Номер 4, страница 172 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Глава V. Физика атома и атомного ядра. Параграф 37. Закон радиоактивного распада - номер 4, страница 172.

Условие.

4. Начальное число радиоактивных ядер равно $8 \cdot 10^6$. Через сколько суток останется $2 \cdot 10^6$ ядер, если период полураспада составляет 10 суток?

Решение.

Дано:

Начальное число радиоактивных ядер $N_0 = 8 \cdot 10^6$

Конечное число радиоактивных ядер $N = 2 \cdot 10^6$

Период полураспада $T = 10$ суток

Так как период полураспада дан в сутках и вопрос стоит о количестве суток, перевод величин в систему СИ не требуется.

Найти:

Время $\text{t}$, через которое число ядер станет равным $\text{N}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом радиоактивного распада, который гласит, что число нераспавшихся ядер $\text{N}$ в момент времени $\text{t}$ связано с начальным числом ядер $N_0$ и периодом полураспада $\text{T}$ следующим соотношением:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$2 \cdot 10^6 = 8 \cdot 10^6 \cdot 2^{-\frac{t}{10}}$

Выразим из этого уравнения неизвестное время $\text{t}$. Для этого сначала разделим обе части уравнения на $N_0 = 8 \cdot 10^6$:

$\frac{2 \cdot 10^6}{8 \cdot 10^6} = 2^{-\frac{t}{10}}$

Сократим дробь в левой части уравнения:

$\frac{1}{4} = 2^{-\frac{t}{10}}$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим левую часть в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Теперь уравнение принимает вид:

$2^{-2} = 2^{-\frac{t}{10}}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2 = -\frac{t}{10}$

Домножим обе части на -10, чтобы найти $\text{t}$:

$t = (-2) \cdot (-10)$

$t = 20$

Поскольку период полураспада был выражен в сутках, время $\text{t}$ также будет в сутках.

Эту задачу можно решить и логически. Период полураспада — это время, за которое количество радиоактивных ядер уменьшается вдвое.

Изначально было $8 \cdot 10^6$ ядер.

Через один период полураспада (10 суток) их останется: $\frac{8 \cdot 10^6}{2} = 4 \cdot 10^6$.

Через второй период полураспада (еще 10 суток) их останется: $\frac{4 \cdot 10^6}{2} = 2 \cdot 10^6$.

Это и есть искомое количество ядер. Всего прошло два периода полураспада. Значит, общее время составило:

$t = 2 \cdot T = 2 \cdot 10 = 20$ суток.

Ответ: 20 суток.