Страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.14 Известно, что функция $y = f(x)$ — нечётная и ограничена снизу при $x > 0$. Можно ли утверждать, что она при $x < 0$:

a) ограничена сверху;

б) ограничена снизу?

По условию, функция $y = f(x)$ является нечётной, что означает выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения функции.

Также известно, что функция ограничена снизу при $x > 0$. Это означает, что существует такое число $m$, что для всех $x > 0$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

а) ограничена сверху

Рассмотрим поведение функции при $x < 0$. Нам нужно выяснить, существует ли такое число $M$, что для всех $x < 0$ будет выполняться неравенство $f(x) \le M$.

Пусть $x$ – любое отрицательное число, то есть $x < 0$. Тогда число $-x$ будет положительным, то есть $-x > 0$.

Поскольку $-x > 0$, для него выполняется условие ограниченности функции снизу: $f(-x) \ge m$.

Теперь воспользуемся свойством нечётности функции: $f(-x) = -f(x)$. Подставим это в наше неравенство: $-f(x) \ge m$.

Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $f(x) \le -m$.

Это неравенство справедливо для любого $x < 0$. Мы нашли число $M = -m$, которое ограничивает значения функции сверху. Таким образом, функция $f(x)$ ограничена сверху при $x < 0$.

Ответ: да, можно утверждать.

б) ограничена снизу

Чтобы выяснить, можно ли утверждать, что функция ограничена снизу при $x < 0$, рассмотрим конкретный пример функции, удовлетворяющей начальным условиям.

Пусть $f(x) = \frac{1}{x}$. Проверим, удовлетворяет ли она условиям задачи.

1. Нечётность: $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$. Функция является нечётной.
2. Ограниченность снизу при $x > 0$: Если $x > 0$, то $f(x) = \frac{1}{x} > 0$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом $m=0$.

Оба условия выполнены. Теперь посмотрим, является ли эта функция ограниченной снизу при $x < 0$.

При $x < 0$ значения функции $f(x) = \frac{1}{x}$ также отрицательны. Однако, если $x$ стремится к нулю слева (например, $x = -0.1, -0.01, -0.001, \dots$), то значения $f(x)$ стремятся к минус бесконечности ($f(x) = -10, -100, -1000, \dots$).

Это означает, что не существует такого числа $k$, что для всех $x < 0$ выполнялось бы неравенство $f(x) \ge k$. То есть, функция $f(x) = \frac{1}{x}$ не ограничена снизу при $x < 0$.

Поскольку мы нашли хотя бы один пример (контрпример) функции, которая удовлетворяет условиям, но не является ограниченной снизу при $x < 0$, мы не можем утверждать, что это свойство будет выполняться для всех таких функций.

Ответ: нет, нельзя утверждать.

11.15 Известно, что функция $y=f(x)$ — нечётная и ограничена сверху при $x > 0$. Можно ли утверждать, что она при $x < 0$:

а) ограничена сверху;

б) ограничена снизу?

Для решения этой задачи воспользуемся определениями нечётной функции и ограниченности функции.

Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция $f(x)$ ограничена сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Функция $f(x)$ ограничена снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

а) ограничена сверху;

Нет, утверждать, что функция ограничена сверху при $x < 0$, нельзя. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x$.

1. Проверим, является ли она нечётной:
$f(-x) = -(-x) = x$.
$-f(x) = -(-x) = x$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

2. Проверим, ограничена ли она сверху при $x > 0$:
Если $x > 0$, то $f(x) = -x < 0$. Это означает, что все значения функции на этом промежутке меньше нуля. Следовательно, функция ограничена сверху, например, числом $M=0$, так как $-x \le 0$ для всех $x > 0$.

3. Теперь проверим, ограничена ли эта функция сверху при $x < 0$:
Если $x < 0$, то $f(x) = -x > 0$. Значения функции могут быть сколь угодно большими. Например, если $x = -100$, то $f(x) = 100$; если $x = -1000$, то $f(x) = 1000$. Функция не имеет верхнего предела при $x < 0$, то есть не является ограниченной сверху на этом промежутке.

