Страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.21 Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x \le -1; \\ x^3, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ \frac{1}{x^{28}}, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x^{-3}, & \text{если } x \le -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ x^4, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

• На промежутке $(-\infty, -1]$ функция задана формулой $y = -1$. Её график — это луч, параллельный оси Ox, выходящий из точки $(-1, -1)$ и идущий влево. Точка $(-1, -1)$ принадлежит этому лучу.
• На промежутке $(-1, 1]$ функция задана формулой $y = x^3$. Её график — это часть кубической параболы. На концах промежутка имеем: при $x \to -1$, $y \to (-1)^3 = -1$. Точка $(-1, -1)$ не принадлежит этому участку (будет "выколотой"). При $x = 1$, $y = 1^3 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит этому участку. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
• На промежутке $(1, +\infty)$ функция задана формулой $y = \frac{1}{x^{28}}$. Её график — это ветвь функции, которая начинается в точке $(1, 1)$ (точка "выколотая", так как $x > 1$) и очень быстро убывает, асимптотически приближаясь к оси Ox ($y \to 0$ при $x \to +\infty$).

Объединяя графики, видим, что в точке $x = -1$ разрыва нет, так как значение функции слева и справа стремится к $-1$. Аналогично, в точке $x = 1$ разрыва нет, так как значение функции слева и справа стремится к $1$. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой прямой.

Прочитаем график, перечислив основные свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
5. Промежутки монотонности: функция постоянна на промежутке $(-\infty; -1]$; возрастает на промежутке $[-1; 1]$; убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
6. Экстремумы: $x_{min} = -1$, $y_{min} = -1$ (глобальный минимум); $x_{max} = 1$, $y_{max} = 1$ (глобальный максимум).
7. Чётность, нечётность: функция не является ни чётной, ни нечётной, так как не симметрична ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: 1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. Область значений $E(y) = [-1; 1]$. 3. Нуль функции: $x=0$. 4. $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$. 5. Функция постоянна на $(-\infty; -1]$, возрастает на $[-1; 1]$, убывает на $[1; +\infty)$. 6. Точка минимума $(-1, -1)$, точка максимума $(1, 1)$. 7. Функция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной). 8. Функция непрерывна на всей числовой прямой.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

• На промежутке $(-\infty, -1]$ функция задана формулой $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$. При $x=-1$, $y = \frac{1}{(-1)^3} = -1$. Точка $(-1, -1)$ принадлежит этому участку. При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (снизу). График — это ветвь гиперболы, которая начинается в точке $(-1, -1)$ и асимптотически приближается к оси Ox слева.
• На промежутке $(-1, 1]$ функция задана формулой $y = -x^2$. Её график — это часть параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. На концах промежутка имеем: при $x \to -1$, $y \to -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ не принадлежит этому участку (будет "выколотой"). При $x = 1$, $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит этому участку.
• На промежутке $(1, +\infty)$ функция задана формулой $y = x^4$. Её график — это ветвь степенной функции, похожей на параболу, но растущей быстрее. Она начинается в точке $(1, 1)$ (точка "выколотая", так как $x > 1$) и уходит в бесконечность.

Объединяя графики, видим, что в точке $x = -1$ разрыва нет, так как значение функции слева и справа стремится к $-1$. Однако в точке $x = 1$ наблюдается разрыв: предел слева равен $y(1) = -1$, а предел справа равен $\lim_{x\to 1+} x^4 = 1$. Это разрыв первого рода (скачок).

Прочитаем график, перечислив основные свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-1; 0] \cup (1; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1]$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $(1; +\infty)$.
6. Экстремумы: $x_{min} = -1$, $y_{min} = -1$ (глобальный минимум); $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$ (локальный максимум). Глобального максимума нет.
7. Чётность, нечётность: функция не является ни чётной, ни нечётной.
8. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. В точке $x=1$ имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции построен. Свойства функции: 1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. Область значений $E(y) = [-1; 0] \cup (1; +\infty)$. 3. Нуль функции: $x=0$. 4. $y>0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1]$. 5. Функция убывает на $(-\infty; -1]$ и на $[0; 1]$, возрастает на $[-1; 0]$ и на $(1; +\infty)$. 6. Точка минимума $(-1, -1)$, точка локального максимума $(0, 0)$. 7. Функция общего вида (не является ни чётной, ни нечётной). 8. Функция имеет разрыв первого рода в точке $x=1$.

