Страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Расскажите, в чём суть метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными.

Метод подстановки — это один из основных способов решения систем уравнений. Его суть заключается в том, чтобы свести систему из двух уравнений с двумя неизвестными к одному уравнению с одним неизвестным. Это достигается за счет следующих шагов:

1. Выражение переменной. Из одного из уравнений системы (любого, но лучше выбирать наиболее простое) выражают одну переменную через другую. Например, из уравнения $x + 2y = 5$ можно выразить $x$ как $x = 5 - 2y$, или $y$ как $y = (5 - x) / 2$. Проще всего выражать ту переменную, у которой коэффициент равен $1$ или $-1$.
2. Подстановка. Полученное на первом шаге выражение подставляют во второе уравнение системы вместо той переменной, которую выражали. Это "устраняет" одну из переменных, и в результате получается уравнение только с одной неизвестной.
3. Решение уравнения с одной переменной. Решают полученное на втором шаге уравнение и находят значение оставшейся переменной.
4. Нахождение второй переменной. Найденное значение подставляют в выражение, полученное на первом шаге, и вычисляют значение второй переменной.
5. Запись ответа. Решением системы является пара значений переменных $(x; y)$.

Пример:

Рассмотрим решение системы уравнений методом подстановки:

$\begin{cases} 3x - y = 8 \\ 5x + 2y = 9 \end{cases}$

1. Из первого уравнения удобно выразить переменную $y$, так как её коэффициент равен $-1$:
   $ -y = 8 - 3x $
   $ y = 3x - 8 $
2. Теперь подставим полученное выражение $3x - 8$ вместо $y$ во второе уравнение системы:
   $ 5x + 2(3x - 8) = 9 $
3. Решим получившееся уравнение с одной переменной $x$:
   $ 5x + 6x - 16 = 9 $
   $ 11x = 9 + 16 $
   $ 11x = 25 $
   $ x = \frac{25}{11} $
4. Теперь, когда мы нашли $x$, подставим это значение в выражение для $y$ из первого шага:
   $ y = 3x - 8 = 3 \cdot \frac{25}{11} - 8 $
   $ y = \frac{75}{11} - \frac{88}{11} $
   $ y = -\frac{13}{11} $
5. Решение системы — это пара чисел $(\frac{25}{11}; -\frac{13}{11})$.

Ответ: Суть метода подстановки заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую, затем подставить это выражение во второе уравнение, что позволяет свести систему к одному уравнению с одной переменной, найти её значение, а затем, вернувшись к выражению, найти значение второй переменной.

2. Опишите алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки на примере решения системы

$\begin{cases} x + 3y = 5, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}$

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

1. Из одного (как правило, более простого) уравнения системы выразить одну переменную через другую.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение в другое уравнение системы. В результате этих действий получится уравнение с одной переменной.
3. Решить полученное уравнение и найти его корень (или корни).
4. Подставить каждое из найденных на третьем шаге значений переменной в выражение, полученное на первом шаге, и вычислить соответствующее значение второй переменной.
5. Записать ответ в виде пар значений $(x; y)$, которые являются решениями системы.

Пример решения системы методом подстановки

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + 3y = 5 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую.

В первом уравнении $x + 3y = 5$ коэффициент при переменной $x$ равен 1, поэтому удобнее всего выразить именно ее:

$x = 5 - 3y$

Шаг 2: Подстановка выражения в другое уравнение.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 25$:

$(5 - 3y)^2 + y^2 = 25$

Шаг 3: Решение полученного уравнения.

Мы получили уравнение с одной переменной $y$. Решим его. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3y + (3y)^2 + y^2 = 25$

$25 - 30y + 9y^2 + y^2 = 25$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$10y^2 - 30y + 25 - 25 = 0$

$10y^2 - 30y = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $10y$ за скобки:

$10y(y - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$10y = 0$ или $y - 3 = 0$

Из которых находим два значения для $y$:

$y_1 = 0$

$y_2 = 3$

Шаг 4: Нахождение значений второй переменной.

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение из шага 1: $x = 5 - 3y$.

Для $y_1 = 0$:

$x_1 = 5 - 3 \cdot 0 = 5$

Первое решение системы: $(5; 0)$.

Для $y_2 = 3$:

$x_2 = 5 - 3 \cdot 3 = 5 - 9 = -4$

Второе решение системы: $(-4; 3)$.

Шаг 5: Запись ответа.

Система имеет два решения.

Ответ: $(5; 0)$, $(-4; 3)$.

3. Расскажите, в чём суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными.

Метод алгебраического сложения (или метод сложения) — это способ решения систем уравнений, основной идеей которого является исключение одной из переменных. Это достигается путем сложения или вычитания уравнений системы друг с другом после их предварительного преобразования.