Таким образом, мы нашли функцию, которая удовлетворяет условиям задачи, но не является ограниченной сверху при $x < 0$.

Ответ: Нет, нельзя.

б) ограничена снизу?

Да, можно утверждать, что функция при $x < 0$ будет ограничена снизу. Докажем это.

Из условия известно, что функция $f(x)$ ограничена сверху при $x > 0$. Это означает, что существует такое число $M$, что для любого $x > 0$ выполняется неравенство:

$f(x) \le M$

Рассмотрим произвольное значение $x_0 < 0$. Нам нужно показать, что значения $f(x_0)$ ограничены снизу.

Если $x_0 < 0$, то $-x_0 > 0$.

Поскольку $-x_0 > 0$, для него выполняется условие ограниченности сверху:

$f(-x_0) \le M$

Так как функция $f(x)$ нечётная, мы знаем, что $f(-x_0) = -f(x_0)$. Подставим это в неравенство:

$-f(x_0) \le M$

Теперь умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$f(x_0) \ge -M$

Это неравенство справедливо для любого $x_0 < 0$. Мы показали, что существует число $m = -M$, такое, что для всех $x < 0$ выполняется $f(x) \ge m$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ ограничена снизу на промежутке $x < 0$.

Ответ: Да, можно.

11.16 Известно, что функция $y = f(x)$ — чётная и ограничена снизу при $x > 0$. Можно ли утверждать, что она при $x < 0$:

а) ограничена сверху;

б) ограничена снизу?

По условию, функция $y=f(x)$ является чётной, что означает выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Также функция ограничена снизу при $x > 0$, то есть существует такое число $m$, что для любого $x > 0$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Свойство чётности $f(-x) = f(x)$ означает, что множество значений функции на интервале $(-\infty, 0)$ в точности совпадает с множеством значений на интервале $(0, +\infty)$. То есть, какое бы значение функция ни принимала при $x_0 < 0$, она примет то же самое значение при $-x_0 > 0$, и наоборот.

а) ограничена сверху;

Нет, утверждать, что функция ограничена сверху при $x < 0$, нельзя. Тот факт, что множество значений функции на $(0, +\infty)$ ограничено снизу, не означает, что оно ограничено сверху. А поскольку множество значений для $x < 0$ совпадает с множеством значений для $x > 0$, оно тоже не обязано быть ограничено сверху.

Рассмотрим контрпример: функция $f(x) = x^2$.

• Эта функция является чётной, так как $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
• При $x > 0$ функция $f(x) = x^2$ принимает значения из интервала $(0, +\infty)$, следовательно, она ограничена снизу (например, числом $m=0$).
• Однако при $x < 0$ функция $f(x) = x^2$ принимает те же значения из $(0, +\infty)$. Это множество не ограничено сверху, так как при $x \to -\infty$, значение $f(x) \to +\infty$.

Таким образом, мы привели пример чётной функции, которая ограничена снизу при $x > 0$, но не ограничена сверху при $x < 0$.

Ответ: нет.

б) ограничена снизу?

Да, можно утверждать, что функция ограничена снизу при $x < 0$.

Доказательство:

По условию, функция $f(x)$ ограничена снизу при $x > 0$. Это означает, что существует такое действительное число $m$, что для всех $x > 0$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Рассмотрим произвольное значение $x_0 < 0$.

Поскольку функция $f(x)$ является чётной, то справедливо равенство $f(x_0) = f(-x_0)$.

Так как по нашему выбору $x_0 < 0$, то $-x_0 > 0$.

Поскольку $-x_0$ является положительным числом, для него выполняется исходное условие ограниченности снизу: $f(-x_0) \ge m$.

Отсюда следует, что и $f(x_0) \ge m$.

