac{8}{-4+2} - 3 = -7$. Точка $(-4, -7)$.
   • при $x=-6$, $y = \frac{8}{-6+2} - 3 = -5$. Точка $(-6, -5)$.
3. Проводим кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается снизу к асимптоте $y=-3$, проходит через вычисленные точки и при $x \to -2^-$ стремится к $-\infty$ вдоль асимптоты $x=-2$.

Ответ: $y = \frac{8}{x+2}-3$.

в) $y = \frac{x+1}{x-1}$, $x > 1$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l)+m$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1)+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x-1} + 1$.

Функция представлена в виде $y = \frac{2}{x-1} + 1$. Это соответствует виду $y = f(x+l)+m$, где $f(x) = \frac{2}{x}$, $l=-1$, $m=1$.

2. Свойства функции.

График функции является частью гиперболы $y=\frac{2}{x}$, смещенной на 1 единицу вправо и на 1 единицу вверх.

• Область определения: $D(y) = (1; +\infty)$ (по условию).
• Асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=1$.
• Область значений: При $x \to 1^+$, $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 1$. Следовательно, $E(y) = (1; +\infty)$.
• Монотонность: Производная $y' = -\frac{2}{(x-1)^2} < 0$ на всей области определения, значит, функция строго убывает на интервале $(1; +\infty)$.
• Нули функции: Уравнение $\frac{2}{x-1} + 1 = 0$ имеет корень $x=-1$, который не входит в область определения. Нулей у функции нет.
• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = (1; +\infty)$, то $y > 0$ на всей области определения.

3. Построение графика.

График представляет собой правую ветвь гиперболы $y = \frac{2}{x-1} + 1$, расположенную в первой четверти относительно своих асимптот.

1. Строим асимптоты: $x=1$ и $y=1$.
2. Находим несколько точек. Например:
   • при $x=2$, $y = \frac{2}{2-1} + 1 = 3$. Точка $(2, 3)$.
   • при $x=3$, $y = \frac{2}{3-1} + 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.
3. Проводим кривую, которая при $x \to 1^+$ стремится к $+\infty$ вдоль асимптоты $x=1$, проходит через точки $(2, 3)$, $(3, 2)$ и при $x \to +\infty$ приближается сверху к асимптоте $y=1$.

Ответ: $y = \frac{2}{x-1}+1$.

г) $y = \frac{6-3x}{3+x}$, $x < -3$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l)+m$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{6-3x}{x+3} = \frac{-3x+6}{x+3} = \frac{-3(x+3)+9+6}{x+3} = \frac{-3(x+3)+15}{x+3} = -3 + \frac{15}{x+3} = \frac{15}{x+3} - 3$.

Функция представлена в виде $y = \frac{15}{x+3} - 3$. Это соответствует виду $y = f(x+l)+m$, где $f(x) = \frac{15}{x}$, $l=3$, $m=-3$.

2. Свойства функции.

График функции является частью гиперболы $y=\frac{15}{x}$, смещенной на 3 единицы влево и на 3 единицы вниз.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; -3)$ (по условию).
• Асимптоты: вертикальная $x=-3$ и горизонтальная $y=-3$.
• Область значений: При $x \to -3^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to -3$. Следовательно, $E(y) = (-\infty; -3)$.
• Монотонность: Производная $y' = -\frac{15}{(x+3)^2} < 0$ на всей области определения, значит, функция строго убывает на интервале $(-\infty; -3)$.
• Нули функции: Уравнение $\frac{15}{x+3} - 3 = 0$ имеет корень $x=2$, который не входит в область определения. Нулей у функции нет.
• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = (-\infty; -3)$, то $y < 0$ на всей области определения.

3. Построение графика.

График представляет собой левую ветвь гиперболы $y = \frac{15}{x+3} - 3$, расположенную в третьей четверти относительно своих асимптот.