Рассмотрим алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ методом алгебраического сложения:

$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $

• 1. Преобразование уравнений. Умножаем одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных (например, при $y$) стали противоположными числами. То есть, если в одном уравнении есть член $B_1y$, то нужно добиться, чтобы в другом уравнении был член $-B_1y$.
• 2. Сложение уравнений. Складываем левые и правые части преобразованных уравнений. Так как коэффициенты при одной из переменных противоположны, эта переменная взаимно уничтожается (ее сумма равна нулю). В результате мы получаем одно линейное уравнение с одной переменной.
• 3. Решение полученного уравнения. Решаем простое уравнение, полученное на втором шаге, и находим значение одной переменной.
• 4. Нахождение второй переменной. Подставляем найденное на третьем шаге значение переменной в любое из исходных уравнений системы.
• 5. Завершение решения. Решаем полученное уравнение и находим значение второй переменной.
• 6. Запись ответа. Решение системы записывается в виде упорядоченной пары чисел $(x; y)$.

Пример:

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} $

Шаг 1. Чтобы исключить переменную $y$, нужно, чтобы коэффициенты при ней стали противоположными. Сейчас они равны $-3$ и $2$. Наименьшее общее кратное для 3 и 2 равно 6. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 1 & | \cdot 2 \\ 3x + 2y = 5 & | \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x - 6y = 2 \\ 9x + 6y = 15 \end{cases} $

Теперь коэффициенты при $y$ являются противоположными числами: $-6$ и $6$.

Шаг 2. Сложим почленно левые и правые части полученных уравнений:

$(8x - 6y) + (9x + 6y) = 2 + 15$

$17x = 17$

Шаг 3. Решим это уравнение:

$x = \frac{17}{17} \implies x = 1$

Шаг 4. Подставим найденное значение $x=1$ во второе исходное уравнение $3x + 2y = 5$:

$3 \cdot 1 + 2y = 5$

Шаг 5. Решим уравнение и найдем $y$:

$3 + 2y = 5$

$2y = 5 - 3$

$2y = 2$

$y = 1$

Шаг 6. Решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: Суть метода алгебраического сложения состоит в преобразовании уравнений системы таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Почленное сложение этих уравнений приводит к исключению данной переменной и получению одного уравнения с одной неизвестной. Последовательное нахождение значений переменных дает решение системы.

4. Прокомментируйте метод алгебраического сложения на примере решения системы:

а) $\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 4x - 3y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 3x - y = 5. \end{cases}$

Метод алгебраического сложения (или метод сложения) используется для решения систем линейных уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы сложить или вычесть уравнения системы с целью исключения одной из переменных. В результате получается одно уравнение с одной неизвестной, которое легко решается. После нахождения одной переменной, её значение подставляется в любое из исходных уравнений для нахождения второй переменной.

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7, \\4x - 3y = 5.\end{cases}$$

1. Анализируем коэффициенты при переменных. В данной системе коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$). Это идеальный случай для применения метода сложения, так как при сложении уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится.

2. Складываем уравнения почленно. Складываем левые части уравнений и правые части уравнений:

$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$

Приводим подобные слагаемые:

$2x + 4x + 3y - 3y = 12$

$6x = 12$

3. Решаем полученное уравнение с одной переменной.

$x = \frac{12}{6}$

$x = 2$

4. Находим вторую переменную. Подставляем найденное значение $x = 2$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$2(2) + 3y = 7$

$4 + 3y = 7$

$3y = 7 - 4$

$3y = 3$

$y = 1$

5. Проверяем решение (необязательно, но рекомендуется). Подставляем найденные значения $x=2$ и $y=1$ во второе уравнение:

$4(2) - 3(1) = 8 - 3 = 5$. Равенство верное.

Таким образом, решение системы найдено верно.

Ответ: $(2; 1)$

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7, \\3x - y = 5.\end{cases}$$

1. Анализируем коэффициенты при переменных. В этой системе нет переменных с противоположными коэффициентами. Чтобы использовать метод сложения, нужно преобразовать одно из уравнений. Заметим, что коэффициент при $y$ в первом уравнении равен $3$, а во втором $-1$. Если мы умножим второе уравнение на $3$, то коэффициенты при $y$ станут $3$ и $-3$.

2. Умножаем второе уравнение на 3.

$3 \cdot (3x - y) = 3 \cdot 5$

$9x - 3y = 15$

Теперь система имеет вид:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7, \\9x - 3y = 15.\end{cases}$$

3. Складываем уравнения преобразованной системы.

$(2x + 3y) + (9x - 3y) = 7 + 15$

$2x + 9x + 3y - 3y = 22$

$11x = 22$

4. Решаем полученное уравнение.