13.22 Решите графически неравенство:

а) $x^{-2} > 2x - 1;$

б) $x^{-3} \leq \sqrt{x};$

в) $x^{-2} \leq 2x - 1;$

г) $x^{-3} > \sqrt{x}.

а) $x^{-2} > 2x - 1$

Чтобы решить неравенство графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{-2}$ и $y = 2x - 1$. Нам нужно найти те значения $x$, при которых график первой функции находится выше графика второй.

1. График функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.Это четная функция, ее область определения $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. График симметричен относительно оси OY и расположен в I и II координатных четвертях. Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной асимптотой.

2. График функции $y = 2x - 1$.Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой найдем две точки:Если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.Если $y = 0$, то $2x - 1 = 0$, $x = 0.5$. Точка $(0.5, 0)$.

3. Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^{-2} = 2x - 1$.$$ \frac{1}{x^2} = 2x - 1 $$Поскольку $x=0$ не входит в область определения, можно умножить обе части на $x^2$:$$ 1 = 2x^3 - x^2 $$$$ 2x^3 - x^2 - 1 = 0 $$Заметим, что $x=1$ является корнем уравнения: $2(1)^3 - 1^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$.Разделим многочлен $2x^3 - x^2 - 1$ на $(x-1)$:$(2x^3 - x^2 - 1) : (x-1) = 2x^2 + x + 1$.Получаем уравнение $(x-1)(2x^2 + x + 1) = 0$.Квадратное уравнение $2x^2 + x + 1 = 0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7 < 0$.Следовательно, у графиков только одна точка пересечения при $x=1$. Ордината точки: $y = 2(1) - 1 = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

4. Решение неравенства.Неравенство $x^{-2} > 2x - 1$ выполняется, когда график $y = x^{-2}$ лежит выше прямой $y = 2x - 1$.При $x < 0$ график $y = x^{-2}$ всегда положителен, а прямая $y = 2x - 1$ отрицательна (так как $2x-1 < 0$ при $x < 0.5$), поэтому на всем промежутке $(-\infty, 0)$ неравенство выполняется.При $x > 0$ график $y = x^{-2}$ находится выше прямой $y = 2x - 1$ на интервале от $0$ до точки их пересечения $x=1$.Объединяя эти интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

б) $x^{-3} \le \sqrt{x}$

Для графического решения неравенства построим графики функций $y = x^{-3}$ и $y = \sqrt{x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).Функция $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ определена при $x \neq 0$.Функция $y = \sqrt{x}$ определена при $x \ge 0$.ОДЗ для неравенства: $x > 0$. Таким образом, мы рассматриваем графики только в первой координатной четверти.

2. График функции $y = x^{-3}$ (для $x > 0$) — это ветвь кривой, убывающей в первой четверти. Проходит через точку $(1, 1)$.

3. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, ветви которой направлены вправо. График выходит из начала координат и проходит через точку $(1, 1)$.

4. Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $x^{-3} = \sqrt{x}$ на ОДЗ.$$ \frac{1}{x^3} = \sqrt{x} $$$$ 1 = x^3 \cdot \sqrt{x} = x^3 \cdot x^{1/2} = x^{3.5} $$$$ x^{7/2} = 1 $$Возведя обе части в степень $2/7$, получаем $x = 1$.Точка пересечения — $(1, 1)$.

5. Решение неравенства.Неравенство $x^{-3} \le \sqrt{x}$ выполняется, когда график $y = x^{-3}$ лежит на или ниже графика $y = \sqrt{x}$.Сравнивая графики, видим, что при $x > 1$ кривая $y=x^{-3}$ находится ниже кривой $y=\sqrt{x}$. В точке $x=1$ значения функций равны. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

в) $x^{-2} \le 2x - 1$

Это неравенство является противоположным неравенству из пункта а). Мы используем те же графики функций $y = x^{-2}$ и $y = 2x - 1$ и ту же точку их пересечения $(1, 1)$.

