Страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

На изображении указана тема, а не конкретная задача. Ниже представлено развернутое объяснение этой темы.

Уравнения с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ — это равенство вида $F(x, y) = 0$, где $F(x, y)$ — это выражение, содержащее переменные $x$ и $y$.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Примеры:

1. Линейное уравнение. Его общий вид: $ax + by + c = 0$. Графиком такого уравнения является прямая линия.
Например, рассмотрим уравнение $x - 2y + 4 = 0$.
Для построения графика найдем координаты двух точек, удовлетворяющих уравнению.
Если $x = 0$, то $0 - 2y + 4 = 0 \implies -2y = -4 \implies y = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
Если $y = 0$, то $x - 2(0) + 4 = 0 \implies x = -4$. Получаем точку $(-4, 0)$.
Проведя прямую через эти две точки, мы получим график данного уравнения.

2. Уравнение окружности. Его общий вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Графиком является окружность с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$.
Например, уравнение $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$ задает на плоскости окружность с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Уравнение с двумя переменными задает определенную линию на координатной плоскости. Решением уравнения является любая пара чисел $(x, y)$, соответствующая координатам точки на этой линии.

Неравенства с двумя переменными

Неравенство с двумя переменными $x$ и $y$ — это неравенство одного из следующих видов: $F(x, y) > 0$, $F(x, y) < 0$, $F(x, y) \ge 0$ или $F(x, y) \le 0$.

Решением неравенства с двумя переменными также является упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в неравенство обращает его в верное числовое неравенство.

Множество всех решений неравенства с двумя переменными, как правило, представляет собой некоторую область (часть плоскости) на координатной плоскости.

Алгоритм построения множества решений (графический метод):

1. Заменить в неравенстве знак неравенства на знак равенства, чтобы получить уравнение границы $F(x, y) = 0$.
2. Построить график этого уравнения. Если исходное неравенство строгое ($>$ или <), то граница изображается пунктирной линией. Если нестрогое ($\ge$ или $\le$), то сплошной.
3. Полученная линия разбивает координатную плоскость на несколько областей.
4. Выбрать в любой из областей произвольную "пробную" точку (не лежащую на границе) и подставить ее координаты в исходное неравенство.
5. Если в результате подстановки получилось верное числовое неравенство, то вся область, в которой находится пробная точка, является множеством решений неравенства. Эту область следует заштриховать. Если неравенство неверно, то решением является другая область (или области).

Примеры:

1. Линейное неравенство. Решим неравенство $y > 2x - 1$.
1. Уравнение границы: $y = 2x - 1$. Это прямая.
2. Неравенство строгое ($>$), поэтому рисуем прямую пунктиром.
3. Прямая делит плоскость на две полуплоскости.
4. Возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$.
5. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $0 > 2(0) - 1 \implies 0 > -1$. Это верное неравенство.
Следовательно, решением является та полуплоскость, в которой лежит точка $(0, 0)$, то есть область, расположенная выше прямой $y = 2x - 1$.

2. Квадратичное неравенство. Решим неравенство $x^2 + y^2 \le 25$.
1. Уравнение границы: $x^2 + y^2 = 25$. Это окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=5$.
2. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому рисуем окружность сплошной линией.
3. Окружность делит плоскость на две области: внутреннюю (круг) и внешнюю.
4. Возьмем пробную точку внутри окружности, например, ее центр $(0, 0)$.
5. Подставим: $0^2 + 0^2 \le 25 \implies 0 \le 25$. Это верное неравенство.
Следовательно, решением является круг, ограниченный данной окружностью, включая саму окружность.

Ответ: Неравенство с двумя переменными задает область на координатной плоскости. Решением является множество всех пар чисел $(x, y)$, соответствующих координатам точек в этой области (включая или не включая границу).

2. Решение систем уравнений методом подстановки.

Метод подстановки — это один из основных алгебраических способов решения систем уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую, а затем подставить полученное выражение в другое уравнение. Это действие позволяет уменьшить количество переменных в одном из уравнений и свести задачу к решению более простого уравнения с одной неизвестной.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки

1. Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую. Желательно выбирать то уравнение, где это сделать проще (например, где коэффициент при одной из переменных равен $1$ или $-1$).
2. Подставить полученное на первом шаге выражение в другое уравнение системы вместо соответствующей переменной. В результате получится уравнение с одной переменной.
3. Решить полученное уравнение и найти значение этой переменной.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение в выражение, полученное на первом шаге, и вычислить значение второй переменной.
5. Записать ответ в виде пары чисел $(x; y)$, которая является решением системы. Если решений несколько, записать все пары.

Пример 1: Решение системы линейных уравнений

Рассмотрим систему уравнений:

1. Выразим одну переменную через другую.

В первом уравнении $2x + y = 7$ легко выразить переменную $y$, так как ее коэффициент равен 1:

$y = 7 - 2x$

2. Подставим полученное выражение во второе уравнение.

Подставляем выражение $7 - 2x$ вместо $y$ во второе уравнение $4x - 3y = 1$:

$4x - 3(7 - 2x) = 1$

3. Решим полученное уравнение с одной переменной.

Раскроем скобки и найдем значение $x$:

$4x - 21 + 6x = 1$

$10x - 21 = 1$

$10x = 22$

$x = \frac{22}{10} = 2.2$

4. Найдем значение второй переменной.

Теперь подставим найденное значение $x = 2.2$ в выражение для $y$, которое мы получили на первом шаге: $y = 7 - 2x$.