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

5. Находим вторую переменную. Подставляем найденное значение $x = 2$ в любое из исходных уравнений. Удобнее подставить во второе исходное уравнение:

$3x - y = 5$

$3(2) - y = 5$

$6 - y = 5$

$-y = 5 - 6$

$-y = -1$

$y = 1$

Решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$

5. Расскажите, в чём суть метода введения новых переменных при решении системы двух уравнений с двумя переменными. В каких двух вариантах он применяется? В качестве иллюстрации используйте системы уравнений, решённые в примерах 3 и 4.

Суть метода введения новых переменных при решении системы двух уравнений с двумя переменными состоит в замене некоторых выражений, содержащих исходные переменные (например, $x$ и $y$), на новые (вспомогательные) переменные (например, $a$ и $b$). Цель этой замены — преобразовать исходную сложную систему в более простую, стандартную систему относительно новых переменных. Эту новую систему решают известными методами (например, как линейную или квадратную). После нахождения значений вспомогательных переменных выполняют обратную замену, то есть возвращаются к исходным переменным, и находят их значения.

Метод введения новых переменных применяется в различных ситуациях, но можно выделить два основных варианта:

1. Решение симметричных систем. Система называется симметричной, если она не изменяется при замене переменных местами (т.е. $x$ на $y$ и $y$ на $x$). В таких системах удобно вводить новые переменные для так называемых элементарных симметрических многочленов: $a = x+y$ и $b = xy$.
2. Сведение нелинейной системы к линейной. Если в обоих уравнениях системы повторяются какие-либо сложные выражения (например, дроби, степени, корни), их можно заменить новыми переменными. Часто такая замена позволяет получить простую линейную систему относительно новых переменных, которую легко решить.

В качестве иллюстрации используем системы, аналогичные тем, что решаются в примерах 3 и 4.

Иллюстрация для первого варианта (по типу примера 3)

Рассмотрим симметричную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x+y-xy = 1 \\ (x+y)xy = 6 \end{cases} $$

Введём новые переменные: пусть $a=x+y$ и $b=xy$. Тогда система примет следующий вид:

$$ \begin{cases} a-b=1 \\ ab=6 \end{cases} $$

Это простая система, которую можно решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 1+b$. Подставим во второе уравнение:

$(1+b)b = 6$

$b^2+b-6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1 = -3$ и $b_2 = 2$.

Найдём соответствующие значения $a$:

• Если $b_1 = -3$, то $a_1 = 1+(-3) = -2$.
• Если $b_2 = 2$, то $a_2 = 1+2 = 3$.

Теперь выполним обратную замену для каждой найденной пары $(a, b)$.

Случай 1: $a=-2, b=-3$.

$$ \begin{cases} x+y=-2 \\ xy=-3 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-2)t + (-3) = 0$, то есть $t^2+2t-3=0$. Корни этого уравнения: $t_1=1, t_2=-3$. Таким образом, получаем две пары решений: $(1, -3)$ и $(-3, 1)$.

Случай 2: $a=3, b=2$.

$$ \begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Его корни: $t_1=1, t_2=2$. Получаем ещё две пары решений: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, -3), (-3, 1), (1, 2), (2, 1)$.

Иллюстрация для второго варианта (по типу примера 4)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x-1} + \frac{2}{y+1} = 2 \\ \frac{3}{x-1} - \frac{1}{y+1} = \frac{3}{2} \end{cases} $$

В уравнениях повторяются выражения $\frac{1}{x-1}$ и $\frac{1}{y+1}$. Введём новые переменные: пусть $a=\frac{1}{x-1}$ и $b=\frac{1}{y+1}$.

Получим линейную систему относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a + 2b = 2 \\ 3a - b = \frac{3}{2} \end{cases} $$

Решим эту систему. Умножим второе уравнение на 2, чтобы использовать метод сложения:

$$ \begin{cases} a + 2b = 2 \\ 6a - 2b = 3 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $(a+2b) + (6a-2b) = 2+3$, что даёт $7a=5$, откуда $a=\frac{5}{7}$.

Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$\frac{5}{7} + 2b = 2$

$2b = 2 - \frac{5}{7} = \frac{14-5}{7} = \frac{9}{7}$

$b = \frac{9}{14}$

Теперь выполним обратную замену:

$$ \begin{cases} a = \frac{1}{x-1} = \frac{5}{7} \\ b = \frac{1}{y+1} = \frac{9}{14} \end{cases} \implies \begin{cases} 5(x-1) = 7 \\ 9(y+1) = 14 \end{cases} $$

Решим получившиеся простые линейные уравнения:

• $5x-5=7 \implies 5x=12 \implies x=\frac{12}{5}=2.4$
• $9y+9=14 \implies 9y=5 \implies y=\frac{5}{9}$

Ответ: $(\frac{12}{5}, \frac{5}{9})$.