Неравенство $x^{-2} \le 2x - 1$ выполняется, когда график функции $y = x^{-2}$ лежит на или ниже графика функции $y = 2x - 1$.Из анализа, проведенного в пункте а), следует, что это происходит, когда $x$ больше или равен абсциссе точки пересечения.Точка пересечения имеет абсциссу $x=1$. При $x > 1$ прямая $y = 2x - 1$ лежит выше кривой $y = x^{-2}$. В точке $x=1$ их значения равны.Таким образом, решение неравенства — это промежуток, начиная с точки пересечения и далее.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

г) $x^{-3} > \sqrt{x}$

Это неравенство является противоположным неравенству из пункта б). Мы используем те же графики функций $y = x^{-3}$ и $y = \sqrt{x}$, ту же ОДЗ ($x>0$) и ту же точку пересечения $(1, 1)$.

Неравенство $x^{-3} > \sqrt{x}$ выполняется, когда график функции $y = x^{-3}$ лежит строго выше графика функции $y = \sqrt{x}$.Из анализа, проведенного в пункте б), следует, что на интервале $(0, 1)$ график $y=x^{-3}$ находится выше графика $y=\sqrt{x}$. В точке $x=1$ значения равны, поэтому она не включается в решение.Таким образом, решение неравенства — это интервал от $0$ до $1$, не включая концы.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

13.23 Даны функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$, где $f(x) = x^5$, $g(x) = x^{-10}$. Докажите, что $\frac{(f(2x))^2}{32} = 32(g(x))^{-1}$.

Для доказательства тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны при заданных функциях $f(x) = x^5$ и $g(x) = x^{-10}$. Преобразуем обе части равенства по отдельности.

1. Преобразование левой части тождества: $\frac{(f(2x))^2}{32}$

Сначала найдем значение $f(2x)$, подставив $2x$ в выражение для $f(x)$:

$f(2x) = (2x)^5 = 2^5 \cdot x^5 = 32x^5$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть:

$\frac{(f(2x))^2}{32} = \frac{(32x^5)^2}{32} = \frac{32^2 \cdot (x^5)^2}{32} = \frac{1024 \cdot x^{5 \cdot 2}}{32} = \frac{1024x^{10}}{32} = 32x^{10}$.

Таким образом, левая часть тождества равна $32x^{10}$.

2. Преобразование правой части тождества: $32(g(x))^{-1}$

Возьмем данную функцию $g(x) = x^{-10}$ и найдем $(g(x))^{-1}$:

$(g(x))^{-1} = (x^{-10})^{-1} = x^{-10 \cdot (-1)} = x^{10}$.

Теперь подставим полученное выражение в правую часть:

$32(g(x))^{-1} = 32 \cdot x^{10} = 32x^{10}$.

Таким образом, правая часть тождества также равна $32x^{10}$.

3. Заключение:

Мы получили, что левая часть тождества равна $32x^{10}$ и правая часть тождества равна $32x^{10}$. Поскольку $32x^{10} = 32x^{10}$, исходное равенство является верным.

Ответ: Тождество доказано.

13.24 Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = x^{-3}$, $g(x) = x^{4}$. Докажите, что $(f(x^2))^2 = (g(x))^{-3}$.

Для того чтобы доказать тождество $(f(x^2))^2 = (g(x))^{-3}$, мы преобразуем левую и правую части этого равенства по отдельности, используя заданные функции $f(x) = x^{-3}$ и $g(x) = x^4$.

Сначала преобразуем левую часть равенства $(f(x^2))^2$.
1. Найдём значение $f(x^2)$, подставив $x^2$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$: $f(x^2) = (x^2)^{-3}$.
2. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение: $f(x^2) = x^{2 \cdot (-3)} = x^{-6}$.
3. Теперь возведём полученный результат в квадрат: $(f(x^2))^2 = (x^{-6})^2 = x^{-6 \cdot 2} = x^{-12}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства $(g(x))^{-3}$.
1. Подставим выражение для функции $g(x)$: $(g(x))^{-3} = (x^4)^{-3}$.
2. Используя то же свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение: $(x^4)^{-3} = x^{4 \cdot (-3)} = x^{-12}$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна $x^{-12}$ и правая часть равенства также равна $x^{-12}$. Поскольку обе части равны одному и тому же выражению, исходное тождество является верным.