$y = 7 - 2 \cdot 2.2 = 7 - 4.4 = 2.6$

5. Запишем ответ.

Решением системы является пара чисел $(2.2; 2.6)$.

Ответ: $(2.2; 2.6)$.

Пример 2: Решение системы нелинейных уравнений

Рассмотрим систему, где одно из уравнений не является линейным:

1. Выразим одну переменную через другую.

Из первого, линейного, уравнения $x - y = 1$ удобно выразить $x$:

$x = y + 1$

2. Подставим полученное выражение во второе уравнение.

Подставляем выражение $y+1$ вместо $x$ во второе уравнение $x^2 + 2y = 33$:

$(y + 1)^2 + 2y = 33$

3. Решим полученное уравнение с одной переменной.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(y^2 + 2y + 1) + 2y = 33$

Приведем подобные слагаемые и получим стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 4y + 1 - 33 = 0$

$y^2 + 4y - 32 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-32$, а сумма равна $-4$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -8$.

Или через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$

$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

4. Найдем значения второй переменной.

Мы получили два значения для $y$. Для каждого из них найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = y + 1$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 4 + 1 = 5$.

Если $y_2 = -8$, то $x_2 = -8 + 1 = -7$.

5. Запишем ответ.

Система имеет два решения: $(5; 4)$ и $(-7; -8)$.

Ответ: $(5; 4), (-7; -8)$.

3. Решение систем уравнений методом алгебраического сложения.

Метод алгебраического сложения является одним из способов решения систем линейных уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы путем сложения или вычитания уравнений системы исключить одну из переменных, получив таким образом уравнение с одной неизвестной.

Алгоритм решения систем уравнений методом алгебраического сложения:

1. Умножить одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами (например, $3y$ и $-3y$).
2. Сложить левые и правые части уравнений. В результате этого действия одна из переменных исчезнет.
3. Решить полученное простое уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений системы.
5. Решить полученное уравнение и найти значение второй переменной.
6. Записать ответ в виде пары чисел $(x; y)$.

Примеры:

а) Решить систему уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x - 3y = 5\end{cases}$$

В данной системе коэффициенты при переменной $y$ уже являются противоположными числами ($3$ и $-3$). Поэтому первый шаг алгоритма выполнять не нужно. Сразу перейдем к сложению уравнений.

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$6x = 12$

Решим полученное уравнение:

$x = \frac{12}{6}$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x = 2$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$2(2) + 3y = 7$

$4 + 3y = 7$

$3y = 7 - 4$

$3y = 3$

$y = 1$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

б) Решить систему уравнений:

$$\begin{cases}5x - 2y = 11 \\4x + 3y = 22\end{cases}$$

В этой системе нет переменных с одинаковыми или противоположными коэффициентами. Воспользуемся первым шагом алгоритма. Уравняем по модулю коэффициенты при переменной $y$. Для этого умножим первое уравнение на $3$, а второе на $2$.

$$\begin{cases}(5x - 2y) \cdot 3 = 11 \cdot 3 \\(4x + 3y) \cdot 2 = 22 \cdot 2\end{cases}$$

Получим новую систему, равносильную исходной:

$$\begin{cases}15x - 6y = 33 \\8x + 6y = 44\end{cases}$$

Теперь коэффициенты при $y$ — это $-6$ и $6$. Сложим уравнения:

$(15x - 6y) + (8x + 6y) = 33 + 44$

$23x = 77$

$x = \frac{77}{23}$

$x = 3 \frac{8}{23}$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной системы (в него подставлять удобнее):

$4 \cdot (\frac{77}{23}) + 3y = 22$

$\frac{308}{23} + 3y = 22$

$3y = 22 - \frac{308}{23}$

$3y = \frac{22 \cdot 23}{23} - \frac{308}{23}$

$3y = \frac{506 - 308}{23}$

$3y = \frac{198}{23}$

$y = \frac{198}{23 \cdot 3}$

$y = \frac{66}{23}$

$y = 2 \frac{20}{23}$

Решение системы — пара чисел $(\frac{77}{23}; \frac{66}{23})$.

Ответ: $(\frac{77}{23}; \frac{66}{23})$.

Метод введения новых переменных является одним из эффективных способов решения сложных систем уравнений, особенно нелинейных. Суть метода заключается в том, чтобы заменить некоторые повторяющиеся или сложные выражения в уравнениях новыми переменными. Это позволяет свести исходную систему к более простому, стандартному виду (например, к линейной или простой квадратной системе), которую легко решить. После нахождения значений новых переменных производится обратная замена, чтобы найти значения исходных переменных.

Алгоритм решения систем уравнений методом введения новых переменных

1. Внимательно проанализировать систему уравнений и выявить в ней одинаковые или симметричные выражения, которые можно заменить.

2. Ввести новые переменные для этих выражений. Например, если в уравнениях есть дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$, можно обозначить их как $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$.

3. Составить новую систему уравнений, подставив в исходную систему новые переменные вместо соответствующих выражений.

4. Решить полученную более простую систему относительно введенных переменных (например, найти $u$ и $v$).

5. Выполнить обратную замену: подставить найденные значения новых переменных в равенства, связывающие их с исходными переменными.

6. Решить получившиеся после обратной замены простые уравнения или системы уравнений и найти значения исходных переменных ($x$ и $y$).

7. Записать ответ.

Пример 1.