6. В каком случае две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными?

Две системы двух уравнений с двумя переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что каждая пара значений переменных $(x, y)$, которая является решением первой системы, также является решением и второй системы, и наоборот — любое решение второй системы должно быть решением первой.

Формально, если у нас есть Система 1 с множеством решений $S_1$ и Система 2 с множеством решений $S_2$, то эти системы равносильны тогда и только тогда, когда $S_1 = S_2$. Из этого определения следует, что две системы, не имеющие решений (несовместные системы), также являются равносильными, поскольку их множества решений одинаковы (оба являются пустыми множествами, то есть $S_1 = S_2 = \emptyset$).

Рассмотрим пример.
Система 1: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Решив эту систему (например, методом сложения уравнений), мы находим единственное решение: $x=3, y=2$, или упорядоченная пара $(3, 2)$. Множество решений этой системы — $\{(3, 2)\}$.

Система 2: $$ \begin{cases} 2x + y = 8 \\ x = 3 \end{cases} $$ Подставив $x=3$ из второго уравнения в первое, получаем $2(3) + y = 8$, что дает $6 + y = 8$, и отсюда $y=2$. Эта система также имеет единственное решение $(3, 2)$. Множество решений этой системы — тоже $\{(3, 2)\}$.

Так как множества решений обеих систем совпадают, эти две системы являются равносильными.

Ответ: Две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными в том случае, если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что любое решение одной системы является решением и для другой, и наоборот. В частности, две системы, которые не имеют решений, также считаются равносильными.

12.20 а) $\begin{cases} y = x^4, \\ y = 4 - x^2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^5, \\ y = -2 + 0,5x^2; \end{cases}$

В) $\begin{cases} y = x^6, \\ y = 2 - 3x^2; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} y = x^3, \\ y = x^2 - 6. \end{cases}$

а)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций, приравняем выражения для y:

$y = x^4$

$y = 4 - x^2$

$x^4 = 4 - x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение:

$x^4 + x^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + t - 4 = 0$

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

Корни для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Мы получили два корня:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$

Согласно условию $t \ge 0$, проверим найденные корни. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, корень $t_1 = \frac{\sqrt{17}-1}{2}$ является положительным. Корень $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ является отрицательным, поэтому он не является решением для $t$.

Вернемся к переменной $x$:

$x^2 = t_1 = \frac{\sqrt{17}-1}{2}$

Отсюда находим два значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x^2$ во второе уравнение системы $y = 4 - x^2$:

$y = 4 - \frac{\sqrt{17}-1}{2} = \frac{8 - (\sqrt{17}-1)}{2} = \frac{8 - \sqrt{17} + 1}{2} = \frac{9-\sqrt{17}}{2}$

Таким образом, система имеет два решения (две точки пересечения).

Ответ: $(\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}, \frac{9-\sqrt{17}}{2})$, $(-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}, \frac{9-\sqrt{17}}{2})$.

б)

Приравняем правые части уравнений системы:

$x^5 = -2 + 0,5x^2$

$x^5 - 0,5x^2 + 2 = 0$

Чтобы определить количество решений, исследуем функцию $f(x) = x^5 - 0,5x^2 + 2$. Найдем ее производную:

$f'(x) = 5x^4 - x = x(5x^3 - 1)$

Критические точки функции (где производная равна нулю): $x = 0$ и $x = \sqrt[3]{1/5}$.

Проанализируем знаки производной:

• При $x < 0$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• При $0 < x < \sqrt[3]{1/5}$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• При $x > \sqrt[3]{1/5}$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

Таким образом, $x=0$ является точкой локального максимума, а $x = \sqrt[3]{1/5}$ — точкой локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$f(0) = 0^5 - 0,5 \cdot 0^2 + 2 = 2$

$f(\sqrt[3]{1/5}) = (\sqrt[3]{1/5})^5 - 0,5(\sqrt[3]{1/5})^2 + 2 = 2 - 0,3\sqrt[3]{1/25} > 0$

Поскольку при $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$, а в точке локального максимума $f(0)=2$, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает от $-\infty$ до $2$, пересекая ось абсцисс ровно один раз. На промежутке $[0, +\infty)$ функция сначала убывает от $2$ до положительного значения в точке минимума, а затем возрастает, оставаясь положительной. Таким образом, других корней нет.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень, а система уравнений — одно решение.

Ответ: одно решение.

