Номер 26, страница 92, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Задания для подготовки к основному государственному экзамену по физике. Вариант 2 - номер 26, страница 92.

Условие.

26. К клеммам источника постоянного напряжения подключены две параллельно соединённые проволоки одинаковой длины и одинакового поперечного сечения. Первая проволока медная, вторая — алюминиевая. Известно, что через некоторое время после замыкания ключа медная проволока нагрелась на $123~^\circ\text{C}$. На сколько градусов Цельсия за это же время нагрелась алюминиевая проволока? Теплообменом проволок с окружающей средой пренебречь. Удельная теплоёмкость меди равна $400~\text{Дж}/(\text{кг} \cdot ~^\circ\text{С})$, удельная теплоёмкость алюминия равна $920~\text{Дж}/(\text{кг} \cdot ~^\circ\text{С})$. Плотность меди равна $8900~\text{кг}/\text{м}^3$, плотность алюминия равна $2700~\text{кг}/\text{м}^3$. Ответ округлите до целого числа.

Решение.

Дано:

Проволоки соединены параллельно, $U_{Cu} = U_{Al} = U$.

Длины проволок одинаковы, $L_{Cu} = L_{Al} = L$.

Площади поперечного сечения одинаковы, $S_{Cu} = S_{Al} = S$.

Время нагрева одинаково, $t_{Cu} = t_{Al} = t$.

Изменение температуры медной проволоки, $\Delta T_{Cu} = 123 \text{ }^{\circ}\text{C}$.

Удельная теплоёмкость меди, $c_{Cu} = 400 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^{\circ}\text{C}}$.

Удельная теплоёмкость алюминия, $c_{Al} = 920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^{\circ}\text{C}}$.

Плотность меди, $\rho_{m, Cu} = 8900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Плотность алюминия, $\rho_{m, Al} = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Удельное электрическое сопротивление меди (табличное значение), $\rho_{e, Cu} = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Удельное электрическое сопротивление алюминия (табличное значение), $\rho_{e, Al} = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Все величины, кроме изменения температуры, даны в системе СИ. Изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах, поэтому перевод не требуется: $\Delta T_{Cu} = 123 \text{ K}$.

Найти:

$\Delta T_{Al}$ — изменение температуры алюминиевой проволоки.

Решение:

По условию, теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Это означает, что всё количество теплоты, выделившееся в проволоке при прохождении электрического тока, идёт на её нагрев. Таким образом, можно приравнять количество теплоты, выделившееся по закону Джоуля-Ленца, и количество теплоты, пошедшее на нагрев.

Количество теплоты, выделившееся в проводнике, определяется по формуле:

$Q_{ген} = P \cdot t = \frac{U^2}{R} t$

где $U$ — напряжение, $R$ — сопротивление, $t$ — время.

Количество теплоты, необходимое для нагрева тела, определяется по формуле:

$Q_{нагр} = c \cdot m \cdot \Delta T$

где $c$ — удельная теплоёмкость, $m$ — масса, $\Delta T$ — изменение температуры.

Приравнивая эти два выражения, получаем: $\frac{U^2}{R} t = c \cdot m \cdot \Delta T$.

Массу проволоки $m$ можно выразить через её плотность $\rho_m$ и объём $V=L \cdot S$: $m = \rho_m \cdot L \cdot S$.

Сопротивление проволоки $R$ можно выразить через её удельное сопротивление $\rho_e$, длину $L$ и площадь поперечного сечения $S$: $R = \rho_e \frac{L}{S}$.

Подставим выражения для массы и сопротивления в наше уравнение:

$\frac{U^2}{\rho_e \frac{L}{S}} t = c \cdot (\rho_m L S) \cdot \Delta T$

Преобразуем это выражение:

$\frac{U^2 S t}{\rho_e L} = c \rho_m L S \Delta T$

Выразим отсюда изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{U^2 S t}{\rho_e L \cdot c \rho_m L S} = \frac{U^2 t}{c \rho_m \rho_e L^2}$

Запишем это уравнение для медной (Cu) и алюминиевой (Al) проволок:

$\Delta T_{Cu} = \frac{U^2 t}{c_{Cu} \rho_{m, Cu} \rho_{e, Cu} L^2}$

$\Delta T_{Al} = \frac{U^2 t}{c_{Al} \rho_{m, Al} \rho_{e, Al} L^2}$

Поскольку проволоки подключены параллельно к одному источнику ($U = \text{const}$), имеют одинаковую длину ($L = \text{const}$) и нагреваются одинаковое время ($t = \text{const}$), то величина $\frac{U^2 t}{L^2}$ является постоянной для обеих проволок.

Отсюда следует:

$\Delta T_{Cu} \cdot c_{Cu} \rho_{m, Cu} \rho_{e, Cu} = \Delta T_{Al} \cdot c_{Al} \rho_{m, Al} \rho_{e, Al}$

Выразим искомое изменение температуры алюминиевой проволоки $\Delta T_{Al}$:

$\Delta T_{Al} = \Delta T_{Cu} \cdot \frac{c_{Cu} \rho_{m, Cu} \rho_{e, Cu}}{c_{Al} \rho_{m, Al} \rho_{e, Al}}$

Подставим числовые значения:

$\Delta T_{Al} = 123 \cdot \frac{400 \cdot 8900 \cdot 1.7 \cdot 10^{-8}}{920 \cdot 2700 \cdot 2.8 \cdot 10^{-8}} = 123 \cdot \frac{400 \cdot 8900 \cdot 1.7}{920 \cdot 2700 \cdot 2.8}$

$\Delta T_{Al} = 123 \cdot \frac{6052000}{6955200} \approx 123 \cdot 0.87016 \approx 107.03 \text{ }^{\circ}\text{C}$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до целого числа.

$\Delta T_{Al} \approx 107 \text{ }^{\circ}\text{C}$

Ответ: 107.