Решить систему уравнений:$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases} $$Решение:
Введем новые переменные: пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$.
Тогда система примет вид:$$ \begin{cases} u + v = \frac{5}{6} \\ u - v = \frac{1}{6} \end{cases} $$Это простая линейная система. Сложим два уравнения:$(u+v) + (u-v) = \frac{5}{6} + \frac{1}{6}$
$2u = \frac{6}{6} = 1$
$u = \frac{1}{2}$
Подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы:$\frac{1}{2} + v = \frac{5}{6}$
$v = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Теперь выполним обратную замену:$u = \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \implies x = 2$.
$v = \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3$.
Ответ: $(2; 3)$.

Пример 2.

Решить систему уравнений:$$ \begin{cases} x+y+xy = 5 \\ x+y-xy = 1 \end{cases} $$Решение:
Введем новые переменные: пусть $a = x+y$ и $b = xy$.
Система в новых переменных:$$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = 1 \end{cases} $$Сложим уравнения:$2a = 6 \implies a=3$.
Вычтем из первого уравнения второе:$2b = 4 \implies b=2$.
Выполним обратную замену, подставив найденные значения $a$ и $b$:$$ \begin{cases} x+y = 3 \\ xy = 2 \end{cases} $$По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1; 2)$ и $(2; 1)$.
Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

Пример 3.

Решить систему уравнений:$$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{13}{6} \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $$Решение:
Введем новую переменную $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.
Первое уравнение примет вид:$t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6}$
Умножим обе части на $6t$ (при условии $t \neq 0$):$6t^2 + 6 = 13t$
$6t^2 - 13t + 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.
Корни: $t_1 = \frac{13 - \sqrt{25}}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$; $t_2 = \frac{13 + \sqrt{25}}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
Рассмотрим два случая:
1) $t = \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \implies x = \frac{2}{3}y$. Подставим во второе уравнение системы:$(\frac{2}{3}y)^2 + y^2 = 13$
$\frac{4}{9}y^2 + y^2 = 13$
$\frac{13}{9}y^2 = 13 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$.
Если $y=3$, то $x = \frac{2}{3}(3) = 2$. Решение: $(2; 3)$.
Если $y=-3$, то $x = \frac{2}{3}(-3) = -2$. Решение: $(-2; -3)$.
2) $t = \frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2}y$. Подставим во второе уравнение системы:$(\frac{3}{2}y)^2 + y^2 = 13$
$\frac{9}{4}y^2 + y^2 = 13$
$\frac{13}{4}y^2 = 13 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
Если $y=2$, то $x = \frac{3}{2}(2) = 3$. Решение: $(3; 2)$.
Если $y=-2$, то $x = \frac{3}{2}(-2) = -3$. Решение: $(-3; -2)$.
Ответ: $(2; 3), (-2; -3), (3; 2), (-3; -2)$.

5. Графический метод решения систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными.

Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы двух уравнений с двумя переменными, например $x$ и $y$, заключается в построении графиков каждого уравнения в одной и той же системе координат и нахождении точек их пересечения. Координаты этих точек и являются решениями системы.

Рассмотрим систему уравнений вида: $$ \begin{cases} f_1(x, y) = 0 \\ f_2(x, y) = 0 \end{cases} $$ Решением такой системы является пара чисел $(x_0, y_0)$, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям.

Алгоритм решения:

1. Построить график первого уравнения $f_1(x, y) = 0$ в декартовой системе координат $Oxy$. Каждая точка этого графика представляет собой пару $(x, y)$, удовлетворяющую первому уравнению.
2. В той же системе координат построить график второго уравнения $f_2(x, y) = 0$.
3. Найти координаты всех точек пересечения построенных графиков.
4. Координаты каждой точки пересечения $(x_0, y_0)$ являются решением системы уравнений. Если графики не пересекаются, система не имеет решений. Если графики совпадают, система имеет бесконечное множество решений.

Пример:

Решить систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = -1 \\ x^2 + y = 5 \end{cases} $$

1. Преобразуем уравнения к виду, удобному для построения графиков: $$ \begin{cases} y = x + 1 \\ y = 5 - x^2 \end{cases} $$ 2. Построим график первого уравнения $y = x + 1$. Это прямая линия, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.
3. В той же системе координат построим график второго уравнения $y = 5 - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 5)$.
4. Найдем точки пересечения графиков. Из чертежа видно, что графики пересекаются в двух точках: $A(-2, -1)$ и $B(1, 2)$.
5. Проверим, подставив координаты точек в исходную систему:
Для точки $A(-2, -1)$: $$ \begin{cases} (-2) - (-1) = -1 \quad (\text{верно}) \\ (-2)^2 + (-1) = 4 - 1 = 3 \ne 5 \end{cases} $$ Ой, похоже, при построении была допущена неточность. Давайте решим аналитически для проверки: $x+1 = 5-x^2 \implies x^2+x-4=0$. Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$. Как видно, графический метод дает лишь приблизительные значения, если точки пересечения не целочисленные.

Давайте рассмотрим более подходящий для этого метода пример: $$ \begin{cases} x + y = 3 \\ y = x^2 - 1 \end{cases} $$ 1. График $x + y = 3$ или $y = 3 - x$ — прямая линия, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
2. График $y = x^2 - 1$ — парабола, ветви вверх, вершина в $(0, -1)$.
3. Построив графики, мы увидим точки пересечения $A(-2, 5)$ и $B(2, 1)$. Ой, снова ошибка в расчетах. Точка B(2,1) не лежит на параболе: $1 \ne 2^2-1=3$. Точка А(-2,5) не лежит на параболе: $5 \ne (-2)^2-1=3$.