1. Строим асимптоты: $x=-3$ и $y=-3$.
2. Находим несколько точек. Например:
   • при $x=-4$, $y = \frac{15}{-4+3} - 3 = -18$. Точка $(-4, -18)$.
   • при $x=-6$, $y = \frac{15}{-6+3} - 3 = -8$. Точка $(-6, -8)$.
   • при $x=-8$, $y = \frac{15}{-8+3} - 3 = -6$. Точка $(-8, -6)$.
3. Проводим кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается снизу к асимптоте $y=-3$, проходит через вычисленные точки и при $x \to -3^-$ стремится к $-\infty$ вдоль асимптоты $x=-3$.

Ответ: $y = \frac{15}{x+3}-3$.

10.25 Исследуйте функцию на ограниченность:

а) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 8};$

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}};$

в) $y = \sqrt{3 - x^2 - 2x};$

г) $y = \frac{-1}{\sqrt{3 - x^2 - 2x}}.$

а) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$

Для исследования функции на ограниченность сначала найдем ее область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 6x + 8 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$. Это и есть область определения функции $D(y)$.

Теперь исследуем множество значений функции. Так как функция представляет собой арифметический квадратный корень, ее значения всегда неотрицательны, то есть $y \ge 0$. Следовательно, функция ограничена снизу числом 0. Наименьшее значение, равное 0, достигается при $x=2$ и $x=4$.

Чтобы проверить, ограничена ли функция сверху, рассмотрим ее поведение при $x \to \pm\infty$.

$\lim_{x \to \pm\infty} \sqrt{x^2 - 6x + 8} = \sqrt{\lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 6x + 8)} = \sqrt{+\infty} = +\infty$

Поскольку функция может принимать сколь угодно большие значения, она не ограничена сверху.

Ответ: функция ограничена снизу.

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}}$

Область определения функции задается строгим неравенством, так как подкоренное выражение находится в знаменателе:

$x^2 - 6x + 8 > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $D(y) = (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Знаменатель $\sqrt{x^2 - 6x + 8}$ всегда положителен в области определения. Следовательно, значение функции $y$ также всегда положительно, $y > 0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0.

Проверим, ограничена ли функция сверху. Рассмотрим ее поведение на границах области определения:

$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}} = \frac{1}{\sqrt{(2-0)^2 - 6(2-0) + 8}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$

$\lim_{x \to 4^+} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}} = \frac{1}{\sqrt{(4+0)^2 - 6(4+0) + 8}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$

Поскольку функция может принимать сколь угодно большие значения, она не ограничена сверху.

Ответ: функция ограничена снизу.

в) $y = \sqrt{3 - x^2 - 2x}$

Найдем область определения функции из условия $3 - x^2 - 2x \ge 0$. Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 2x - 3 \le 0$

Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Область определения $D(y) = [-3, 1]$.

Поскольку функция непрерывна на замкнутом отрезке, она ограничена и сверху, и снизу.
Как и в пункте а), значения функции неотрицательны, $y \ge 0$, поэтому функция ограничена снизу нулем. Минимальное значение $y=0$ достигается при $x=-3$ и $x=1$.
Для нахождения наибольшего значения найдем максимум подкоренного выражения $g(x) = -x^2 - 2x + 3$. Это парабола с ветвями вниз, ее максимум находится в вершине.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = -1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-3, 1]$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Следовательно, максимальное значение функции $y$ равно $\sqrt{4} = 2$.
Таким образом, для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $0 \le y \le 2$. Функция ограничена.

Ответ: функция ограничена.

г) $y = \frac{-1}{\sqrt{3 - x^2 - 2x}}$

Область определения функции задается строгим неравенством $3 - x^2 - 2x > 0$, так как подкоренное выражение находится в знаменателе.
Из решения пункта в) следует, что $x^2 + 2x - 3 < 0$, что выполняется на интервале $D(y) = (-3, 1)$.

Знаменатель $\sqrt{3 - x^2 - 2x}$ всегда положителен, а числитель равен -1. Следовательно, значения функции $y$ всегда отрицательны, $y < 0$. Это означает, что функция ограничена сверху (например, числом 0).
Найдем наибольшее значение функции. Оно достигается, когда знаменатель принимает максимальное значение. Из пункта в) мы знаем, что максимум подкоренного выражения равен 4 при $x=-1$. Значит, максимальное значение знаменателя равно $\sqrt{4} = 2$.
Наибольшее значение функции $y$ равно $y_{max} = \frac{-1}{2}$. Итак, функция ограничена сверху числом -1/2.