Так как $x_0$ было выбрано произвольно из интервала $(-\infty, 0)$, это неравенство справедливо для любого $x < 0$. Следовательно, функция ограничена снизу на этом интервале (тем же числом $m$, что и на интервале $x>0$).

Ответ: да.

Постройте график функции $y = f(x)$ и исследуйте её на чётность:

11.17 $f(x) = \begin{cases} 3 + x, & \text{если } x < 0; \\ 3 - x, & \text{если } x \geq 0. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} 3 + x, & \text{если } x < 0 \\ 3 - x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Постройте график функции y = f(x)

Для построения графика рассмотрим функцию на двух промежутках.

1. На промежутке $x < 0$ функция имеет вид $y = 3 + x$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем значения $x$ из этого промежутка:

• Если $x = -1$, то $y = 3 + (-1) = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.
• Если $x = -3$, то $y = 3 + (-3) = 0$. Получаем точку $(-3, 0)$.

Таким образом, для $x < 0$ график представляет собой луч, проходящий через точки $(-1, 2)$ и $(-3, 0)$. Когда $x$ стремится к 0 слева, $y$ стремится к 3. Точка $(0, 3)$ не входит в этот луч (она "выколотая").

2. На промежутке $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 3 - x$. Это также линейная функция, и её график — прямая. Возьмем две точки из этого промежутка:

• Если $x = 0$, то $y = 3 - 0 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$. Эта точка принадлежит графику.
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 3 = 0$. Получаем точку $(3, 0)$.

Для $x \ge 0$ график представляет собой луч, начинающийся в точке $(0, 3)$ и проходящий через точку $(3, 0)$.

Объединив два луча на одной координатной плоскости, мы получим итоговый график. Он представляет собой фигуру, похожую на перевернутую букву V, с вершиной в точке $(0, 3)$.

Следует отметить, что данную функцию можно записать с помощью модуля: $f(x) = 3 - |x|$. График функции $y=-|x|$ представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в начале координат, а график $y = 3 - |x|$ получается из него сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Ответ: График функции представляет собой два луча, выходящих из общей точки $(0, 3)$. Один луч направлен влево и вниз, проходя через точку $(-3, 0)$. Второй луч направлен вправо и вниз, проходя через точку $(3, 0)$. График симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Исследуйте её на чётность

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1. Область определения. Функция определена для всех $x < 0$ и для всех $x \ge 0$. Следовательно, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, поэтому функция может быть четной или нечетной.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$. Рассмотрим два случая:

• Пусть $x > 0$. Тогда $-x < 0$. Для нахождения $f(-x)$ нужно использовать первую формулу ($3+x$):
  $f(-x) = 3 + (-x) = 3 - x$.
  При этом для $x > 0$ значение $f(x)$ находится по второй формуле ($3-x$):
  $f(x) = 3 - x$.
  Таким образом, при $x>0$ имеем $f(-x) = f(x)$.
• Пусть $x < 0$. Тогда $-x > 0$. Для нахождения $f(-x)$ нужно использовать вторую формулу ($3-x$):
  $f(-x) = 3 - (-x) = 3 + x$.
  При этом для $x < 0$ значение $f(x)$ находится по первой формуле ($3+x$):
  $f(x) = 3 + x$.
  Таким образом, при $x<0$ также имеем $f(-x) = f(x)$.

При $x = 0$, $f(0) = 3-0 = 3$ и $f(-0) = f(0) = 3$, равенство также выполняется.

Поскольку равенство $f(-x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, функция является чётной. Это также подтверждается симметрией её графика относительно оси Oy.

Ответ: Функция является чётной.

11.18 $f(x) = \begin{cases} 2 + x, & \text{если } x < 0; \\ -2 - x, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Для полного анализа данной кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} 2 + x, & \text{если } x < 0; \\ -2 - x, & \text{если } x \geq 0. \end{cases}$ рассмотрим ее свойства по пунктам.