Давайте возьмем систему, где точно есть целочисленные решения. $$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases} $$ 1. График $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в $(0,0)$.
2. График $y = x+2$ — прямая, проходящая через точки $(0,2)$ и $(-2,0)$.
3. Построив графики, мы найдем две точки пересечения: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.
4. Проверка:
Для точки $(-1, 1)$: $1 = (-1)^2$ (верно), $1 = -1 + 2$ (верно).
Для точки $(2, 4)$: $4 = 2^2$ (верно), $4 = 2 + 2$ (верно).
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

Недостатком метода является его неточность. Если координаты точек пересечения — нецелые или иррациональные числа, их можно найти лишь приблизительно.

Ответ: Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти координаты их точек пересечения. Эти координаты и будут решениями системы.

Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными

Решением неравенства с двумя переменными является множество точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют данному неравенству. Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему.

Рассмотрим систему неравенств вида: $$ \begin{cases} F_1(x, y) > 0 \\ F_2(x, y) < 0 \end{cases} $$ (знаки неравенств могут быть любыми: $>, <, \ge, \le$).

Алгоритм решения:

1. Для каждого неравенства системы выполнить следующие шаги:
   1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившегося уравнения. Эта линия (кривая) называется граничной. Она разделяет плоскость на две или более области.
   2. Если неравенство строгое ($>$ или <), граничную линию изображают пунктиром. Это означает, что точки на самой линии не входят в решение.
   3. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), граничную линию изображают сплошной линией. Точки на линии входят в решение.
   4. Выбрать в одной из областей, на которые линия разделила плоскость, "пробную точку" (удобнее всего использовать $(0,0)$, если она не лежит на границе).
   5. Подставить координаты пробной точки в исходное неравенство. Если получилось верное числовое неравенство, то вся область, содержащая пробную точку, является решением. Если неверное — то решением является другая область.
   6. Заштриховать найденную область.
2. Выполнив эти шаги для каждого неравенства системы в одной и той же системе координат, найти общую область, где пересекаются все заштрихованные регионы. Эта пересекающаяся область и является графическим решением системы неравенств.

Пример:

Решить систему неравенств: $$ \begin{cases} y \ge x - 1 \\ x + y < 4 \end{cases} $$

1. Решаем первое неравенство $y \ge x - 1$:
- Граничная линия: $y = x - 1$. Это прямая.
- Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому линию рисуем сплошной.
- Берем пробную точку $(0,0)$: $0 \ge 0 - 1 \implies 0 \ge -1$. Это верное неравенство. - Значит, заштриховываем полуплоскость, которая содержит точку $(0,0)$, то есть область выше прямой $y = x - 1$.

2. Решаем второе неравенство $x + y < 4$ (или $y < 4 - x$):
- Граничная линия: $y = 4 - x$. Это прямая.
- Неравенство строгое (<), поэтому линию рисуем пунктирной.
- Берем пробную точку $(0,0)$: $0 + 0 < 4 \implies 0 < 4$. Это верное неравенство. - Значит, заштриховываем полуплоскость, которая содержит точку $(0,0)$, то есть область ниже прямой $y = 4 - x$.

3. Находим решение системы:
Решением системы является область на координатной плоскости, где пересекаются штриховки от обоих неравенств. Это будет область, расположенная одновременно выше сплошной линии $y = x - 1$ и ниже пунктирной линии $y = 4 - x$.

Ответ: Чтобы решить систему неравенств графически, нужно для каждого неравенства построить его граничную линию и заштриховать область, являющуюся его решением. Пересечение всех заштрихованных областей является решением системы.

14.4 а) $\sqrt[3]{27x}$;

б) $\sqrt[3]{-16a}$;

в) $\sqrt[3]{250y}$;

г) $\sqrt[3]{-343b}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{27x}$, нужно вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом.

Число 27 является кубом числа 3, так как $3^3 = 27$.

Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[3]{27x} = \sqrt[3]{27 \cdot x} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x} = 3\sqrt[3]{x}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{x}$

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{-16a}$, вынесем множитель из-под знака корня. Разложим число -16 на множители, один из которых является точным кубом.

Мы можем представить -16 как произведение $-8$ и $2$. Число -8 является кубом числа -2, так как $(-2)^3 = -8$.

Применяем свойство корня из произведения:

$\sqrt[3]{-16a} = \sqrt[3]{-8 \cdot 2 \cdot a} = \sqrt[3]{-8} \cdot \sqrt[3]{2a} = -2\sqrt[3]{2a}$.

Ответ: $-2\sqrt[3]{2a}$

в) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{250y}$, вынесем множитель из-под знака корня. Разложим число 250 на множители, один из которых является точным кубом.

Представим 250 как произведение $125$ и $2$. Число 125 является кубом числа 5, так как $5^3 = 125$.

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt[3]{250y} = \sqrt[3]{125 \cdot 2 \cdot y} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2y} = 5\sqrt[3]{2y}$.

Ответ: $5\sqrt[3]{2y}$

г) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{-343b}$, вынесем множитель из-под знака корня. Найдем кубический корень из числа -343.

Число -343 является кубом числа -7, так как $(-7)^3 = -343$.

Применяем свойство корня из произведения:

$\sqrt[3]{-343b} = \sqrt[3]{-343 \cdot b} = \sqrt[3]{-343} \cdot \sqrt[3]{b} = -7\sqrt[3]{b}$.

Ответ: $-7\sqrt[3]{b}$

14.5 a) $\sqrt[3]{125x^4}$;

б) $\sqrt[3]{-128x^7}$;

в) $\sqrt[3]{81a^5}$;

г) $\sqrt[3]{-512a^8}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{125x^4}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, которые являются полными кубами.

