Номер 659, страница 99 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Магнитное поле. Направление линий магнитного поля тока. Действие магнитного поля на электрический ток. Индукция магнитного поля. Электромагнитное поле - номер 659, страница 99.

► 659. Пучок заряженных частиц влетает в магнитное поле перпендикулярно силовым линиям этого поля. Докажите, что траектория движения частицы в этом поле будет окружностью. Считать поле однородным.

Решение

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Вектор этой силы $\vec{F}_L$ определяется выражением:

$\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$

где $q$ – заряд частицы, $\vec{v}$ – вектор её скорости, а $\vec{B}$ – вектор магнитной индукции.

Модуль силы Лоренца вычисляется по формуле:

$F_L = |q|vB\sin\alpha$

где $\alpha$ – угол между векторами скорости $\vec{v}$ и магнитной индукции $\vec{B}$.

По условию задачи, частица влетает в магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям. Это означает, что угол $\alpha = 90^\circ$, следовательно, $\sin\alpha = \sin(90^\circ) = 1$. В этом случае модуль силы Лоренца, действующей на частицу, постоянен и равен своему максимальному значению:

$F_L = |q|vB$

Направление силы Лоренца, согласно свойствам векторного произведения, всегда перпендикулярно плоскости, образованной векторами $\vec{v}$ и $\vec{B}$. Это означает, что сила $\vec{F}_L$ всегда перпендикулярна вектору скорости частицы $\vec{v}$.

Поскольку сила Лоренца всегда перпендикулярна направлению движения частицы (вектору скорости), она не совершает работы. Работа силы $A$ на малом перемещении $d\vec{r}$ равна $dA = \vec{F}_L \cdot d\vec{r} = \vec{F}_L \cdot \vec{v} dt$. Так как $\vec{F}_L \perp \vec{v}$, их скалярное произведение равно нулю, и, следовательно, работа $A = 0$.

Согласно теореме о кинетической энергии, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии: $A = \Delta K$. Поскольку работа силы Лоренца равна нулю, кинетическая энергия частицы $K = \frac{mv^2}{2}$ не изменяется. Так как масса частицы $m$ постоянна, то и модуль ее скорости $v$ также остается постоянным ($v = \text{const}$).

Таким образом, на частицу действует сила, которая:

1. Постоянна по модулю (так как величины $q$, $v$ и $B$ (в однородном поле) постоянны).

2. Всегда перпендикулярна вектору скорости.

Сила, обладающая такими свойствами, является центростремительной. Она не изменяет модуль скорости, а лишь непрерывно изменяет ее направление. Движение тела с постоянной по модулю скоростью под действием постоянной по величине силы, перпендикулярной скорости, является движением по окружности.

Сила Лоренца выступает в роли центростремительной силы $F_c$, которая по второму закону Ньютона равна $F_c = ma_c = \frac{mv^2}{r}$, где $a_c$ - центростремительное ускорение, а $r$ - радиус траектории.

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:

$|q|vB = \frac{mv^2}{r}$

Отсюда можно выразить радиус окружности, по которой движется частица:

$r = \frac{mv}{|q|B}$

Так как масса $m$, скорость $v$, заряд $q$ частицы и индукция магнитного поля $B$ являются постоянными величинами, то радиус траектории $r$ также постоянен.

Движение с постоянной скоростью по траектории с постоянным радиусом кривизны — это движение по окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Траектория частицы является окружностью, так как действующая на нее сила Лоренца постоянна по модулю и всегда перпендикулярна вектору скорости. Эта сила не совершает работы и не изменяет кинетическую энергию частицы, а лишь искривляет ее траекторию, играя роль центростремительной силы и заставляя частицу двигаться по окружности постоянного радиуса.