Область определения

Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как для $x < 0$ и для $x \geq 0$ заданы аналитические выражения (линейные функции), которые определены для любых $x$ из своих промежутков. Объединение этих промежутков $(-\infty, 0) \cup [0, \infty)$ дает всю числовую ось.
Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.

Непрерывность и точки разрыва

На интервале $(-\infty, 0)$ функция $f(x) = 2+x$ является линейной и, следовательно, непрерывной. На полуинтервале $[0, +\infty)$ функция $f(x) = -2-x$ также является линейной и непрерывной. Исследуем точку $x=0$, где меняется аналитическое выражение функции. Найдем односторонние пределы в этой точке:
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2+x) = 2+0 = 2$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-2-x) = -2-0 = -2$.
Значение функции в точке $x=0$: $f(0) = -2-0 = -2$.
Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$), функция терпит разрыв в точке $x=0$. Поскольку оба односторонних предела конечны, это разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|2 - (-2)| = 4$.
Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Нули функции

Найдем значения $x$, при которых $f(x)=0$, рассмотрев каждый промежуток отдельно.
1. Если $x < 0$, решаем уравнение $2+x=0$. Получаем $x=-2$. Это значение удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является нулем функции.
2. Если $x \geq 0$, решаем уравнение $-2-x=0$. Получаем $x=-2$. Это значение не удовлетворяет условию $x \geq 0$, следовательно, на этом промежутке нулей нет.
Ответ: Функция имеет один нуль: $x=-2$.

Промежутки знакопостоянства

Нуль функции $x=-2$ и точка разрыва $x=0$ разбивают область определения на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $[0, +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.
- На интервале $(-\infty, -2)$: выберем пробную точку, например $x=-3$. Так как $-3 < 0$, используем формулу $f(x) = 2+x$. $f(-3) = 2+(-3) = -1 < 0$. Следовательно, $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -2)$.
- На интервале $(-2, 0)$: выберем пробную точку, например $x=-1$. Так как $-1 < 0$, $f(-1) = 2+(-1) = 1 > 0$. Следовательно, $f(x) > 0$ при $x \in (-2, 0)$.
- На промежутке $[0, +\infty)$: для любого $x \geq 0$ имеем $x \geq 0 \implies -x \leq 0 \implies -2-x \leq -2$. Таким образом, $f(x)$ на этом промежутке всегда отрицательна.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-2, 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup [0, +\infty)$.

Промежутки монотонности и экстремумы

Найдем производную функции на интервалах непрерывности.
- При $x < 0$: $f(x) = 2+x$, тогда $f'(x) = 1$. Так как $f'(x) > 0$, функция строго возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.
- При $x > 0$: $f(x) = -2-x$, тогда $f'(x) = -1$. Так как $f'(x) < 0$, функция строго убывает на интервале $(0, +\infty)$.
В точке $x=0$ производная не существует, так как функция в этой точке разрывна. Поскольку слева от $x=0$ функция возрастает, а справа убывает, можно было бы предположить наличие точки максимума. Однако из-за разрыва экстремума в точке $x=0$ нет. В любой окрестности точки $x=0$ найдутся значения $x$ (например, $x=-0.01$), для которых $f(x) = f(-0.01) = 1.99$, что больше $f(0)=-2$. Следовательно, локального максимума в точке $x=0$ нет. Других критических точек нет.
Ответ: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0)$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$. Точек экстремума у функции нет.

Область значений

Определим множество всех значений, которые может принимать функция $y=f(x)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, функция $f(x)=2+x$ возрастает. Когда $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$. Когда $x \to 0^-$, $f(x) \to 2$. Таким образом, на этом интервале значения функции заполняют промежуток $(-\infty, 2)$.
- При $x \in [0, +\infty)$, функция $f(x)=-2-x$ убывает. Максимальное значение на этом промежутке достигается в точке $x=0$ и равно $f(0)=-2$. Когда $x \to +\infty$, $f(x) \to -\infty$. Таким образом, на этом промежутке значения функции заполняют промежуток $(-\infty, -2]$.
Область значений всей функции является объединением этих двух множеств: $(-\infty, 2) \cup (-\infty, -2] = (-\infty, 2)$.
Ответ: Область значений функции $E(f) = (-\infty, 2)$.