Число $125$ является кубом числа $5$, так как $5^3 = 125$. Переменную в степени $x^4$ можно представить в виде произведения $x^3 \cdot x$, где $x^3$ является полным кубом.

Подставим эти разложения в исходное выражение: $\sqrt[3]{125x^4} = \sqrt[3]{5^3 \cdot x^3 \cdot x}$

Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, вынесем множители из-под знака корня: $\sqrt[3]{5^3 \cdot x^3 \cdot x} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{x} = 5 \cdot x \cdot \sqrt[3]{x} = 5x\sqrt[3]{x}$

Ответ: $5x\sqrt[3]{x}$

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{-128x^7}$. Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными кубами.

Число $-128$ можно представить как произведение $-64 \cdot 2$, где $-64$ является кубом числа $-4$, так как $(-4)^3 = -64$. Переменную $x^7$ можно представить как $x^6 \cdot x$, где $x^6 = (x^2)^3$ является полным кубом.

Подставим разложения в выражение: $\sqrt[3]{-128x^7} = \sqrt[3]{-64 \cdot 2 \cdot x^6 \cdot x}$

Сгруппируем множители и вынесем их из-под знака корня: $\sqrt[3]{(-64 \cdot x^6) \cdot (2 \cdot x)} = \sqrt[3]{-64} \cdot \sqrt[3]{x^6} \cdot \sqrt[3]{2x} = -4 \cdot x^2 \cdot \sqrt[3]{2x} = -4x^2\sqrt[3]{2x}$

Ответ: $-4x^2\sqrt[3]{2x}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{81a^5}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня.

Число $81$ можно представить как $27 \cdot 3$, где $27$ является кубом числа $3$, так как $3^3 = 27$. Переменную $a^5$ можно представить как $a^3 \cdot a^2$, где $a^3$ является полным кубом.

Подставим разложения в выражение: $\sqrt[3]{81a^5} = \sqrt[3]{27 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot a^2}$

Сгруппируем множители и вынесем полные кубы из-под знака корня: $\sqrt[3]{(27 \cdot a^3) \cdot (3 \cdot a^2)} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{3a^2} = 3 \cdot a \cdot \sqrt[3]{3a^2} = 3a\sqrt[3]{3a^2}$

Ответ: $3a\sqrt[3]{3a^2}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[3]{-512a^8}$. Вынесем множители из-под знака корня.

Число $-512$ является полным кубом, так как $(-8)^3 = -512$. Переменную $a^8$ можно представить как $a^6 \cdot a^2$, где $a^6 = (a^2)^3$ является полным кубом.

Подставим разложения в выражение: $\sqrt[3]{-512a^8} = \sqrt[3]{-512 \cdot a^6 \cdot a^2}$

Вынесем множители, являющиеся полными кубами: $\sqrt[3]{-512} \cdot \sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{a^2} = -8 \cdot a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = -8a^2\sqrt[3]{a^2}$

Ответ: $-8a^2\sqrt[3]{a^2}$

Внесите множитель под знак радикала:

14.6 a) $2\sqrt[3]{3}$;

б) $-3\sqrt[3]{2}$;

в) $5\sqrt[3]{2}$;

г) $-4\sqrt[3]{3}$.

а) Чтобы внести множитель 2 под знак кубического корня, необходимо возвести его в третью степень (показатель корня) и результат умножить на подкоренное выражение.
$2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}$.
Ответ: $\sqrt[3]{24}$.

б) Так как степень корня (3) является нечетным числом, мы можем внести отрицательный множитель -3 под знак радикала. Для этого возводим -3 в куб и умножаем на подкоренное выражение.
$-3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{-27 \cdot 2} = \sqrt[3]{-54}$.
Ответ: $\sqrt[3]{-54}$.

в) Вносим множитель 5 под знак кубического корня. Возводим 5 в третью степень и умножаем на 2.
$5\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{250}$.
Ответ: $\sqrt[3]{250}$.

г) Вносим отрицательный множитель -4 под знак кубического корня. Степень корня нечетная, поэтому знак минус также вносится под корень.
$-4\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{(-4)^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{-64 \cdot 3} = \sqrt[3]{-192}$.
Ответ: $\sqrt[3]{-192}$.

14.7 а) $a \sqrt[3]{x}$;

б) $a^2 \sqrt[3]{a}$;

в) $2x \sqrt[3]{a^2}$;

г) $x^3 \sqrt[3]{x^2}$.

а) Чтобы внести множитель $a$ под знак кубического корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, то есть в третью степень, и записать результат под знаком корня.
Представим множитель $a$ в виде кубического корня: $a = \sqrt[3]{a^3}$.
Тогда исходное выражение можно переписать так:
$a \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{x}$.
Используя свойство произведения корней одинаковой степени ($\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{bc}$), объединим выражения под одним корнем:
$\sqrt[3]{a^3 \cdot x} = \sqrt[3]{a^3x}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^3x}$.

б) Вносим множитель $a^2$ под знак кубического корня. Для этого возводим $a^2$ в третью степень.
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.
Теперь умножаем полученное выражение на выражение, уже находящееся под корнем:
$a^2 \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{(a^2)^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^6 \cdot a}$.
По свойству степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), складываем показатели:
$\sqrt[3]{a^{6+1}} = \sqrt[3]{a^7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^7}$.

