Теоретическое исследование, страница 181 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 6. Световые волны. Параграф 35. Преломление света. Вопросы - страница 181.

Условие.

Теоретическое исследование

Используя принцип Гюйгенса, докажите закон преломления света.

Указание. Для того чтобы вывести закон преломления света, нужно рассмотреть треугольники ACB и ADB(рис. 184), из которых следуют соотношения:

$DB = v_1 \cdot \Delta t = AB \cdot \sin \alpha.$ (1)

$AC = v_2 \cdot \Delta t = AB \cdot \sin \gamma.$ (2)

Разделив почленно равенства (1) и(2), можно прийти к выражению закона преломления света.

Рис. 184

Решение.

Решение

Докажем закон преломления света, используя принцип Гюйгенса. Пусть плоская световая волна падает на границу раздела двух прозрачных сред (1 и 2). Скорость распространения света в первой среде равна $v_1$, а во второй — $v_2$.

Рассмотрим плоский фронт волны $\text{AD}$, который падает на границу раздела двух сред (см. рис. 184). Луч света $\text{MA}$ перпендикулярен фронту волны $\text{AD}$. Угол падения $α$ — это угол между падающим лучом $\text{MA}$ и нормалью $\text{KL}$ к границе раздела.

В момент времени, когда фронт волны достигает точки $\text{A}$ на границе раздела, точка $\text{D}$ этого же фронта находится на некотором расстоянии от границы. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка среды, до которой доходит волна, становится источником вторичных сферических волн. Таким образом, точка $\text{A}$ становится источником вторичной волны, которая начинает распространяться во второй среде.

За промежуток времени $Δt$ свет из точки $\text{D}$ достигнет точки $\text{B}$ на границе раздела, пройдя в первой среде расстояние $\text{DB}$. Это расстояние равно: $$ DB = v_1 \cdot Δt $$

За тот же самый промежуток времени $Δt$ вторичная волна, испущенная из точки $\text{A}$, распространится во второй среде на расстояние $\text{AC}$. Это расстояние равно: $$ AC = v_2 \cdot Δt $$

Новый, преломленный фронт волны в момент времени $Δt$ будет представлять собой плоскость $\text{CB}$, которая является огибающей для всех вторичных волн, испущенных точками на отрезке $\text{AB}$. Эта плоскость будет касательной к сферической волновой поверхности, распространяющейся из точки $\text{A}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$, где угол $∠ADB = 90^\circ$ (так как падающий луч перпендикулярен волновому фронту). Угол $∠DAB$ равен углу падения $α$, поскольку их стороны взаимно перпендикулярны ($AD \perp MA$ и $AB \perp KL$). Из этого треугольника следует тригонометрическое соотношение: $$ \sin \alpha = \frac{DB}{AB} \quad \Rightarrow \quad DB = AB \cdot \sin \alpha $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$. Он прямоугольный, так как радиус $\text{AC}$ вторичной волны перпендикулярен касательной $\text{CB}$ в точке касания, то есть $∠ACB = 90^\circ$. Угол $∠ABC$ равен углу преломления $γ$. Это также следует из взаимной перпендикулярности сторон: преломленный луч (направление $\text{AC}$) перпендикулярен преломленному фронту $\text{CB}$, а нормаль $\text{KL}$ перпендикулярна границе раздела $\text{AB}$. Из треугольника $ACB$ получаем: $$ \sin \gamma = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad AC = AB \cdot \sin \gamma $$

Теперь у нас есть две пары выражений для отрезков $\text{DB}$ и $\text{AC}$:
$DB = v_1 \cdot Δt$ и $DB = AB \cdot \sin \alpha$
$AC = v_2 \cdot Δt$ и $AC = AB \cdot \sin \gamma$
Приравняем правые части в каждой паре:
$v_1 \cdot Δt = AB \cdot \sin \alpha$ (1)
$v_2 \cdot Δt = AB \cdot \sin \gamma$ (2)

Разделим почленно равенство (1) на равенство (2), как предложено в указании к задаче: $$ \frac{v_1 \cdot Δt}{v_2 \cdot Δt} = \frac{AB \cdot \sin \alpha}{AB \cdot \sin \gamma} $$

Сократив одинаковые множители ($Δt$ и $\text{AB}$), получим: $$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} $$

Это соотношение связывает углы падения и преломления со скоростями света в двух средах. Его можно выразить через абсолютные показатели преломления сред. По определению, абсолютный показатель преломления среды $\text{n}$ равен $n = c/v$, где $\text{c}$ — скорость света в вакууме, а $\text{v}$ — скорость света в среде. Тогда $v_1 = c/n_1$ и $v_2 = c/n_2$. Подставим эти выражения в полученную формулу: $$ \frac{c/n_1}{c/n_2} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \quad \Rightarrow \quad \frac{n_2}{n_1} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} $$

Из этого соотношения получаем закон преломления света (закон Снеллиуса): $$ n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \gamma $$

Из геометрического построения также следует, что падающий луч ($\text{MA}$), преломленный луч (вдоль $\text{AC}$) и перпендикуляр ($\text{KL}$), восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости (плоскости рисунка). Таким образом, мы полностью доказали закон преломления света.

Ответ: Используя принцип Гюйгенса для построения волнового фронта после его прохождения через границу раздела двух сред, мы получили систему из двух уравнений: $v_1 \cdot Δt = AB \cdot \sin \alpha$ и $v_2 \cdot Δt = AB \cdot \sin \gamma$. Разделив одно уравнение на другое, мы вывели соотношение $ \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{v_1}{v_2} $. Последующая замена скоростей света в средах на их выражения через абсолютные показатели преломления ($v=c/n$) приводит к окончательной формулировке закона преломления света: $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \gamma$.