Теоретическое исследование, страница 146 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 5. Электромагнитные колебания и волны. Параграф 28. Свободные электромагнитные колебания. Вопросы - страница 146.

Условие.

Теоретическое исследование

В какие моменты одного периода колебаний полная энергия колебательной системы (см. рис. 150) равна:

а) энергии электрического поля конденсатора;

б) энергии магнитного поля катушки?

Решение.

Решение

Полная энергия $\text{W}$ электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре является суммой энергии электрического поля конденсатора $W_E$ и энергии магнитного поля катушки индуктивности $W_M$. В отсутствие потерь (в идеальной системе) полная энергия сохраняется во времени:

$W = W_E + W_M = \text{const}$

Энергия электрического поля конденсатора определяется зарядом $\text{q}$ на его обкладках: $W_E = \frac{q^2}{2C}$. Энергия магнитного поля катушки зависит от силы тока $\text{i}$ в ней: $W_M = \frac{Li^2}{2}$.

В процессе гармонических колебаний заряд и сила тока изменяются со временем. Если принять, что в начальный момент времени $t=0$ конденсатор полностью заряжен (заряд максимален, $q=q_{max}$), то заряд изменяется по закону косинуса $q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$, а сила тока (как производная заряда по времени, $i=q'(t)$) — по закону синуса $i(t) = -q_{max}\omega \sin(\omega t)$, где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ — циклическая частота, а $\text{T}$ — период колебаний.

Соответственно, энергии полей изменяются по законам:

$W_E(t) = \frac{(q_{max} \cos(\omega t))^2}{2C} = \frac{q_{max}^2}{2C}\cos^2(\omega t) = W_{max}\cos^2(\omega t)$

$W_M(t) = \frac{L(-q_{max}\omega \sin(\omega t))^2}{2} = \frac{L(q_{max}\omega)^2}{2}\sin^2(\omega t) = W_{max}\sin^2(\omega t)$

а) энергии электрического поля конденсатора

Полная энергия колебательной системы $\text{W}$ равна энергии электрического поля конденсатора $W_E$ в том случае, когда энергия магнитного поля катушки $W_M$ равна нулю.

$W = W_E \implies W_M = 0$

Энергия магнитного поля $W_M = \frac{Li^2}{2}$ обращается в ноль, когда сила тока в катушке $i=0$. Исходя из закона изменения тока $i(t) = -q_{max}\omega \sin(\omega t)$, это происходит в моменты времени $\text{t}$, для которых $\sin(\omega t) = 0$.

Решением этого уравнения являются значения $\omega t = k\pi$, где $\text{k}$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$).

Подставив $\omega = \frac{2\pi}{T}$, получим: $\frac{2\pi}{T}t = k\pi$, откуда $t = k\frac{T}{2}$.

В рамках одного периода (например, на интервале $[0, T)$) это моменты времени $t=0$ и $t=\frac{T}{2}$. В эти моменты заряд на конденсаторе достигает своего максимального по модулю значения, а ток в цепи равен нулю. Вся энергия системы сосредоточена в электрическом поле конденсатора.

Ответ: В моменты времени, кратные половине периода: $t=0, \frac{T}{2}, T, \frac{3T}{2}, ...$ (в общем виде $t = k\frac{T}{2}$, где $\text{k}$ — целое неотрицательное число).

б) энергии магнитного поля катушки

Полная энергия колебательной системы $\text{W}$ равна энергии магнитного поля катушки $W_M$, когда энергия электрического поля конденсатора $W_E$ равна нулю.

$W = W_M \implies W_E = 0$

Энергия электрического поля $W_E = \frac{q^2}{2C}$ обращается в ноль, когда заряд на обкладках конденсатора $q=0$. Исходя из закона изменения заряда $q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$, это происходит в моменты времени $\text{t}$, для которых $\cos(\omega t) = 0$.

Решением этого уравнения являются значения $\omega t = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $\text{k}$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$).

Подставив $\omega = \frac{2\pi}{T}$, получим: $\frac{2\pi}{T}t = \frac{\pi}{2} + k\pi$, откуда $t = \frac{T}{4} + k\frac{T}{2} = (2k+1)\frac{T}{4}$.

В рамках одного периода (например, на интервале $[0, T)$) это моменты времени $t=\frac{T}{4}$ и $t=\frac{3T}{4}$. В эти моменты конденсатор полностью разряжен, а сила тока в цепи достигает своего максимального по модулю значения. Вся энергия системы сосредоточена в магнитном поле катушки.

Ответ: В моменты времени, равные нечетному числу четвертей периода: $t=\frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \frac{5T}{4}, ...$ (в общем виде $t = (2k+1)\frac{T}{4}$, где $\text{k}$ — целое неотрицательное число).