в) Вносим множитель $2x$ под знак кубического корня. Для этого возводим все выражение $2x$ в третью степень.
$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.
Теперь записываем полученный результат под знак корня, умножая его на уже имеющееся там выражение $a^2$:
$2x \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{(2x)^3 \cdot a^2} = \sqrt[3]{8x^3 \cdot a^2}$.
Для удобства записи расположим множители в алфавитном порядке: $\sqrt[3]{8a^2x^3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{8a^2x^3}$.

г) Вносим множитель $x^3$ под знак кубического корня. Возводим $x^3$ в третью степень.
$(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$.
Далее умножаем полученное выражение на подкоренное выражение $x^2$:
$x^3 \sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3]{(x^3)^3 \cdot x^2} = \sqrt[3]{x^9 \cdot x^2}$.
Используя свойство степеней, складываем показатели:
$\sqrt[3]{x^{9+2}} = \sqrt[3]{x^{11}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{x^{11}}$.

14.8 Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{a^6}$;

б) $\sqrt[3]{-27b^3}$;

в) $\sqrt[3]{8a^9b^{12}}$;

г) $\sqrt[3]{-64a^6b^3c^9}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{a^6}$ воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2$.

Другой способ — представить подкоренное выражение в виде куба некоторого выражения. Поскольку $a^6 = (a^2)^3$, то:

$\sqrt[3]{a^6} = \sqrt[3]{(a^2)^3} = a^2$.

Ответ: $a^2$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{-27b^3}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$.

$\sqrt[3]{-27b^3} = \sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[3]{b^3}$.

Вычислим каждый множитель отдельно:

$\sqrt[3]{-27} = -3$, так как $(-3)^3 = -27$.

$\sqrt[3]{b^3} = b$.

Перемножим результаты:

$-3 \cdot b = -3b$.

Также можно представить подкоренное выражение как куб: $-27b^3 = (-3b)^3$.

$\sqrt[3]{-27b^3} = \sqrt[3]{(-3b)^3} = -3b$.

Ответ: $-3b$

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{8a^9b^{12}}$, используя свойство корня из произведения.

$\sqrt[3]{8a^9b^{12}} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{a^9} \cdot \sqrt[3]{b^{12}}$.

Вычислим каждый множитель:

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

$\sqrt[3]{a^9} = a^{\frac{9}{3}} = a^3$.

$\sqrt[3]{b^{12}} = b^{\frac{12}{3}} = b^4$.

Объединим полученные результаты:

$2 \cdot a^3 \cdot b^4 = 2a^3b^4$.

Альтернативно, представим подкоренное выражение как куб: $8a^9b^{12} = (2a^3b^4)^3$.

$\sqrt[3]{8a^9b^{12}} = \sqrt[3]{(2a^3b^4)^3} = 2a^3b^4$.

Ответ: $2a^3b^4$

г)

Упростим выражение $\sqrt[3]{-64a^6b^3c^9}$ по аналогии с предыдущими пунктами.

$\sqrt[3]{-64a^6b^3c^9} = \sqrt[3]{-64} \cdot \sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{b^3} \cdot \sqrt[3]{c^9}$.

Вычислим каждый множитель по отдельности:

$\sqrt[3]{-64} = -4$, так как $(-4)^3 = -64$.

$\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2$.

$\sqrt[3]{b^3} = b$.

$\sqrt[3]{c^9} = c^{\frac{9}{3}} = c^3$.

Перемножим результаты:

$-4 \cdot a^2 \cdot b \cdot c^3 = -4a^2bc^3$.

Альтернативный способ: $-64a^6b^3c^9 = (-4a^2bc^3)^3$.

$\sqrt[3]{-64a^6b^3c^9} = \sqrt[3]{(-4a^2bc^3)^3} = -4a^2bc^3$.

Ответ: $-4a^2bc^3$

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

14.9 а) $\frac{1}{\sqrt[3]{7}}$;

б) $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$;

в) $\frac{5}{\sqrt[3]{5}}$;

г) $\frac{6}{\sqrt[3]{9}}$.

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо домножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы в знаменателе исчез знак корня. Для знаменателя вида $ \sqrt[3]{a} $ домножающим выражением будет $ \sqrt[3]{a^2} $, так как $ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a^3} = a $.

а) В дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{7}} $ знаменатель содержит $ \sqrt[3]{7} $. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49} $.

$ \frac{1}{\sqrt[3]{7}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7^2}} = \frac{\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7^3}} = \frac{\sqrt[3]{49}}{7} $

Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{49}}{7} $.

б) В дроби $ \frac{2}{\sqrt[3]{4}} $ знаменатель содержит $ \sqrt[3]{4} $. Можно представить $ 4 $ как $ 2^2 $, тогда знаменатель будет $ \sqrt[3]{2^2} $. Чтобы получить под корнем $ 2^3 $, нужно домножить на $ \sqrt[3]{2} $.

$ \frac{2}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{2} = \sqrt[3]{2} $

Ответ: $ \sqrt[3]{2} $.

в) В дроби $ \frac{5}{\sqrt[3]{5}} $ знаменатель содержит $ \sqrt[3]{5} $. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25} $.

$ \frac{5}{\sqrt[3]{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^2}} = \frac{5\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{5\sqrt[3]{25}}{5} = \sqrt[3]{25} $

Ответ: $ \sqrt[3]{25} $.

г) В дроби $ \frac{6}{\sqrt[3]{9}} $ знаменатель содержит $ \sqrt[3]{9} $. Можно представить $ 9 $ как $ 3^2 $, тогда знаменатель будет $ \sqrt[3]{3^2} $. Чтобы получить под корнем $ 3^3 $, нужно домножить на $ \sqrt[3]{3} $.

