Номер 3, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Рассмотрим каждое неравенство заданной системы по отдельности:

• Неравенство $x \geqslant 0$ задаёт правую полуплоскость координатной плоскости, включая ось ординат $Oy$.
• Неравенство $y \leqslant 0$ задаёт нижнюю полуплоскость, включая ось абсцисс $Ox$.
• Пересечение этих двух условий ($x \geqslant 0$ и $y \leqslant 0$) определяет IV координатную четверть, включая её границы (лучи координатных осей).
• Неравенство $2x - 3y \leqslant 6$ преобразуем к виду: $-3y \leqslant 6 - 2x$, откуда при делении на $-3$ (меняя знак неравенства) получаем $y \geqslant \frac{2}{3}x - 2$. Это полуплоскость, лежащая выше и на прямой $2x - 3y = 6$.

Построим граничную прямую $2x - 3y = 6$ по двум точкам пересечения с осями координат:

• При $y = 0$: $2x = 6 \implies x = 3$. Получаем точку $A(3; 0)$ на оси $Ox$.
• При $x = 0$: $-3y = 6 \implies y = -2$. Получаем точку $B(0; -2)$ на оси $Oy$.

Проверим начало координат $O(0; 0)$: подставим в неравенство $2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \leqslant 6 \implies 0 \leqslant 6$ (верно). Следовательно, искомая область содержит точку $O(0; 0)$ и ограничена отрезками $OA$, $OB$ и гипотенузой $AB$.

Таким образом, множество решений системы задаёт прямоугольный треугольник с вершинами в точках $O(0; 0)$, $A(3; 0)$ и $B(0; -2)$.

Описание построения на координатной плоскости:

• Отмечаем на оси $Ox$ точку $A(3; 0)$, на оси $Oy$ — точку $B(0; -2)$, а также начало координат $O(0; 0)$.
• Проводим сплошные отрезки $OA$, $OB$ и соединяем точки $A$ и $B$ сплошной линией $AB$.
• Заштриховываем внутреннюю область полученного треугольника $OAB$.

Нахождение площади фигуры:

Катеты прямоугольного треугольника лежат на осях координат, их длины равны:

$$a = OA = |3 - 0| = 3$$

$$b = OB = |0 - (-2)| = 2$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$$

Ответ: прямоугольный треугольник; $S = 3$.