Номер 2, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Чтобы определить, какие из заданных чисел лежат в интервале $(\sqrt{5}; \sqrt{7})$, оценим приближённые значения граничных иррациональных чисел с точностью до тысячных:

Так как $2{,}23^2 = 4{,}9729$, а $2{,}24^2 = 5{,}0176$, то $\sqrt{5} \approx 2{,}236$.

Так как $2{,}64^2 = 6{,}9696$, а $2{,}65^2 = 7{,}0225$, то $\sqrt{7} \approx 2{,}646$.

Следовательно, искомое число $x$ должно удовлетворять двойному неравенству: $\sqrt{5} < x < \sqrt{7}$, то есть приблизительно $2{,}236 < x < 2{,}646$ (или для положительных чисел: $5 < x^2 < 7$).

Проверим каждое из предложенных чисел:

• $-2{,}45$ и $0$ — меньше нуля, поэтому они заведомо меньше $\sqrt{5} \approx 2{,}236$ (не подходят).
• $1{,}9$ — так как $1{,}9 < 2{,}236$ ($1{,}9^2 = 3{,}61 < 5$), число не входит в промежуток.
• $2{,}2$ — так как $2{,}2 < 2{,}236$ ($2{,}2^2 = 4{,}84 < 5$), число не входит в промежуток.
• $2{,}3$ — так как $2{,}236 < 2{,}3 < 2{,}646$ ($2{,}3^2 = 5{,}29$, $5 < 5{,}29 < 7$), подходит.
• $2,(3) = 2{,}333...$ — так как $2{,}236 < 2{,}333... < 2{,}646$ ($\left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} \approx 5{,}44$), подходит.
• $2{,}45$ — так как $2{,}236 < 2{,}45 < 2{,}646$ ($2{,}45^2 = 6{,}0025$), подходит.
• $2{,}5$ — так как $2{,}236 < 2{,}5 < 2{,}646$ ($2{,}5^2 = 6{,}25$), подходит.
• $2,(6) = 2{,}666...$ — так как $2{,}666... > 2{,}646$ ($\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9} \approx 7{,}11 > 7$), число не входит в промежуток.
• $2\frac{3}{4} = 2{,}75$ — так как $2{,}75 > 2{,}646$ ($2{,}75^2 = 7{,}5625 > 7$), число не входит в промежуток.

Ответ: $2{,}3$; $2,(3)$; $2{,}45$; $2{,}5$.