номер 3, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Рассмотрим каждое неравенство системы по отдельности и определим область, которую они задают на координатной плоскости:

• Неравенство $x \leqslant 0$ задаёт полуплоскость, расположенную слева от оси ординат $Oy$, включая саму ось.
• Неравенство $y \geqslant 0$ задаёт полуплоскость, расположенную выше оси абсцисс $Ox$, включая саму ось.
• Пересечение условий $x \leqslant 0$ и $y \geqslant 0$ выделяет вторую координатную четверть (включая координатные лучи).

Теперь рассмотрим третье неравенство: $3x - 4y \geqslant -12$.

Построим граничную прямую $3x - 4y = -12$. Выразим $y$ через $x$:

$$-4y = -3x - 12 \iff y = \frac{3}{4}x + 3$$

Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат:

• При $x = 0$: $y = \frac{3}{4} \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $A(0; 3)$ на оси $Oy$.
• При $y = 0$: $\frac{3}{4}x + 3 = 0 \iff \frac{3}{4}x = -3 \iff x = -4$. Получаем точку $B(-4; 0)$ на оси $Ox$.

Перепишем исходное неравенство в виде $y \leqslant \frac{3}{4}x + 3$. Оно задаёт полуплоскость, лежащую ниже прямой $AB$ (включая саму прямую). Проверим это с помощью начала координат $(0; 0)$:

$$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 \geqslant -12 \iff 0 \geqslant -12 \quad \text{(верно)}$$

Следовательно, множество решений системы неравенств представляет собой фигуру, ограниченную осями координат и отрезком прямой $AB$ во второй четверти. Это прямоугольный треугольник $AOB$ с прямым углом при вершине $O(0; 0)$ и катетами, лежащими на координатных осях:

• Вершины треугольника: $O(0; 0)$, $A(0; 3)$, $B(-4; 0)$;
• Длина катета $OA = |3 - 0| = 3$;
• Длина катета $OB = |0 - (-4)| = 4$.

Вычислим площадь получившегося прямоугольного треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$$

Ответ: данная система неравенств задаёт прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0; 0)$, $(0; 3)$ и $(-4; 0)$; его площадь равна $6$.