в)

Приравняем правые части уравнений:

$x^6 = 2 - 3x^2$

$x^6 + 3x^2 - 2 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^3 + 3t - 2 = 0$

Исследуем функцию $f(t) = t^3 + 3t - 2$ для $t \ge 0$. Ее производная:

$f'(t) = 3t^2 + 3$

Поскольку $t^2 \ge 0$, то $f'(t) = 3t^2 + 3 \ge 3 > 0$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей для всех $t$.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Проверим значения функции в точках $t=0$ и $t=1$:

$f(0) = 0^3 + 3(0) - 2 = -2$

$f(1) = 1^3 + 3(1) - 2 = 2$

Поскольку функция непрерывна, строго возрастает и меняет знак на отрезке $[0, 1]$, она имеет ровно один корень $t_0$ на этом отрезке. Этот корень положителен.

Возвращаясь к замене $x^2 = t_0$, получаем два решения для $x$: $x = \sqrt{t_0}$ и $x = -\sqrt{t_0}$.

Следовательно, исходная система имеет два решения.

Ответ: два решения.

г)

Приравняем правые части уравнений:

$x^3 = x^2 - 6$

$x^3 - x^2 + 6 = 0$

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - x^2 + 6$. Найдем ее производную:

$f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2)$

Критические точки: $x = 0$ и $x = 2/3$.

Анализ знаков производной показывает, что $x=0$ — точка локального максимума, а $x=2/3$ — точка локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$f(0) = 0^3 - 0^2 + 6 = 6$

$f(2/3) = (2/3)^3 - (2/3)^2 + 6 = 8/27 - 4/9 + 6 = 6 - 4/27 > 0$

При $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает от $-\infty$ до локального максимума $f(0)=6$. Значит, на этом промежутке есть ровно один корень. На промежутке $[0, +\infty)$ функция сначала убывает от $6$ до положительного значения в точке минимума, а затем возрастает. Таким образом, на этом промежутке корней нет.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень, а система уравнений — одно решение.

Ответ: одно решение.

12.21 Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^4, \text{ если } x < 0; \\ \sqrt{x}, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sqrt{-x}, \text{ если } x < 0; \\ x^5, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} x^6, \text{ если } x \le 1; \\ \frac{1}{x}, \text{ если } x > 1; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} x^7, \text{ если } x < -1; \\ -2 - x, \text{ если } -1 \le x \le 2. \end{cases}$

а) $ y = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $

Построение графика:

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty; 0)$ график совпадает с графиком функции $y=x^4$. Это левая ветвь степенной функции, похожей на параболу, но с более крутыми ветвями. График проходит через точки $(-1, 1)$, $(-2, 16)$ и стремится к точке $(0, 0)$ при $x$, стремящемся к нулю слева.

2. На промежутке $[0; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=\sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

В точке $x=0$ функция непрерывна, так как предел слева $\lim_{x \to 0^-} x^4 = 0$ и значение функции в точке $y(0) = \sqrt{0} = 0$ совпадают. Таким образом, две части графика соединяются в начале координат.

Свойства функции (чтение графика):

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Точки экстремума: $x=0$ — точка минимума, $y_{min} = y(0) = 0$.

Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как, например, $y(-2) = 16$, а $y(2) = \sqrt{2}$.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции состоит из левой ветви функции $y=x^4$ и графика функции $y=\sqrt{x}$, соединенных в точке $(0,0)$. Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$. Функция имеет точку минимума $(0,0)$.

б) $ y = \begin{cases} \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \\ x^5, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty; 0)$ график совпадает с графиком функции $y=\sqrt{-x}$. Этот график симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Oy$. Он проходит через точки $(-1, 1)$, $(-4, 2)$ и стремится к точке $(0, 0)$.

2. На промежутке $[0; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=x^5$. Это правая ветвь степенной функции с нечетным показателем. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(2, 32)$, возрастая очень быстро.

Функция непрерывна в точке $x=0$, поскольку $\lim_{x \to 0^-} \sqrt{-x} = 0$ и $y(0) = 0^5 = 0$. Части графика соединяются в начале координат.

Свойства функции (чтение графика):

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Точки экстремума: $x=0$ — точка минимума, $y_{min} = y(0) = 0$.

Четность/нечетность: функция общего вида. Например, $y(-1) = 1$ и $y(1) = 1$, но $y(-4) = 2$, а $y(4) = 4^5 = 1024$.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции состоит из графика $y=\sqrt{-x}$ для $x<0$ и правой ветви $y=x^5$ для $x \ge 0$. Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$. Точка минимума $(0,0)$.

в) $ y = \begin{cases} x^6, & \text{если } x \le 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases} $

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty; 1]$ график совпадает с графиком функции $y=x^6$. Это степенная функция, проходящая через точки $(0, 0)$, $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

2. На промежутке $(1; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=\frac{1}{x}$. Это часть гиперболы в первой четверти. При $x \to 1^+$ значение $y \to 1$. График проходит через точки $(2, 1/2)$, $(4, 1/4)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.