Построение графика

График функции состоит из двух лучей.
- Для $x < 0$ строим график прямой $y=2+x$. Это луч, который проходит через точку $(-2,0)$ (пересечение с осью Ox) и подходит к точке $(0,2)$. Сама точка $(0,2)$ на графике выколота (не принадлежит графику), так как неравенство $x<0$ строгое.
- Для $x \geq 0$ строим график прямой $y=-2-x$. Это луч, который начинается в точке $(0,-2)$ (эта точка закрашена, так как принадлежит графику) и уходит вниз при увеличении $x$.
Ответ: График функции состоит из двух лучей: луча прямой $y=2+x$ на интервале $(-\infty, 0)$ и луча прямой $y=-2-x$ на промежутке $[0, +\infty)$. В точке $x=0$ график имеет скачок от значения $2$ (недостижимого) к значению $-2$.

11.19 $f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } x < 0; \\ -x^2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

В задаче дана кусочно-заданная функция. Для ее полного решения проведем ее всесторонний анализ, включающий нахождение области определения и значений, исследование на непрерывность, дифференцируемость, четность, а также построение графика.

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0; \\ -x^2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

1. Область определения и область значений функции

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений $x$, для которых функция определена. Данная функция определена для всех $x < 0$ и для всех $x \ge 0$. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция.
При $x < 0$, функция $f(x) = x^2$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.
При $x \ge 0$, функция $f(x) = -x^2$ принимает все значения из интервала $(-\infty, 0]$.
Объединяя эти два множества, получаем, что область значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Непрерывность функции

Функция $f(x)$ определена на всей числовой оси.
На интервале $(-\infty, 0)$ функция $f(x) = x^2$ является непрерывной как степенная функция.
На интервале $(0, +\infty)$ функция $f(x) = -x^2$ является непрерывной как степенная функция.
Исследуем непрерывность в точке "стыка" $x=0$. Для этого найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке.
Значение функции в точке $x=0$: $f(0) = -0^2 = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x^2) = 0$.
Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=0$ равны, функция непрерывна в этой точке.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.

3. Дифференцируемость функции

Найдем производную функции на каждом из интервалов.
При $x < 0$: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.
При $x > 0$: $f'(x) = (-x^2)' = -2x$.
Исследуем дифференцируемость в точке $x=0$. Для этого найдем левую и правую производные в этой точке, вычислив пределы производной слева и справа.
Левая производная: $f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x) = 0$.
Правая производная: $f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (-2x) = 0$.
Так как левая и правая производные в точке $x=0$ существуют и равны, то функция дифференцируема в этой точке, и $f'(0) = 0$.
Таким образом, производная функции существует для всех $x$ и может быть записана как: $f'(x) = \begin{cases} 2x, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$
Это выражение можно записать в более компактном виде с использованием модуля: $f'(x) = -2|x|$.

Ответ: Функция дифференцируема на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Ее производная $f'(x) = -2|x|$.

