Номер 8, страница 213 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 33. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс - номер 8, страница 213.

Условие.

8. Чему равна амплитуда установившихся колебаний пружинного маятника, когда вынуждающая сила изменяется:

а) очень медленно;

б) очень быстро?

Решение.

Решение

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пружинного маятника зависит от частоты вынуждающей силы. Эта зависимость описывается резонансной кривой. Амплитуда $\text{A}$ установившихся колебаний определяется по формуле: $A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}$ где $F_0$ — амплитуда вынуждающей силы, $\text{m}$ — масса маятника, $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ — собственная циклическая частота колебаний маятника ($\text{k}$ — жёсткость пружины), $\omega$ — циклическая частота вынуждающей силы, а $\gamma$ — коэффициент затухания, характеризующий силы трения в системе.

Рассмотрим два предельных случая.

а) Вынуждающая сила изменяется очень медленно

Если вынуждающая сила изменяется очень медленно, это означает, что её частота $\omega$ очень мала и стремится к нулю ($\omega \rightarrow 0$). Подставим это предельное значение в формулу для амплитуды: $A(\omega \rightarrow 0) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - 0^2)^2 + 4\gamma^2 \cdot 0^2}} = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2)^2}} = \frac{F_0/m}{\omega_0^2}$ Так как собственная частота в квадрате равна $\omega_0^2 = k/m$, получаем: $A = \frac{F_0/m}{k/m} = \frac{F_0}{k}$ Физически это означает, что при очень медленном изменении силы маятник колеблется квазистатически, то есть в каждый момент времени его смещение определяется законом Гука, как будто сила приложена постоянно. Амплитуда колебаний равна максимальному статическому растяжению (или сжатию) пружины под действием силы с амплитудой $F_0$.

Ответ: Амплитуда равна $F_0/k$, где $F_0$ — амплитуда вынуждающей силы, а $\text{k}$ — жёсткость пружины. Это соответствует статическому смещению пружины под действием максимальной вынуждающей силы.

б) Вынуждающая сила изменяется очень быстро

Если вынуждающая сила изменяется очень быстро, это означает, что её частота $\omega$ очень велика и стремится к бесконечности ($\omega \rightarrow \infty$). Проанализируем поведение формулы для амплитуды при больших значениях $\omega$: $A(\omega \rightarrow \infty) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}$ При $\omega \rightarrow \infty$, член $\omega^2$ становится намного больше, чем $\omega_0^2$. Поэтому в знаменателе выражение $(\omega_0^2 - \omega^2)^2$ можно приближённо считать равным $(-\omega^2)^2 = \omega^4$. Тогда знаменатель стремится к $\sqrt{\omega^4 + 4\gamma^2\omega^2} \approx \sqrt{\omega^4} = \omega^2$. Таким образом, для больших частот амплитуда ведёт себя как: $A \approx \frac{F_0/m}{\omega^2}$ Когда частота $\omega$ стремится к бесконечности, знаменатель дроби неограниченно растёт, а сама дробь, соответственно, стремится к нулю. Физически это объясняется инертностью маятника. При очень высокой частоте вынуждающей силы маятник (груз) просто не успевает следовать за её быстрыми изменениями. Сила меняет своё направление так часто, что её среднее воздействие за короткий промежуток времени близко к нулю, и тело практически остаётся неподвижным в положении равновесия.

Ответ: Амплитуда колебаний стремится к нулю.