Функция непрерывна в точке $x=1$, так как $y(1) = 1^6 = 1$ и $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$. Части графика соединяются в точке $(1, 1)$.

Свойства функции (чтение графика):

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и на $(1; +\infty)$; возрастает на $[0; 1]$.

Точки экстремума: $x=0$ — точка минимума, $y_{min} = 0$; $x=1$ — точка максимума, $y_{max} = 1$.

Четность/нечетность: функция общего вида. Например, $y(-2) = (-2)^6=64$, а $y(2)=1/2$.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График состоит из части кривой $y=x^6$ при $x \le 1$ и части гиперболы $y=1/x$ при $x>1$. Функция имеет точку минимума $(0,0)$ и точку максимума $(1,1)$.

г) $ y = \begin{cases} x^7, & \text{если } x < -1 \\ -2-x, & \text{если } -1 \le x \le 2 \end{cases} $

Построение графика:

График состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty; -1)$ график совпадает с левой ветвью функции $y=x^7$. Это кривая, проходящая через третью координатную четверть. При $x \to -1^-$ значение $y \to (-1)^7 = -1$. Точка $(-2, -128)$ лежит на этой части графика.

2. На отрезке $[-1; 2]$ график является отрезком прямой $y=-2-x$. Это прямая с угловым коэффициентом $-1$. Концевые точки отрезка: $y(-1)=-2-(-1)=-1$ (точка $(-1,-1)$) и $y(2)=-2-2=-4$ (точка $(2,-4)$).

Функция непрерывна в точке $x=-1$, так как $\lim_{x \to -1^-} x^7 = -1$ и $y(-1) = -1$. Части графика соединяются в точке $(-1, -1)$.

Свойства функции (чтение графика):

Область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$.

Область значений: На $(-\infty; -1)$ значения функции от $-\infty$ до $-1$. На $[-1; 2]$ значения от $-4$ до $-1$. Объединяя, получаем $E(y) = (-\infty; -1]$.

Нули функции: нет, так как $y \le -1$ для всех $x$ из области определения.

Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ на всей области определения $(-\infty; 2]$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и убывает на $[-1; 2]$.

Точки экстремума: $x=-1$ — точка максимума, $y_{max} = -1$. Глобального минимума нет. На правом конце области определения в точке $x=2$ достигается локальный минимум $y(2)=-4$.

Четность/нечетность: функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно нуля.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График состоит из части кривой $y=x^7$ при $x<-1$ и отрезка прямой $y=-2-x$ от $x=-1$ до $x=2$. Область определения $(-\infty; 2]$, область значений $(-\infty; -1]$. Функция имеет точку максимума $(-1, -1)$.

12.22 Чему равно $n$, если известно, что график степенной функции $y = x^n$ проходит через заданную точку:

a) (2; 256);

б) (-2; -128);

в) (3; 243);

г) (-4; 256)?

Чтобы найти значение $n$, мы подставим координаты $x$ и $y$ каждой точки в уравнение степенной функции $y = x^n$ и решим полученное уравнение относительно $n$.

а) График проходит через точку $(2; 256)$.

Подставляем $x = 2$ и $y = 256$ в уравнение функции:

$256 = 2^n$

Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 256. Мы знаем, что $2^8 = 256$.

Следовательно, $n=8$.

Ответ: $n = 8$.

б) График проходит через точку $(-2; -128)$.

Подставляем $x = -2$ и $y = -128$ в уравнение функции:

$-128 = (-2)^n$

Поскольку отрицательное основание $(-2)$ возводится в степень и результат $(-128)$ также отрицательный, показатель степени $n$ должен быть нечетным числом. Найдем степень, для которой $2^n = 128$. Мы знаем, что $2^7 = 128$.

Проверим $n=7$: $(-2)^7 = -128$. Равенство выполняется.

Следовательно, $n=7$.

Ответ: $n = 7$.

в) График проходит через точку $(3; 243)$.

Подставляем $x = 3$ и $y = 243$ в уравнение функции:

$243 = 3^n$

Найдем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 243. Посчитаем степени тройки: $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243$.

Следовательно, $n=5$.

Ответ: $n = 5$.

г) График проходит через точку $(-4; 256)$.

Подставляем $x = -4$ и $y = 256$ в уравнение функции:

$256 = (-4)^n$

Поскольку отрицательное основание $(-4)$ возводится в степень, а результат $(256)$ положительный, показатель степени $n$ должен быть четным числом. Найдем степень, для которой $4^n = 256$. Мы знаем, что $4^4 = 256$.

Проверим $n=4$: $(-4)^4 = 256$. Равенство выполняется.