4. Четность и нечетность

Проверим функцию на четность/нечетность. Для этого нужно сравнить $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.
Рассмотрим случай, когда $x > 0$. Тогда $-x < 0$.
$f(x) = -x^2$ (по второму правилу).
$f(-x) = (-x)^2 = x^2$ (по первому правилу).
Сравниваем: $f(-x) = x^2$ и $-f(x) = -(-x^2) = x^2$. Следовательно, $f(-x) = -f(x)$.
Рассмотрим случай, когда $x < 0$. Тогда $-x > 0$.
$f(x) = x^2$ (по первому правилу).
$f(-x) = -(-x)^2 = -x^2$ (по второму правилу).
Сравниваем: $f(-x) = -x^2$ и $-f(x) = -(x^2) = -x^2$. Следовательно, $f(-x) = -f(x)$.
Для $x=0$, $f(0)=0$ и $-f(0)=0$, $f(-0)=f(0)=0$, так что $f(-0)=-f(0)$.
Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Это также можно увидеть, представив функцию в виде $f(x)=-x|x|$.
$f(-x) = -(-x)|-x| = x|x|$.
$-f(x) = -(-x|x|) = x|x|$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция нечетная.

Ответ: Функция является нечетной.

5. Построение графика функции

Для построения графика функции, мы строим две части парабол на соответствующих промежутках.
1. Для $x < 0$, строим график $y = x^2$. Это левая ветвь стандартной параболы, ветви которой направлены вверх.
2. Для $x \ge 0$, строим график $y = -x^2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, вместе с ее вершиной в точке $(0, 0)$.
Объединяя эти две части, мы получаем непрерывный график. Поскольку функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
Контрольные точки: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -4)$.

Ответ: График функции состоит из левой ветви параболы $y=x^2$ для $x<0$ и правой ветви параболы $y=-x^2$ (включая вершину) для $x \ge 0$.

Исследуйте на чётность функцию:

11.20 а) $y = \sqrt{x+1};$

б) $y = \frac{x-2}{x^2-1};$

в) $y = \sqrt{x-5};$

г) $y = \frac{x+2}{x^2-16}.$

а) $y = \sqrt{x + 1}$

Для исследования функции на чётность необходимо найти её область определения $D(y)$ и проверить её на симметричность относительно начала координат. Если область определения несимметрична, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Найдём область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$, следовательно, $x \ge -1$.

Область определения $D(y) = [-1; +\infty)$.

Эта область не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=3$ принадлежит области определения, в то время как точка $-x=-3$ ей не принадлежит.

Поскольку область определения функции несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

б) $y = \frac{x-2}{x^2 - 1}$

1. Найдём область определения функции $D(y)$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \ne 0$, откуда $x^2 \ne 1$, то есть $x \ne \pm 1$.

Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Так как область определения симметрична, проверим выполнение условий чётности или нечётности. Для этого найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{(-x)-2}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x - 2}{x^2 - 1}$.

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:

$y(-x) = \frac{-x - 2}{x^2 - 1} \ne y(x) = \frac{x-2}{x^2-1}$. Равенство не выполняется, значит, функция не является чётной.

Сравним $y(-x)$ с $-y(x)$:

$-y(x) = -\frac{x-2}{x^2-1} = \frac{2-x}{x^2-1}$.

$y(-x) = \frac{-x - 2}{x^2 - 1} \ne -y(x) = \frac{2-x}{x^2-1}$. Равенство не выполняется, значит, функция не является нечётной.

Следовательно, функция является функцией общего вида.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

в) $y = \sqrt{x - 5}$

Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 5 \ge 0$, следовательно, $x \ge 5$.

Область определения $D(y) = [5; +\infty)$.

Эта область не является симметричной относительно нуля. Например, $x=6$ принадлежит области определения, а $-x=-6$ не принадлежит.

Так как область определения функции несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

г) $y = \frac{x+2}{x^2 - 16}$

1. Найдём область определения функции $D(y)$. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 - 16 \ne 0$, откуда $x^2 \ne 16$, то есть $x \ne \pm 4$.

Область определения $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Поскольку область определения симметрична, найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{(-x)+2}{(-x)^2 - 16} = \frac{-x + 2}{x^2 - 16}$.

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:

$y(-x) = \frac{-x+2}{x^2-16} \ne y(x) = \frac{x+2}{x^2-16}$. Равенство не выполняется, так как, например, для $x=1$ значения различны. Функция не является чётной.

