Страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.12 а) Известно, что функция $y = f(x)$ — чётная и возрастает при $x > 0$. Определите характер монотонности функции при $x < 0$.

б) Известно, что функция $y = f(x)$ — чётная и убывает при $x > 0$. Определите характер монотонности функции при $x < 0$.

в) Известно, что функция $y = f(x)$ — нечётная и возрастает при $x > 0$. Определите характер монотонности функции при $x < 0$.

г) Известно, что функция $y = f(x)$ — нечётная и убывает при $x > 0$. Определите характер монотонности функции при $x < 0$.

а) Чтобы определить характер монотонности функции при $x < 0$, возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, такие что $x_1 < x_2 < 0$. Умножив неравенство на $-1$, мы получим $0 < -x_2 < -x_1$. По условию, функция $y = f(x)$ возрастает при $x > 0$. Это означает, что для любых двух положительных чисел, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, из $-x_2 < -x_1$ следует, что $f(-x_2) < f(-x_1)$. Также по условию, функция является чётной, то есть $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Применяя это свойство к нашему неравенству, получаем $f(x_2) < f(x_1)$. Итак, для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(-\infty, 0)$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция убывает.
Ответ: функция убывает при $x < 0$.

б) Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $x < 0$, такие что $x_1 < x_2 < 0$. Тогда для их противоположных значений выполняется неравенство $0 < -x_2 < -x_1$. По условию, функция $y = f(x)$ убывает при $x > 0$. Это значит, что для любых двух положительных чисел, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, из $-x_2 < -x_1$ следует, что $f(-x_2) > f(-x_1)$. Функция является чётной, поэтому $f(-x) = f(x)$. Применив это свойство, получаем $f(x_2) > f(x_1)$. Итак, для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(-\infty, 0)$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция возрастает.
Ответ: функция возрастает при $x < 0$.

в) Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $x < 0$, такие что $x_1 < x_2 < 0$. Для их противоположных значений верно неравенство $0 < -x_2 < -x_1$. По условию, функция $y = f(x)$ возрастает при $x > 0$, поэтому из $-x_2 < -x_1$ следует $f(-x_2) < f(-x_1)$. Также по условию, функция является нечётной, то есть $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. Применяя это свойство, получаем $-f(x_2) < -f(x_1)$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $f(x_2) > f(x_1)$. Итак, для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(-\infty, 0)$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция возрастает.
Ответ: функция возрастает при $x < 0$.

г) Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $x < 0$, такие что $x_1 < x_2 < 0$. Тогда для их противоположных значений верно неравенство $0 < -x_2 < -x_1$. По условию, функция $y = f(x)$ убывает при $x > 0$, поэтому из $-x_2 < -x_1$ следует $f(-x_2) > f(-x_1)$. Функция является нечётной, поэтому $f(-x) = -f(x)$. Подставив это в неравенство, получим $-f(x_2) > -f(x_1)$. Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $f(x_2) < f(x_1)$. Итак, для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(-\infty, 0)$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция убывает.
Ответ: функция убывает при $x < 0$.

11.13 Известно, что функция $y = f(x)$ — чётная и ограничена сверху при $x > 0$. Можно ли утверждать, что она при $x < 0$:

а) ограничена сверху;

б) ограничена снизу?

Дано, что функция $y = f(x)$ является чётной и ограничена сверху при $x > 0$.

Свойство чётности функции означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Свойство ограниченности функции сверху при $x > 0$ означает, что существует такое число $M$, что для всех $x > 0$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

а) ограничена сверху;

Рассмотрим поведение функции при $x < 0$. Возьмем любое число $x_0 < 0$.
Поскольку функция $f(x)$ чётная, то $f(x_0) = f(-x_0)$.
Так как $x_0 < 0$, то $-x_0 > 0$.
Из условия задачи мы знаем, что функция ограничена сверху при положительных значениях аргумента. Это значит, что существует такое число $M$, что $f(z) \le M$ для любого $z > 0$.
Поскольку $-x_0 > 0$, то для значения $f(-x_0)$ также выполняется это неравенство: $f(-x_0) \le M$.
Следовательно, $f(x_0) \le M$.
Так как $x_0$ было выбрано произвольно из интервала $(-\infty; 0)$, то это неравенство справедливо для всех $x < 0$. Таким образом, функция ограничена сверху на интервале $x < 0$ тем же числом $M$.
Ответ: да, можно утверждать.

б) ограничена снизу?

Нет, этого утверждать нельзя. Условие ограниченности сверху для $x > 0$ ничего не говорит об ограниченности снизу. Из-за свойства чётности, множество значений функции на интервале $(-\infty; 0)$ совпадает с множеством значений на интервале $(0; +\infty)$. Если функция не ограничена снизу для $x > 0$, она не будет ограничена снизу и для $x < 0$.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — функцию, которая удовлетворяет условиям задачи, но не является ограниченной снизу при $x < 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2$.
1. Проверим, является ли она чётной: $f(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = f(x)$. Да, функция чётная.
2. Проверим, ограничена ли она сверху при $x > 0$: При $x > 0$, значение $x^2$ всегда положительно, а $-x^2$ — всегда отрицательно. Следовательно, $f(x) = -x^2 < 0$. Функция ограничена сверху, например, числом $M=0$.
Итак, функция $f(x) = -x^2$ удовлетворяет начальным условиям.

Теперь проверим, ограничена ли эта функция снизу при $x < 0$.
При $x < 0$ функция также задается формулой $f(x) = -x^2$. Если $x$ стремится к $-\infty$, то $x^2$ стремится к $+\infty$, а $f(x) = -x^2$ стремится к $-\infty$. Это означает, что для любого числа $m$ можно найти такое значение $x_0 < 0$, что $f(x_0) < m$. Следовательно, функция не ограничена снизу при $x < 0$.
Так как мы нашли пример функции, которая удовлетворяет условиям, но не ограничена снизу при $x < 0$, общее утверждение сделать нельзя.
Ответ: нет, утверждать нельзя.