Ответ: Тождество $(f(x^2))^2 = (g(x))^{-3}$ доказано, так как преобразование его левой и правой частей приводит к одному и тому же выражению $x^{-12}$.

13.25 Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = x^2$, $g(x) = x^{-4}$. Докажите, что $\frac{16}{f(x^2)} = \left(g\left(\frac{2}{x}\right)\right)^{-1}$.

Для доказательства данного равенства необходимо преобразовать его левую и правую части и показать, что они равны. Нам даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = x^{-4}$.

1. Преобразуем левую часть равенства

Левая часть имеет вид $\frac{16}{f(x^2)}$.

Для нахождения $f(x^2)$ подставим в функцию $f(x) = x^2$ вместо аргумента $x$ выражение $x^2$:

$f(x^2) = (x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\frac{16}{f(x^2)} = \frac{16}{x^4}$.

2. Преобразуем правую часть равенства

Правая часть имеет вид $\left(g\left(\frac{2}{x}\right)\right)^{-1}$.

Сначала найдем $g\left(\frac{2}{x}\right)$, подставив в функцию $g(x) = x^{-4}$ вместо аргумента $x$ выражение $\frac{2}{x}$:

$g\left(\frac{2}{x}\right) = \left(\frac{2}{x}\right)^{-4}$.

Используя свойства степени, упростим полученное выражение. Свойство степени дроби: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Свойство отрицательной степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$\left(\frac{2}{x}\right)^{-4} = \frac{2^{-4}}{x^{-4}} = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16}$.

Теперь возведем полученный результат в степень $-1$:

$\left(g\left(\frac{2}{x}\right)\right)^{-1} = \left(\frac{x^4}{16}\right)^{-1}$.

Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$, получаем:

$\left(\frac{x^4}{16}\right)^{-1} = \frac{16}{x^4}$.

3. Заключение

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна $\frac{16}{x^4}$ и правая часть равенства также равна $\frac{16}{x^4}$.

$\frac{16}{x^4} = \frac{16}{x^4}$.

Поскольку левая и правая части тождественно равны, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

14.1 Вычислите:

a) $\sqrt[3]{64}$;

б) $\sqrt[3]{-125}$;

В) $\sqrt[3]{216}$;

Г) $\sqrt[3]{-343}$.

а) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{64}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) дает 64. Таким числом является 4, поскольку $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 4

б) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{-125}$, нужно найти число, куб которого равен -125. Кубический корень из отрицательного числа является отрицательным числом. Можно записать: $\sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{125}$. Найдем число, куб которого равен 125. Это число 5, так как $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$. Следовательно, $\sqrt[3]{-125} = -5$. Проверка: $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.
Ответ: -5

в) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{216}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень равно 216. Таким числом является 6, поскольку $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 6

г) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{-343}$, найдем число, куб которого равен -343. Так как корень нечетной степени извлекается из отрицательного числа, мы можем вынести минус за знак корня: $\sqrt[3]{-343} = -\sqrt[3]{343}$. Найдем число, куб которого равен 343. Это число 7, так как $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$. Таким образом, $\sqrt[3]{-343} = -7$. Проверка: $(-7)^3 = (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = 49 \cdot (-7) = -343$.
Ответ: -7

Вынесите множитель за знак радикала:

14.2 а) $ \sqrt[3]{8 \cdot 3} $;

б) $ \sqrt[3]{-125 \cdot 2} $;

в) $ \sqrt[3]{27 \cdot 5} $;

г) $ \sqrt[3]{-64 \cdot 7} $.