Проверим, ограничена ли функция снизу. Для этого рассмотрим ее поведение на границах области определения:

$\lim_{x \to -3^+} \frac{-1}{\sqrt{3 - x^2 - 2x}} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{-1}{\sqrt{3 - x^2 - 2x}} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$

Поскольку функция может принимать сколь угодно большие по модулю отрицательные значения, она не ограничена снизу.

Ответ: функция ограничена сверху.

Постройте и прочитайте график функции:

10.26 $y = \begin{cases} 2, & \text{если } -3 \le x \le 1; \\ \sqrt{x}, & \text{если } 1 < x \le 4; \\ (x-5)^2 + 1, & \text{если } 4 < x \le 6. \end{cases}$

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: построить график кусочно-заданной функции и затем описать её свойства ("прочитать" график).

Построение графика

График функции состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем интервале:

• На промежутке $ [-3; 1] $ функция задается уравнением $ y = 2 $. Графиком является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс, соединяющий точки $ (-3; 2) $ и $ (1; 2) $. Обе конечные точки включены, так как неравенство нестрогое.
• На промежутке $ (1; 4] $ функция задается уравнением $ y = \sqrt{x} $. Это часть ветви параболы, которая симметрична оси $Ox$. Найдем значения на границах промежутка: при $ x \to 1^+ $ (справа) значение $ y \to \sqrt{1} = 1 $, поэтому точка $ (1; 1) $ будет "выколотой"; при $ x = 4 $ значение $ y = \sqrt{4} = 2 $, поэтому точка $ (4; 2) $ будет закрашенной.
• На промежутке $ (4; 6] $ функция задается уравнением $ y = (x - 5)^2 + 1 $. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $ (5; 1) $, и эта точка принадлежит данному интервалу. Найдем значения на границах: при $ x \to 4^+ $ (справа) значение $ y \to (4 - 5)^2 + 1 = 2 $, поэтому точка $ (4; 2) $ будет "выколотой"; при $ x = 6 $ значение $ y = (6 - 5)^2 + 1 = 2 $, поэтому точка $ (6; 2) $ будет закрашенной.

Совмещая эти три части, получаем итоговый график. В точке $ x = 1 $ происходит разрыв (скачок с $y=2$ до $y=1$). В точке $ x = 4 $ разрыва нет, так как предел справа $y \to 2$ совпадает со значением функции слева $y(4)=2$.

Ответ: График функции состоит из трех участков: 1) горизонтального отрезка от точки $(-3; 2)$ до $(1; 2)$; 2) кривой $y=\sqrt{x}$ от выколотой точки $(1; 1)$ до точки $(4; 2)$; 3) участка параболы с вершиной в точке $(5; 1)$, соединяющего точки $(4; 2)$ и $(6; 2)$.

Свойства функции

1. Область определения: Функция определена на объединении промежутков $ [-3; 1] $, $ (1; 4] $ и $ (4; 6] $.
Ответ: $ D(y) = [-3; 6] $.

2. Область значений: На первом участке $ y = 2 $. На втором $ y \in (1; 2] $. На третьем $ y \in [1; 2] $. Объединение этих множеств дает итоговую область значений.
Ответ: $ E(y) = [1; 2] $.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $ x = 1 $, где она имеет разрыв первого рода (скачок), так как $ \lim_{x\to 1-} y(x) = 2 $, а $ \lim_{x\to 1+} y(x) = 1 $.
Ответ: функция разрывна в точке $ x = 1 $.

4. Нули функции: Нули функции – это точки пересечения графика с осью $Ox$. Так как минимальное значение функции равно 1, график не пересекает ось $Ox$.
Ответ: нулей нет.

5. Промежутки знакопостоянства: Поскольку все значения функции лежат в диапазоне $ [1; 2] $, функция положительна на всей области определения.
Ответ: $ y > 0 $ при всех $ x \in [-3; 6] $.