Следовательно, $n=4$.

Ответ: $n = 4$.

12.23 Исследуйте степенную функцию $y = x^n$ на чётность и ограниченность, если известно, что её график проходит через заданную точку:

a) $(-1; 1);$

б) $(-1; -1);$

в) $(1; 1);$

г) $(1; -1).$

Для исследования степенной функции $y = x^n$ на чётность и ограниченность, мы будем использовать информацию о точке, через которую проходит её график. Сначала определим, какие ограничения накладывает заданная точка на показатель степени $n$, а затем проанализируем свойства функции.

Напомним определения:

• Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Для степенной функции $y=x^n$ (при целочисленном $n$) это означает, что $n$ — чётное число.
• Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Для степенной функции $y=x^n$ (при целочисленном $n$) это означает, что $n$ — нечётное число.
• Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что $f(x) \ge m$ для всех $x$.
• Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что $f(x) \le M$ для всех $x$.
• Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

а) (-1; 1)

Подставим координаты точки $(-1; 1)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$1 = (-1)^n$
Это равенство справедливо только в том случае, если показатель степени $n$ является чётным целым числом (например, $n = -4, -2, 0, 2, 4, \dots$).

Исследование на чётность:
Поскольку $n$ — чётное целое число, функция $y=x^n$ является чётной. Проверим по определению: $y(-x) = (-x)^n = x^n = y(x)$.

Исследование на ограниченность:
Рассмотрим различные случаи для чётного целого $n$:

• Если $n$ — положительное чётное число ($n=2, 4, \dots$), то значения функции $y=x^n$ всегда неотрицательны ($y \ge 0$). График представляет собой параболоид, симметричный относительно оси Oy. Область значений: $[0; +\infty)$. Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.
• Если $n=0$, то функция имеет вид $y = x^0 = 1$ (при $x \ne 0$). Область значений состоит из одного числа $\{1\}$. Функция ограничена и снизу, и сверху.
• Если $n$ — отрицательное чётное число ($n=-2, -4, \dots$), то $y = x^n = \frac{1}{x^{-n}}$. Поскольку $-n$ — положительное чётное число, знаменатель всегда положителен. Значит, $y > 0$. Область значений: $(0; +\infty)$. Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху (значения стремятся к $+\infty$ при $x \to 0$).

В общем случае для любого чётного целого $n$ функция $y=x^n$ будет ограничена снизу.
Ответ: функция является чётной и ограниченной снизу.

б) (-1; -1)

Подставим координаты точки $(-1; -1)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$-1 = (-1)^n$
Это равенство справедливо только в том случае, если показатель степени $n$ является нечётным целым числом (например, $n = -3, -1, 1, 3, 5, \dots$).

Исследование на чётность:
Поскольку $n$ — нечётное целое число, функция $y=x^n$ является нечётной. Проверим по определению: $y(-x) = (-x)^n = -x^n = -y(x)$.

Исследование на ограниченность:
Рассмотрим различные случаи для нечётного целого $n$:

• Если $n$ — положительное нечётное число ($n=1, 3, \dots$), то область значений функции — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
• Если $n$ — отрицательное нечётное число ($n=-1, -3, \dots$), то область значений функции — $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция также не ограничена ни снизу, ни сверху.

Во всех случаях функция не является ограниченной.
Ответ: функция является нечётной и не является ограниченной.

в) (1; 1)

Подставим координаты точки $(1; 1)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$1 = 1^n$
Это равенство справедливо для любого действительного числа $n$. Это означает, что данное условие не накладывает никаких ограничений на показатель степени $n$.

Исследование на чётность:
Поскольку $n$ может быть любым числом, определить чётность функции невозможно.

• Если $n=2$ (чётное), функция $y=x^2$ чётная.
• Если $n=3$ (нечётное), функция $y=x^3$ нечётная.
• Если $n=0.5$, функция $y=x^{0.5}=\sqrt{x}$ не является ни чётной, ни нечётной (её область определения $[0; +\infty)$ несимметрична относительно нуля).

Таким образом, сделать однозначный вывод о чётности нельзя.

Исследование на ограниченность:
Аналогично, определить ограниченность функции невозможно.

• Если $n=2$, функция ограничена снизу.
• Если $n=3$, функция не ограничена.
• Если $n=0$, функция $y=x^0=1$ ограничена.
• Если $n=-2$, функция ограничена снизу.

Так как возможны разные варианты, сделать однозначный вывод об ограниченности нельзя.
Ответ: по имеющимся данным определить чётность и ограниченность функции невозможно.