а) Чтобы вынести множитель за знак радикала в выражении $\sqrt[3]{8 \cdot 3}$, необходимо найти подкоренное число, из которого можно извлечь кубический корень. В данном случае это число 8.
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Для кубического корня (где $n=3$ — нечетное число) это свойство справедливо для любых действительных чисел $a$ и $b$.
Разложим корень из произведения на произведение корней:
$\sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3}$
Так как $2^3 = 8$, то кубический корень из 8 равен 2, то есть $\sqrt[3]{8} = 2$.
Подставим полученное значение в выражение:
$2 \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$
Ответ: $2\sqrt[3]{3}$

б) В выражении $\sqrt[3]{-125 \cdot 2}$ необходимо вынести множитель за знак кубического корня. Множитель, являющийся полным кубом, — это -125.
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt[3]{-125 \cdot 2} = \sqrt[3]{-125} \cdot \sqrt[3]{2}$
Найдем кубический корень из -125. Так как $(-5)^3 = -125$, то $\sqrt[3]{-125} = -5$.
Подставим это значение:
$-5 \cdot \sqrt[3]{2} = -5\sqrt[3]{2}$
Ответ: $-5\sqrt[3]{2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{27 \cdot 5}$. Множитель, который можно вынести из-под знака корня, — это 27, так как он является полным кубом ($3^3=27$).
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{5}$
Вычислим значение $\sqrt[3]{27}$. Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.
Подставляем результат в выражение:
$3 \cdot \sqrt[3]{5} = 3\sqrt[3]{5}$
Ответ: $3\sqrt[3]{5}$

г) В выражении $\sqrt[3]{-64 \cdot 7}$ вынесем множитель за знак радикала. Множитель, являющийся полным кубом, — это -64.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt[3]{-64 \cdot 7} = \sqrt[3]{-64} \cdot \sqrt[3]{7}$
Найдем кубический корень из -64. Так как $(-4)^3 = -64$, то $\sqrt[3]{-64} = -4$.
Подставим полученное значение в выражение:
$-4 \cdot \sqrt[3]{7} = -4\sqrt[3]{7}$
Ответ: $-4\sqrt[3]{7}$

14.3 a) $\sqrt[3]{54}$;

б) $\sqrt[3]{-432}$;

в) $\sqrt[3]{56}$;

г) $\sqrt[3]{-375}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{54}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное число 54 на множители таким образом, чтобы один из них был точным кубом.

Разложим число 54 на простые множители: $54 = 2 \cdot 27$. Число 27 является кубом числа 3, так как $3^3 = 27$.

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, выносим множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$.

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{-432}$. Поскольку корень нечетной степени, знак минус можно вынести за знак корня:

$\sqrt[3]{-432} = -\sqrt[3]{432}$

Далее разложим число 432 на множители, чтобы выделить среди них наибольший возможный точный куб. Проверим делимость на кубы целых чисел: $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$, $5^3=125$, $6^3=216$.

Видно, что 432 делится на 216: $432 = 216 \cdot 2$.

Подставим это разложение в наше выражение:

$-\sqrt[3]{432} = -\sqrt[3]{216 \cdot 2} = -(\sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{2}) = -(\sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{2}) = -6\sqrt[3]{2}$

Ответ: $-6\sqrt[3]{2}$.

в) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{56}$ разложим число 56 на множители. Нам нужно найти множитель, являющийся точным кубом.

Разложение 56 на множители: $56 = 8 \cdot 7$. Число 8 является кубом числа 2, так как $2^3 = 8$.

Перепишем выражение с учетом этого:

$\sqrt[3]{56} = \sqrt[3]{8 \cdot 7}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{8 \cdot 7} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}$

Ответ: $2\sqrt[3]{7}$.

г) Упростим выражение $\sqrt[3]{-375}$. Так как корень нечетной степени, минус можно вынести за знак корня:

$\sqrt[3]{-375} = -\sqrt[3]{375}$

Теперь разложим на множители число 375. Поскольку число оканчивается на 5, оно делится на 5. Проверим делимость на куб числа 5, то есть на 125.

$375 = 125 \cdot 3$.

Подставим это разложение в выражение:

$-\sqrt[3]{375} = -\sqrt[3]{125 \cdot 3} = -(\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{3}) = -(\sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{3}) = -5\sqrt[3]{3}$

Ответ: $-5\sqrt[3]{3}$.