$ \frac{6}{\sqrt[3]{9}} = \frac{6}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{6\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{6\sqrt[3]{3}}{3} = 2\sqrt[3]{3} $

Ответ: $ 2\sqrt[3]{3} $.

14.10 a) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$;

б) $\frac{a}{\sqrt[3]{a^2}}$;

В) $-\frac{x}{\sqrt[3]{x}}$;

Г) $\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы выражение под корнем в знаменателе стало полным кубом. В знаменателе находится $\sqrt[3]{a}$. Чтобы подкоренное выражение стало $a^3$, нужно $a$ умножить на $a^2$. Таким образом, умножим дробь на $\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2}}$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a \cdot a^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^3}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}$.
При этом, изначальное выражение имеет смысл при $a \neq 0$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}$.

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{\sqrt[3]{a^2}}$, умножим числитель и знаменатель на множитель, который сделает подкоренное выражение в знаменателе полным кубом. В знаменателе находится $\sqrt[3]{a^2}$. Чтобы подкоренное выражение стало $a^3$, нужно $a^2$ умножить на $a$. Таким образом, умножим дробь на $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}}$:
$\frac{a}{\sqrt[3]{a^2}} = \frac{a \cdot \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{a}} = \frac{a\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2 \cdot a}} = \frac{a\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^3}} = \frac{a\sqrt[3]{a}}{a}$.
При $a \neq 0$ можно сократить дробь на $a$:
$\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a}$.

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе выражения $-\frac{x}{\sqrt[3]{x}}$, нужно умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{x}{\sqrt[3]{x}}$ на соответствующий множитель. В знаменателе находится $\sqrt[3]{x}$. Чтобы подкоренное выражение стало $x^3$, нужно $x$ умножить на $x^2$. Умножим дробь на $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}$:
$-\frac{x}{\sqrt[3]{x}} = -\frac{x \cdot \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}} = -\frac{x\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x \cdot x^2}} = -\frac{x\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^3}} = -\frac{x\sqrt[3]{x^2}}{x}$.
При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $x$:
$-\sqrt[3]{x^2}$.
Ответ: $-\sqrt[3]{x^2}$.

г) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}}$, умножим числитель и знаменатель на множитель, который сделает подкоренное выражение в знаменателе полным кубом. В знаменателе находится $\sqrt[3]{x^2}$. Чтобы подкоренное выражение стало $x^3$, нужно $x^2$ умножить на $x$. Таким образом, умножим дробь на $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$:
$\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{x^2 \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt[3]{x}} = \frac{x^2\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2 \cdot x}} = \frac{x^2\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^3}} = \frac{x^2\sqrt[3]{x}}{x}$.
При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $x$:
$x\sqrt[3]{x}$.
Ответ: $x\sqrt[3]{x}$.

Выполните указанные действия:

14.11 a) $2\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[3]{a}$;

б) $\sqrt[3]{81x} + \sqrt[3]{24x}$;

в) $8\sqrt[3]{b} + 5\sqrt[3]{b}$;

г) $\sqrt[3]{250y^2} - \sqrt[3]{54y^2}$.

а) $2\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[3]{a}$
Данное выражение представляет собой разность подобных слагаемых, так как оба члена содержат одинаковый радикал $\sqrt[3]{a}$. Чтобы выполнить вычитание, нужно найти разность коэффициентов при общем радикале.
Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{a}$ за скобки:
$2\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[3]{a} = (2 - 3)\sqrt[3]{a} = -1 \cdot \sqrt[3]{a} = -\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $-\sqrt[3]{a}$.

б) $\sqrt[3]{81x} + \sqrt[3]{24x}$
Чтобы сложить эти радикалы, сначала упростим каждый из них, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители, один из которых является полным кубом.
Упростим первый член: $81 = 27 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3$.
$\sqrt[3]{81x} = \sqrt[3]{27 \cdot 3x} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3x} = 3\sqrt[3]{3x}$.
Упростим второй член: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
$\sqrt[3]{24x} = \sqrt[3]{8 \cdot 3x} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3x} = 2\sqrt[3]{3x}$.
Теперь исходное выражение можно записать в виде:
$3\sqrt[3]{3x} + 2\sqrt[3]{3x}$.
Складываем подобные слагаемые, сложив их коэффициенты:
$(3 + 2)\sqrt[3]{3x} = 5\sqrt[3]{3x}$.
Ответ: $5\sqrt[3]{3x}$.

в) $8\sqrt[3]{b} + 5\sqrt[3]{b}$
В данном выражении оба слагаемых являются подобными, так как содержат одинаковый радикал $\sqrt[3]{b}$. Для их сложения необходимо сложить коэффициенты и умножить результат на общий радикал.
Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{b}$ за скобки:
$8\sqrt[3]{b} + 5\sqrt[3]{b} = (8 + 5)\sqrt[3]{b} = 13\sqrt[3]{b}$.
Ответ: $13\sqrt[3]{b}$.

г) $\sqrt[3]{250y^2} - \sqrt[3]{54y^2}$
Для выполнения вычитания сначала упростим каждый радикал, вынеся из-под знака корня множитель, являющийся полным кубом.
Упростим первый член: $250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2$.
$\sqrt[3]{250y^2} = \sqrt[3]{125 \cdot 2y^2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2y^2} = 5\sqrt[3]{2y^2}$.
Упростим второй член: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.
$\sqrt[3]{54y^2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2y^2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2y^2} = 3\sqrt[3]{2y^2}$.
Теперь исходное выражение выглядит так:
$5\sqrt[3]{2y^2} - 3\sqrt[3]{2y^2}$.
Выполним вычитание подобных слагаемых, вычитая их коэффициенты:
$(5 - 3)\sqrt[3]{2y^2} = 2\sqrt[3]{2y^2}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{2y^2}$.