г) (1; -1)

Подставим координаты точки $(1; -1)$ в уравнение функции $y = x^n$:
$-1 = 1^n$
Для любого действительного числа $n$ значение выражения $1^n$ равно $1$. Таким образом, мы получаем неверное равенство:
$-1 = 1$
Это означает, что не существует степенной функции вида $y=x^n$, график которой проходит через точку $(1; -1)$. Следовательно, исследование свойств такой функции невозможно.
Ответ: степенной функции $y=x^n$, проходящей через данную точку, не существует.

12.24 Пусть $P$ — наибольшее значение функции $y = (x + 2)^5$ на отрезке $[-3; -1]$, а $Q$ — наименьшее значение функции $y = \sqrt{x}$ на луче $[0; +\infty)$. Что больше: $P$ или $Q$? Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение P

Требуется найти наибольшее значение функции $y = (x + 2)^5$ на отрезке $[-3; -1]$.
Наибольшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

1. Найдем производную функции, чтобы определить критические точки.
$y' = ((x+2)^5)' = 5(x+2)^4 \cdot (x+2)' = 5(x+2)^4$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
$5(x+2)^4 = 0$
$x+2 = 0$
$x = -2$.
Критическая точка $x = -2$ принадлежит заданному отрезку $[-3; -1]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.
- Значение на левом конце отрезка, при $x = -3$:
$y(-3) = (-3 + 2)^5 = (-1)^5 = -1$.
- Значение в критической точке, при $x = -2$:
$y(-2) = (-2 + 2)^5 = 0^5 = 0$.
- Значение на правом конце отрезка, при $x = -1$:
$y(-1) = (-1 + 2)^5 = 1^5 = 1$.

Сравнивая полученные значения $\{-1, 0, 1\}$, выбираем наибольшее. Наибольшее значение равно 1.
Следовательно, $P$ — наибольшее значение функции на отрезке — равно 1.

Ответ: $P = 1$.

Нахождение Q

Требуется найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x}$ на луче $[0; +\infty)$.

1. Проанализируем поведение функции.
Функция $y = \sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$, что совпадает с заданным лучом.
Найдем производную функции: $y' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
На интервале $(0; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения $[0; +\infty)$.

2. Найдем наименьшее значение.
Поскольку функция монотонно возрастает, свое наименьшее значение она принимает в начальной точке луча, то есть при $x=0$.
Вычислим это значение: $y(0) = \sqrt{0} = 0$.
Следовательно, $Q$ — наименьшее значение функции на луче — равно 0.

Ответ: $Q = 0$.

Сравнение P и Q

Мы получили значения $P = 1$ и $Q = 0$.
Сравнивая их, видим, что $1 > 0$.
Таким образом, $P > Q$.

Ответ: $P > Q$.

Графическая иллюстрация

На приведенном ниже графике показаны обе функции.
- График функции $y=(x+2)^5$ изображен синим цветом. Отрезок, на котором ищется наибольшее значение (от $x=-3$ до $x=-1$), выделен жирной линией. Точка A(-1, 1) является точкой максимума на этом отрезке, ее ордината дает значение $P=1$.
- График функции $y=\sqrt{x}$ изображен красным цветом. Точка B(0, 0) является точкой минимума на луче $[0; +\infty)$, ее ордината дает значение $Q=0$.

12.25 Пусть $K$ — наибольшее значение функции $y = x^{361}$ на луче $(-\infty; 0]$,

а $L$ — наименьшее значение функции $y = x^{1002}$ на отрезке $[-5; 5]$. Не

выполняя построения, ответьте на вопрос, что больше: $K$ или $L$?

Найдем значение K

Нам нужно найти наибольшее значение функции $y = x^{361}$ на луче $(-\infty; 0]$. Показатель степени $361$ является нечетным числом. Степенная функция с нечетным натуральным показателем является возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$. На луче $(-\infty; 0]$ наибольшее значение аргумента $x$ равно $0$. Следовательно, наибольшее значение функции достигается при $x = 0$: $K = 0^{361} = 0$.

Ответ: $K = 0$.

Найдем значение L

Нам нужно найти наименьшее значение функции $y = x^{1002}$ на отрезке $[-5; 5]$. Показатель степени $1002$ является четным числом. Степенная функция с четным натуральным показателем всегда принимает неотрицательные значения, то есть $y = x^{1002} \ge 0$ для любого $x$. Самое меньшее значение, которое может принять данная функция, равно нулю. Это значение достигается при $x = 0$. Поскольку точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-5; 5]$, то наименьшее значение функции на этом отрезке будет именно в этой точке. Следовательно, $L = 0^{1002} = 0$.

Ответ: $L = 0$.

Сравним K и L

Мы получили, что $K = 0$ и $L = 0$. Таким образом, $K = L$. На вопрос "что больше: K или L?" можно ответить, что эти значения равны.

Ответ: значения K и L равны.