Сравним $y(-x)$ с $-y(x)$:

$-y(x) = -\frac{x+2}{x^2-16} = \frac{-x-2}{x^2-16}$.

$y(-x) = \frac{-x+2}{x^2-16} \ne -y(x) = \frac{-x-2}{x^2-16}$. Равенство не выполняется. Функция не является нечётной.

Таким образом, данная функция является функцией общего вида.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

11.21 a) $y = 4x - 2x^3 + 6x^5;$

Б) $y = \frac{x - 2}{x^2 + 4};$

В) $y = \sqrt{x};$

Г) $y = \frac{x^2 + 8}{x^2 - 9}.$

а) Данная функция $y = 4x - 2x^3 + 6x^5$ является многочленом (полиномом). Область определения любого многочлена — это все действительные числа, так как для любого действительного значения $x$ можно вычислить соответствующее значение $y$. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, здесь нет.
Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Данная функция $y = \frac{x-2}{x^2+4}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2 + 4$ равен нулю:
$x^2 + 4 = 0$
$x^2 = -4$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Значит, знаменатель никогда не равен нулю.
Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Данная функция $y = \sqrt{x}$ содержит арифметический квадратный корень. Область определения такой функции ограничена условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
В данном случае подкоренное выражение — это $x$. Следовательно, должно выполняться неравенство:
$x \ge 0$
Это означает, что область определения функции — это все неотрицательные действительные числа.
Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

г) Данная функция $y = \frac{x^2+8}{x^2-9}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2 - 9$ равен нулю:
$x^2 - 9 = 0$
Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x-3)(x+3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$
$x = 3$ или $x = -3$
Следовательно, значения $x = 3$ и $x = -3$ не входят в область определения функции, так как при них происходит деление на ноль.
Область определения — это все действительные числа, кроме -3 и 3.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

11.22 Представьте функцию $y = f(x)$, где $f(x) = 4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5$ в виде суммы чётной и нечётной функций.

Любая функция $f(x)$, определенная на симметричной относительно начала координат области определения, может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций.

Пусть $f(x) = g(x) + h(x)$, где $g(x)$ — это четная составляющая, а $h(x)$ — нечетная. Их можно найти по следующим формулам:

• Четная часть: $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$
• Нечетная часть: $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Дана функция $f(x) = 4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5$.

1. Найдем значение $f(-x)$

Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в исходное выражение для функции: $f(-x) = 4(-x)^4 - (-x)^3 + 2(-x)^2 - (-x) + 5$
$f(-x) = 4x^4 - (-x^3) + 2x^2 + x + 5$
$f(-x) = 4x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 5$

2. Найдем четную составляющую $g(x)$

Используем формулу для четной части: $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{(4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5) + (4x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 5)}{2}$
Сгруппируем и сократим подобные члены в числителе: $g(x) = \frac{4x^4 + 4x^4 - x^3 + x^3 + 2x^2 + 2x^2 - x + x + 5 + 5}{2}$
$g(x) = \frac{8x^4 + 4x^2 + 10}{2}$
$g(x) = 4x^4 + 2x^2 + 5$

3. Найдем нечетную составляющую $h(x)$

Используем формулу для нечетной части: $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{(4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5) - (4x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 5)}{2}$
Раскроем скобки и сократим подобные члены в числителе: $h(x) = \frac{4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5 - 4x^4 - x^3 - 2x^2 - x - 5}{2}$
$h(x) = \frac{-x^3 - x^3 - x - x}{2}$
$h(x) = \frac{-2x^3 - 2x}{2}$
$h(x) = -x^3 - x$

4. Представим функцию в виде суммы

Теперь мы можем представить исходную функцию $y = f(x)$ как сумму найденных четной и нечетной функций $g(x)$ и $h(x)$: $y = g(x) + h(x) = (4x^4 + 2x^2 + 5) + (-x^3 - x)$

Ответ: $y = (4x^4 + 2x^2 + 5) + (-x^3 - x)$.