14.12 a) $\sqrt[3]{54} \cdot 5 \cdot \sqrt[3]{100};$

б) $(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{4}) \cdot \sqrt[3]{6};$

в) $\sqrt[3]{\frac{192}{49}} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{7}};$

г) $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{15}) \cdot \sqrt[3]{25}.$

а) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{54} \cdot 5 \cdot \sqrt[3]{100}$ сгруппируем множители и воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$5 \cdot \sqrt[3]{54} \cdot \sqrt[3]{100} = 5 \cdot \sqrt[3]{54 \cdot 100} = 5 \cdot \sqrt[3]{5400}$

Чтобы извлечь кубический корень, разложим число 5400 на множители, выделяя кубы чисел:

$5400 = 54 \cdot 100 = (27 \cdot 2) \cdot 100 = (3^3 \cdot 2) \cdot 100 = 3^3 \cdot 200 = 3^3 \cdot (8 \cdot 25) = 3^3 \cdot 2^3 \cdot 25 = (3 \cdot 2)^3 \cdot 25 = 6^3 \cdot 25$

Подставим разложение обратно в выражение и извлечем корень:

$5 \cdot \sqrt[3]{6^3 \cdot 25} = 5 \cdot (\sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{25}) = 5 \cdot 6 \cdot \sqrt[3]{25} = 30\sqrt[3]{25}$

Ответ: $30\sqrt[3]{25}$

б) Для решения выражения $(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{4}) \cdot \sqrt[3]{6}$ применим распределительный закон умножения $a(b-c) = ab - ac$:

$(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{4}) \cdot \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{6}$

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{36 \cdot 6} - \sqrt[3]{4 \cdot 6} = \sqrt[3]{216} - \sqrt[3]{24}$

Упростим каждый корень, извлекая множители из-под знака корня:

$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6$

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$6 - 2\sqrt[3]{3}$

Ответ: $6 - 2\sqrt[3]{3}$

в) Чтобы вычислить произведение $\sqrt[3]{\frac{192}{49}} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{7}}$, объединим дроби под один знак корня, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{\frac{192}{49} \cdot \frac{9}{7}} = \sqrt[3]{\frac{192 \cdot 9}{49 \cdot 7}}$

Разложим числа в числителе и знаменателе на множители для упрощения:

$192 \cdot 9 = (64 \cdot 3) \cdot 9 = 64 \cdot 27 = 4^3 \cdot 3^3 = (4 \cdot 3)^3 = 12^3$

$49 \cdot 7 = 7^2 \cdot 7 = 7^3$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$\sqrt[3]{\frac{12^3}{7^3}} = \sqrt[3]{(\frac{12}{7})^3}$

Извлечем кубический корень:

$\frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$

г) Для раскрытия скобок в выражении $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{15}) \cdot \sqrt[3]{25}$ используем распределительный закон $a(b+c) = ab + ac$:

$(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{15}) \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{15} \cdot \sqrt[3]{25}$

Применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{5 \cdot 25} + \sqrt[3]{15 \cdot 25} = \sqrt[3]{125} + \sqrt[3]{375}$

Упростим каждый корень:

$\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$

$\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{125 \cdot 3} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3}$

Сложим полученные значения:

$5 + 5\sqrt[3]{3}$

Ответ: $5 + 5\sqrt[3]{3}$

14.13 Решите уравнение:

a) $\sqrt[3]{x} = 5;$

б) $\sqrt[3]{2x - 1} = 1;$

в) $\sqrt[3]{x} = -10;$

г) $\sqrt[3]{4 - 2x} = 4.$

а) Чтобы решить уравнение $\sqrt[3]{x} = 5$, необходимо избавиться от кубического корня. для этого возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x})^3 = 5^3$

В левой части корень и степень взаимно уничтожаются, а в правой вычисляем значение:

$x = 125$

Проверка: $\sqrt[3]{125} = 5$, что соответствует условию.

Ответ: $125$

б) Дано уравнение $\sqrt[3]{2x - 1} = 1$. Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части уравнения в куб, чтобы убрать радикал:

$(\sqrt[3]{2x - 1})^3 = 1^3$

$2x - 1 = 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем $-1$ в правую часть с противоположным знаком:

$2x = 1 + 1$

$2x = 2$

Разделим обе части на $2$:

$x = 1$

Проверка: $\sqrt[3]{2(1) - 1} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Ответ: $1$

в) В уравнении $\sqrt[3]{x} = -10$ корень нечетной степени может быть равен отрицательному числу. Возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x})^3 = (-10)^3$

$x = -1000$

Проверка: $\sqrt[3]{-1000} = -10$, так как $(-10)^3 = -1000$.

Ответ: $-1000$

г) Рассмотрим уравнение $\sqrt[3]{4 - 2x} = 4$. Для его решения возведем обе части в третью степень:

$(\sqrt[3]{4 - 2x})^3 = 4^3$

$4 - 2x = 64$

Далее решаем полученное линейное уравнение. Перенесем $4$ в правую часть:

$-2x = 64 - 4$

$-2x = 60$

Разделим обе части на $-2$:

$x = \frac{60}{-2}$

$x = -30$

Проверка: $\sqrt[3]{4 - 2(-30)} = \sqrt[3]{4 + 60} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Ответ: $-30$