6. Промежутки монотонности:

• На промежутке $ [-3; 1] $ функция постоянна ($y=2$).
• На промежутке $ (1; 4] $ функция возрастает.
• На промежутке $ (4; 5] $ функция убывает.
• На промежутке $ [5; 6] $ функция возрастает.

Ответ: функция постоянна на $ [-3; 1] $, убывает на $ (4; 5] $, возрастает на $ (1; 4] \cup [5; 6] $.

7. Экстремумы функции: Точка $ x = 5 $ является точкой минимума. Наибольшее и наименьшее значения функция принимает.
Ответ: $ x_{min} = 5 $, наименьшее значение функции $ y_{min} = 1 $. Наибольшее значение функции $ y_{max} = 2 $.

8. Четность и нечетность: Область определения функции $ [-3; 6] $ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида.

10.27 $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0; \\ -x^2 + 2x + 2, & \text{если } 0 \le x \le 2; \\ x, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

Для решения задачи необходимо сначала построить график данной кусочно-заданной функции. График состоит из трех частей, которые мы рассмотрим по отдельности на заданных промежутках.

График на промежутке $x < 0$

На этом промежутке задана функция $y = \frac{3}{x}$. Её график — это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График асимптотически приближается к осям координат. Для построения найдем несколько контрольных точек: при $x=-1$, $y=-3$; при $x=-3$, $y=-1$; при $x=-0.5$, $y=-6$.

График на отрезке $0 \le x \le 2$

Здесь задана функция $y = -x^2 + 2x + 2$. Её график — это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины этой параболы:

Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Ордината вершины: $y_в = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$. Поскольку $x_в = 1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$, то на этом отрезке функция достигает своего наибольшего значения, равного 3, в вершине. Найдем значения функции на концах отрезка:

$y(0) = -0^2 + 2(0) + 2 = 2$.

$y(2) = -2^2 + 2(2) + 2 = -4 + 4 + 2 = 2$.

Таким образом, на отрезке $[0, 2]$ график представляет собой дугу параболы с концами в точках $(0, 2)$ и $(2, 2)$, которые принадлежат графику, и с вершиной в точке $(1, 3)$.

График на полуинтервале $2 < x \le 4$

На этом промежутке задана функция $y = x$. Её график — это отрезок прямой линии. Найдем значения на концах промежутка:

В точке $x=2$ значение функции стремится к 2. Эта точка $(2, 2)$ не принадлежит данному участку графика (является "выколотой"). Однако, поскольку точка $(2, 2)$ принадлежит предыдущему участку (параболе), функция является непрерывной в точке $x=2$.

В точке $x=4$ имеем $y=4$. Эта точка $(4, 4)$ принадлежит графику.

Построение и анализ итогового графика

Объединим все три части на одной координатной плоскости. Итоговый график состоит из ветви гиперболы в III четверти, дуги параболы от $(0, 2)$ до $(2, 2)$ с вершиной в $(1, 3)$, и отрезка прямой от $(2, 2)$ до $(4, 4)$.

Поскольку в условии задачи не указан конкретный вопрос, решим наиболее типичную для такого задания задачу: найдем все значения параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком функции ровно две общие точки. Для этого проанализируем количество пересечений горизонтальной прямой $y=m$ с построенным графиком в зависимости от $m$.

• При $m < 0$, прямая $y=m$ пересекает ветвь гиперболы в одной точке. Одно пересечение.
• При $0 \le m < 2$, прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек. Нет пересечений.
• При $m = 2$, прямая $y=m$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(2, 2)$. Два пересечения.
• При $2 < m < 3$, прямая $y=m$ пересекает параболу в двух точках и отрезок прямой в одной точке. Три пересечения.
• При $m = 3$, прямая $y=m$ касается параболы в ее вершине $(1, 3)$ и пересекает отрезок прямой в точке $(3, 3)$. Два пересечения.
• При $3 < m \le 4$, прямая $y=m$ пересекает только отрезок прямой в одной точке. Одно пересечение.
• При $m > 4$, прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек. Нет пересечений.

Из анализа следует, что прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=2$ и $m=3$.

Ответ: $2; 3$.