Номер 1, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

1.Дано:

Геометрическая прогрессия $(b_n)$
$b_1 = 27$
$q = \frac{1}{3}$
$n = 5$

Найти: $S_5$

Решение:

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии воспользуемся формулой:

$$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

Подставим известные значения в формулу при $n = 5$:

$$q^5 = \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243}$$

$$1 - q^5 = 1 - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}$$

$$1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Теперь вычислим сумму $S_5$:

$$S_5 = \frac{27 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{27 \cdot 242}{243} : \frac{2}{3}$$

Сократим $27$ и $243$ на $27$ (так как $243 = 27 \cdot 9$):

$$S_5 = \frac{242}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{242 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{121 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{121}{3} = 40\frac{1}{3}$$

Проверка (через последовательное нахождение членов прогрессии):

• $b_1 = 27$
• $b_2 = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9$
• $b_3 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$
• $b_4 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$
• $b_5 = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Сложим полученные члены:

$$S_5 = 27 + 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} = 40 + \frac{1}{3} = 40\frac{1}{3}$$

Ответ: $40\frac{1}{3}$ (или $\frac{121}{3}$)